¿Qué son y para qué sirven las ecuaciones diferenciales?

Lo mejor es verlo con un ejemplo sencillo. Conocimientos necesarios: cálculo diferencial básico.

Supón que tenemos la función y=sin(x)y=sin⁡(x). Sabrás que su derivada es y′=cos(x)y′=cos⁡(x), y su segunda derivada es y′′=−sin(x).y″=−sin⁡(x).

Visto esto, es trivial comprobar que

y′′+y=0y″+y=0

Pues bien, eso es una ecuación diferencial: una ecuación en la que aparece una función desconocida junto con alguna de sus derivadas (y quizás también la variable independiente xx), en una igualdad. Resolver la ecuación diferencial es encontrar la función que cumple la igualdad. Es decir, teniendo y′′+y=0y″+y=0, encontrar que y=sin(x)y=sin⁡(x) es la solución.

Las cosas son algo más complicadas, pues y=cos(x)y=cos⁡(x) también es una solución, y también y=5cos(x),y=5cos⁡(x), o también y=7sin(x)y=7sin⁡(x) De hecho, la solución general tendría la forma y=Acos(x)+Bsin(x)y=Acos⁡(x)+Bsin⁡(x), donde AA y BB son constantes arbitrarias cuyos valores dependerán de las condiciones iniciales, como no cuesta nada comprobar.

La teoría de ecuaciones diferenciales es muy compleja (y muy bonita, dicho sea de paso), pues el número de ecuaciones diferentes que pueden aparecer es virtualmente infinito, Además, las derivadas pueden ser también derivadas parciales, lo que complica muchísimo la situación. Todo un Gran Apartado de la matemática, el de las ecuaciones diferenciales.

¿Para qué sirven? Pues para solucionar problemas del mundo real. El comportamiento de la naturaleza en cada caso suele venir definido por una ecuación diferencial, que hay que resolver para entender la naturaleza del problema y su solución.