¿Es el número 5 un número primo?

Sí y no. Y esto no es una contradicción. En un sentido informal el 95% de la gente que sabe lo que es un número primo te dirá que sí, y eso se debe a que asumirán que si no especificas, te estás refiriendo a esta otra pregunta ¿En el sistema de los números enteros ZZ el número 5 es primo? Y ahí sí, en el anillo ZZ de los enteros no hay forma de una forma de expresar 5 como producto de otros dos números (a menos que no de ellos sea +1 o -1).

Sin embargo, existen otras posiblidades: Gauss introdujo los enteros gaussianos formados por números de la forma n1+n2in1+n2i, donde i2=−1i2=−1, por razones obvias este anillo se denota como Z+ZiZ+Zi. En este otro anillo, el 5 no es primo! Porque puede descomponerse como:

(1+2i)(1–2i)=5(1+2i)(1–2i)=5

En cambio en este otro anillo 1+2i1+2i y 1–2i1–2i son primos genuinos (también el número 3 o el 7 son primos genuinos ahí, pero no lo es el 5). Lamentablemente en este anillo de enteros gaussianos las descomposiciones no son únicas:

10=2⋅5=(1+3i)⋅(1–3i)10=2⋅5=(1+3i)⋅(1–3i)

*Nota, nótese que aquí 5 no es primo, la descomposición si sólo admitimos factores primos vuelve a ser única véase el excelente comentario de al respecto.