¿Cuál es la mejor manera de aprender teoría de Galois?

La primera parte de esta respuesta aplica a casi toda la teoría matemática, al igual que casi todas las teorías en física u otras ciencias.

La mejor manera de aprender cualquier teoría matemática es asistir a un curso sobre el tema en una buena universidad o Instituto. No hay un substituto real para un gran maestro, un salón de clases lleno de compañeros que están lidiando con el mismo material, un profesor adjunto que te da retroalimentación en tus soluciones a las listas de problemas, y la urgencia de motivarte para el examen fina.

Si esto no es una opción -supongo que no, ya que lo estás preguntando- entonces segunda mejor opción es formar un grupo de estudio con amigos con intereses en común, trabajar con un buen libro de texto mientras hacen todos, o la mayoría, de los ejercicios. Esto incluye escribir demostraciones y leer las demostraciones de cada uno para corroborar que tengan sentido. Si pueden hablar con alguien que tenga doctorado en matemáticas que esté dispuesto a leer sus demostraciones, es mucho mejor, pero encuentro esto poco factible.

No puedo sobreenfatizar esto, así que déjame decirlo de otra forma:

Aprender matemáticas leyendo un libro de texto o viendo clases en Youtube es como aprender a ser gimnasta olímpico solo viendo vídeos de Nadia Comăneci.

Hablando en serio, no puedes aprender a conducir un auto o volar un avión solo viendo vídeos. Es lo mismo aquí.

Ahora, la segunda- mejor opción- el grupo de estudio- es un lejano segundo lugar, para ser completamente honesto. Necesitas suerte, disciplina y perseverancia. Además, es muy probable que necesites revisitar los temas: Si no haces nada con la teoría de Galois en los años siguientes, lo mas probable es que olvidarás lo aprendido. Hacer algo con la teoría podría ser enseñarla, escribir código para implementarlo, estudiar teorías matemáticas que se basan en ella, o algo mas en esas lineas; pero si todo lo que haces es gastar tres meses aprendiéndolo y luego lo dejas para seguir otros intereses, lo mas probable es que recordaras muy poco de ello.

De cualquier manera, si logras formar un grupo de estudio, o decides usar la tercera mejor opción que es aprender teoría de Galois por ti mismo de un libro de texto mientras haces todos los ejercicios, aquí hay otra cosa que necesitas, y es muy importante: Necesitas estar preparado. No intentes estudiar la teoría de Galois o cualquier tema de matemáticas antes de que hayas dominado los prerrequisitos. Es inútil, frustrante y perjudicial.

No lo hagas.

(Vea a continuación los requisitos previos reales).

Ahora, para ser más especifico acerca de la propia teoría de Galois.

Libro de texto

El libro de Ian Stewar "Galois Theory" es uno de mis libros de texto favoritos para teoría de Galois. Es claro, motivado, y cubre agradablemente algo de la historia del tema incluyendo una visión general de la vida de Galois. Esto no es absolutamente necesario pero es un toque agradable en un libro de texto.

El libro tiene un objetivo justo, en mi opinión: Culmina con la demostración de la irresolubilidad de ciertos quinticos. Esto es mejor en muchas maneras a la demostración de la irresolubilidad de los quinticos generales.(aquí esta la razón[1] ). Al mismo tiempo el libro evita profundizar en temas mas de lo necesario para un curso introductorio, como la teoría de grupos infinitos de Galois o el estudio mas profundos de extensiones inseparables.

Prerrequisitos

Antes de iniciar el estudio de la teoría de Galois, necesitaras dominar álgebra lineal básica, hasta e incluyendo álgebra lineal sobre campos arbitrarios, la idea de dimensión, tansformaciones lineales, kernels, imágenes, subespacios, bases y dependencia lineal.

No es absolutamente necesario haber llevado un curso de teoría de grupos, pero si no lo has llevado, necesitaras aprender los temas relevantes como parte de tu viaje por la teoría de Galois, lo cual lo hace aun mas difícil. Una mejor preparación incluye conocimiento sobre grupos, homomorfismos, los teoremas de isomorfismo, permutaciones y paridad, grupos cíclicos, grupos abelianos y grupos ideales solubles. Un buen curso introductorio a teoría de grupos te facilitara mucho el estudio.

Finalmente, debes saber como escribir (y leer) demostraciones. Debe darse por sentado si ya tomaste un curso de álgebra lineal, pero solo para clarificar: tratar de aprender teoría de Galois es inútil sin entender las demostraciones.

Prueba tu conocimiento

Así que decidiste empezar a aprender teoría de Galois. ¡Felicidades! Pero ¿que tan bien lo has aprendido? Aquí hay un examen sencillo.

1. Escribe una demostración completa del porque α=cos(10°)α=cos⁡(10°) no es construible usando regla y compás, y por lo tanto algunos ángulos no pueden ser trisecados. Explique que significa "construible", demuestre la consecuencia algebraica(haga una extensión de campo), y de manera rigurosa porque αα no es elemento de dicha extensión.
2. De un ejemplo de una extensión no-normal. De un ejemplo de una extensión inseparable.
3. Sea aa un entero que no sea la quinta potencia de un entero. Determine el grupo de Galois del polinomio X5−aX5−a : Encuentre una representación en término de permutaciones, y una representación en termino de generadores y relaciones. ¿Cuantos elementos contiene?¿es soluble?
4. Determine el grupo de Galois para X3−X−1X3−X−1 sobre QQ y sobre Q(−23−−−−√)Q(−23).
5. Demuestre que no hay un campo de orden 10, y construya un campo de orden 8 y 9.
6. Cada extensión de campos puede ser escrita como una extensión algebraica de una extensión puramente trascendental. ¿es verdad que toda extensión de campo es una extensión puramente trascendental de una extensión algebraica?

Notas al pie