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Números complejos La s m ate má tic as so n fác ile s √ ⃗ ̅ Álgebra 6 Christiam Huertas Nivel UNI NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 2 Christiam Huertas Índice 1. Número complejo 03 2. Representación geométrica 04 3. Unidad imaginaria 05 4. Módulo de un número complejo 10 5. Forma polar o trigonométrica 12 6. Teorema de De Moivre 15 7. Exponencial compleja 17 8. Radicación de números complejos 19 9. Raíz enésima de la unidad 21 10. Problemas resueltos 23 11. Problemas propuestos 48 12. Claves 52 Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 3 Números complejos Históricamente los n úmeros complejos fueron introducidos para tratar ecuaciones polinomiales, tales como , que no tienen solución real. El camino hasta su descubrimiento no fue fácil, y su terminología se debe en parte a esto; se les ha denominado números "imposibles" e "imaginarios", y la palabra "complejo" da la impresión de que no son algo sencillo de entender. Afortunadamente, esa no es la situación actual: podemos introducirlos de manera relativamente elemental. Número complejo Un número complejo se define como el par ordenado de números reales ( ), es decir: ( ) es un número complejo Ejemplo 1. Son números complejos: ( ) ( √ ) ( ) ( ) OBS. Al conjunto de todos los números complejos se le denota como: , es decir: { ( ) } Forma binómica de un número complejo Todo número complejo ( ) es posible expresarlo como , donde √ es la unidad imaginaria. Es decir, ( ) Ejemplo 2. Son números complejos: ( ) ( √ ) √ ( ) ( ) Definiciones Para todo número complejo , se define: : parte real de . Se denota, ( ) : parte imaginaria de . Se denota, ( ) NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 4 Christiam Huertas Ejemplo 3. Dado el complejo , entonces ( ) ( ) Dado el complejo √ , entonces ( ) √ ( ) Igualdad de números complejos Dos números complejos son iguales, si y solo si sus partes reales y sus partes imaginarias son iguale s respectivamente. Es decir; si y entonces: Ejemplo 4. Dados los números complejos y Halle el menor valor de si . Resolución. Por dato: Por definición de igualdad de complejos: y De donde: y ( ) Por lo tanto, el menor valor de . Representación geomé- trica de un número com- plejo (diagrama de Argand) La representación geométrica se realiza en un plano, al cual lo llamaremos Plano Complejo o Plano de Gauss . Donde al eje lo denominaremos eje real y al eje como el eje imaginario. Sea con y . Donde ⃗⃗⃗⃗ ⃗ es el radio vector del complejo . Ejemplo 5. Represente geométricamente a los números complejos: y Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 5 Resolución. Para : Ubicamos: en el eje real y en el eje imaginario Para : Ubicamos: en el eje real y en el eje imaginario Unidad imaginaria La unidad imaginaria es el número √ y se designa por la letra . Es decir, √ Potencias de la unidad imaginaria Estudiaremos las potencias enteras del número , teniendo en cuenta las siguientes definiciones: Luego, … OBS. Se observa que las potencias enteras de se repiten cada cuatro veces, y se obtiene solo uno de los cuatro valores: ; ; ; Propiedades 1. En general: ; 2. NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 6 Christiam Huertas En general: ; 3. La suma de cuatro potencias consecutivas es cero. Es decir, ; Ejemplo 6. , pues es múltiplo de . , pues es múltiplo de . ( ) Ejemplo 7. Calcule el valor de . Resolución. Nos piden calcular ⏟ ⏟ (pues 2012 es múltiplo de 4) Por lo tanto, . Ejemplo 8. Dado el complejo calcule ( ) ( ). Resolución. Nos piden calcular Recuerde que: ̇ (es múltiplo de ) ̇ (es múltiplo de ) Es decir, ̇ (múltiplo de 4) a partir de . Luego, ̇ ̇ ̇⏟ ⏟ Por lo tanto, ( ) ( ) Ejemplo 9. Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 7 Tipos de números complejos 1 Complejo real Es aquel complejo que carece de parte imaginaria; es decir, su parte imaginaria es cero. ; 2 Complejo imaginario puro Es aquel complejo que carece de parte real; es decir, su parte real es cero. ; { } 3 Complejo nulo Es aquel complejo donde su parte real e imaginaria son ceros. Ejemplo 10. √ son complejos reales son complejos imaginarios puros Ejemplo 11. Si el complejo ( ) es imaginario puro, halle el menor valor real de . Resolución. Se tiene el complejo ( ) ( ) Como es imaginario puro, entonces ( ) ⏟ o Por lo tanto, el menor valor de es . Relaciones entre números complejos Dado el complejo , se definen: 1 Conjugado de : ̅ 2 Opuesto de : Ejemplo 12. Si , entonces { ̅ Si √ , entonces { ̅ √ √ NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 8 Christiam Huertas Representación geomé- trica de: , ̅ y Propiedades ̅ ̿ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ( ) ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̿ ̅ ( ) ̅ ( ) ̅̅ ̅ ( ̅) √ ̅̅ ̅̅ √ ̅ Operaciones con números complejos Sean y dos números complejos, definimos: 1 Adición ( ) ( ) 2 Sustracción ( ) ( ) 3 Multiplicación ( )( ) ( ) ( ) ( ) Es decir, ( ) ( ) 4 División Para dividir dosnúmeros complejos en forma práctica, multiplicamos al dividendo y al divisor por el conjugado del divisor: ( ) Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 9 ( ) ( ) Es decir, De donde: ( ) ( ) Ejemplo 13. Dados los números complejos y halle , , y . Resolución. ( ) ( )( ) ⏟ ⏞ ( ) Consecuencia Dado el numero complejo: Se cumplen: 1. es un complejo real si: 2. es un complejo imaginario puro si: Ejemplo 14. Halle el valor de si se sabe que el siguiente complejo es real. Resolución: Por dato: Aplicando la consecuencia 1: En nuestro caso: ( )( ) ( )( ) NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 10 Christiam Huertas Módulo de un número complejo Dado el complejo , su módulo o valor absoluto se denota y define como: | | √ Vemos que el módulo de , es un número real no negativo; es decir, | | , . Ejemplo 15. Si : | | √ ( ) √ Si : | | √ √ Si : | | √( ) √ Propiedades | | | | | | | |̅ | | | | ̅ | | | || | | | | | | | | | | | | √ | √| | ( ) | | ( ) | | | | | | | | | | | | | | || | | || | | Demostración de la desigualdad triangular: Partimos de la expresión | | : | | ( )( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ( )( ̅ ̅) ̅ ̅ ̅⏟ ̅ | | ̅ ̅̅̅ ̅̅⏟ | | | | ( ̅) | | | | | ̅| | | | | | || ̅| | | | | | || | | | (| | | |) Es decir, | | (| | | |) Tomamos √ : | | | | | | Ejemplo 16. Sea un número complejo tal que | | √ Halle el valor de √| |. Resolución Por dato: Desigualdad triangular Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 11 | | √ Como , entonces : √ √ Por igualdad de complejos se cumple que: √ y √ √ ( √ ) y √ √ Elevamos al cuadrado: √ ( ) Luego, √ Por lo tanto, √| | √√ ( √ ) √ √ Ejemplo 17. Dado el complejo: ( ) √ (√ √ ) √ Halle su módulo. Resolución: Nos piden hallar | |. Es decir, | | | ( ) √ (√ √ ) √ | Aplicamos la propiedad 6: | | |( ) √ | |(√ √ ) √ | Aplicamos la propiedad 5: | | |( ) | |√ | |(√ √ ) | |√ | Aplicamos la propiedad 7 y 8: | | | | √| | |√ √ | √| | | | √ √√ ( ) √√ ( √ ) √√ | | √ √√ √ √√ Simplificamos: | | √ | | Resultados notables A continuación mostramos algunos resultados que se deben tener presentes , ya que se utilizan a