¿Por qué los fenómenos en la física pueden predecirse mediante el análisis matemático?

Ésta es una pregunta excelente, para la cual no sabemos realmente la respuesta. Es, de hecho, un misterio que ha fascinado a filósofos y científicos por igual a lo largo de la historia de la humanidad. Estando muy lejos de poder aportar yo mismo una respuesta, sí que puedo a apuntar a determinados aspectos de la realidad (fenomenología objetivable sobre la que es posible establecer consensos basados en la experimentación) que tal vez puedan dar pistas en esa dirección:

1. las estructuras observables (seres físicos) se construyen a partir de elementos sencillos.. Éstos, dentro de cada clase (y cada estado, si admiten diferentes estados) son absolutamente indistinguibles entre sí en su naturaleza (se pueden distinguir, por ejemplo, por su localización espacio-temporal). Estas estructuras están al nivel molecular o sub-molecular y existen trillones de repeticiones exactas de cada elemento. A su vez, cada uno de estos elementos se puede descomponer (no sabemos hasta qué nivel) en estructuras más elementales (e.g., quarks), que tienen la propiedad de aparecer, en otras proporciones o combinaciones, en otros elementos.
2. Esos elementos se comportan de forma predecible, en sentido estadístico, y, cuando se consideran en grandes masas (sustancias macroscópicas) se puede saber con certeza sus propiedades físicas, al ser éstas directamente observables.
3. De forma general, se entiende que la materia y las fuerzas que actúan sobre ella, aunque extraordinariamente multiforme, se reduce a un conjunto de combinaciones de unos pocos elementos comunes, en distintas formas y estados. Lo relevante, desde el punto de vista filosófico (y fenomenológico) es la sencillez de los elementos subyacentes a todo lo que existe en el mundo físico, y cómo, a partir de las combinaciones de los distintos elementos, emerge la complejidad y la pluralidad.
4. En la agregación combinatorial de trillones de elementos repetitivos en sus distintas formas y estados del mundo cuántico a la emergencia de la complejidad en el mundo macroscópico hay dos vías: la no caótica, en la cual la agregación de causas y efectos elementales da lugar a un comportamiento estable y predecible en la práctica (por ejemplo, un objeto cayendo acelerándose uniformemente por la acción de la gravedad), y la caótica, en estructuras sumamente sensibles a las condiciones iniciales, que sirven de vía de transmisión entre las escalas implicadas (por ejemplo, el aleteo de una mariposa podría dar lugar a un huracán a miles de kilómetros, o así se puede entender - con ciertas reservas). En ambos casos, las reglas sencillas que parecen regir a nivel microscópico (cuántico) se agregan en reglas de interacción macroscópica que pueden ser representadas matemáticamente. En el primer caso (no caótico) los efectos son fácilmente predecibles, y en el segundo caso (caótico) no, o no más allá de un tiempo limitado.
5. Es razonable pensar, de todas formas, siguiendo una suerte de "principio antrópico", que es precisamente la predecibilidad, u orden, de la realidad física, la que posibilita la existencia de seres pensantes como nosotros (y a otro nivel, como los animales), con una representación mental (no necesariamente matemática en un sentido explícito, pero sí conrepresentaciones correctas que nos dan la capacidad de predecir intuitivamente) del mundo físico y sus fenómenos. La predecibilidad, antes que ser susceptible de ser modelada matemáticamente, es señal de orden subyacente, y nuestras neuronas (y las de los animales) son excelentes aprendiendo de forma insconsciente patrones repetitivos de orden. El ser humano da un paso más allá, agregando la capacidad de representación abstracta de los elementos que conforman dichos patrones.

En conclusión: no conocemos la estructura última del mundo físico, pero sabemos que tanto a nivel microscopico (cuántico) como a nivel macroscópico la materia-energía se comporta siguiendo patrones aprehensibles, por lo que es modelable mediante estructuras de representación abstractas que llamamos matemáticas, y, dentro de la incertidumbre inherente a la observación cuántica, por un lado, y a la sensibilidad de las condiciones iniciales en régimenes caóticos, por el otro, su comportamiento es predecible. Finalmente, podemos agregar como dificultad en la "predecibilidad" del comportamiento de los seres físicos usando herramientas matemáticas el estudio de seres altamente complejos, como los seres vivos. Aún así, es objeto de discusión hasta qué punto el comportamiento general de seres altamente complejos, como los seres humanos, es modelable matemáticamente (o deben incluirse siempre como factores decisivos aspectos culturales u otros difícilmente objetivables en un modelo matemático).