menudo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) También: NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 12 Christiam Huertas Ejemplo 18. Reduzca la expresión √ ( )√ Resolución. Tenga en cuenta que: ( ) Luego, √ ( )√ √ ( )√( ) √ ( )( ) diferencia de cuadrados √ ( ) √ √( ) Ejemplo 19. Resolución. Se tiene la expresión: ( ) Forma polar o trigonométrica de un número complejo Consideremos el plano de Gauss y ubiquemos al complejo con y . Del gráfico se obtiene: | | | | Lo reemplazamos en | | | | | |( ) Por lo tanto, | |( ) Es la forma polar o trigonométrica del complejo , donde al ángulo se le denomina argumento de y se denota por ( ) Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 13 Notamos que de la definición se deduce que el complejo tiene infinitos argumentos. Argumento principal El argumento medido en sentido antiorario y menor que una vuelta se denomina argumento principal de . Se denota: ( ) Cualquier argumento de será: ( ) Es decir, ( ) ( ) argumento principal Ejemplo 20. Represente en la forma polar los siguientes números complejos. √ y Resolución. Para √ : ( ) | | Luego, ( ) es la forma polar de . En general, puede ser expresado como: [ ( ) ( )] Resolución. Para : ( ) | | √ Luego, √ ( ) es la forma polar de . OBS. Podemos también usar la siguiente notación: ( ) Luego, ( ) ( ) NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 14 Christiam Huertas Ejemplo 21. ( ) ( ) √ ( ) √ ( ) Teoremas Dados los complejos: | |( ) | |( ) Entonces, | || |( ( ) ( )) | | | | ( ( ) ( )) Demostración (1er teorema): Como | |( ) | |( ) Entonces: | |( ) | |( ) | || |( )( ) Multiplicamos: | || |( ) | || |( ) | || | ( ⏟ ( ) ( )⏟ ) ( ) Luego, | || |( ( ) ( )) Demostración (2do teorema): Como | |( ) | |( ) Entonces: | |( ) | |( ) Multiplicamos por el conjugado del denominador arriba y abajo: | |( )( ) | | ( )( )⏟ | |( )( ) | |(( ) ( ) ) | |( )( ) | | ( )⏟ | | | | ( )( ) Multiplicamos: | | | | ( ) Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 15 | | | | ( ) ( ) | | | | ( ⏞ ( )⏟ )( ) Luego, | | | | ( ( ) ( )) Consecuencias Dados los complejos: | |( ) | |( ) Entonces, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 22. Dados los complejos ( ) ( ) Halle y . Resolución. Aplicamos el teorema anterior: ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( √ ) √ Teorema Teorema de De Moivre Si | |( ), entonces | | ( ) para todo . Demostración. La demostración lo haremos por el método de inducción matemática para : PRIMERO: Para : | |( ) es correcto. SEGUNDO: Asumimos que el resultado es verdadero para : | | ( ) NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 16 Christiam Huertas TERCERO: Ahora consideremos el caso : | | ( ) | |( ) | | ( ( ) ( )) | | ( ( ) ( ) ) Deducimos que el resultado es verdadero para cuando es verdadero para . Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos. De forma similar se demuestra para Ejemplo 23. √ halle . Resolución. √ Lo representamos en el plano de Gauss: ( ) | | Luego, ( ) Aplicamos el teorema de De Moivre: Por lo tanto, Ejemplo 24. Dado el complejo Resolución: Nos piden: Por dato: Elevamos a la : ( ) Aplicamos el teorema de De Moivre: ( ) De igual manera: ( ) ( ) ( ) Sumamos ( ) con ( ): Por lo tanto, . Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 17 Exponencial compleja (Fórmula de Euler) Se define la exponencial compleja como: donde: es la base del logaritmo neperiano. es el argumento medido en radianes. es la unidad imaginaria. Ejemplo 25. √ De aquí se obtiene la famosa identidad de Euler: Notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas. ⏟ ⏟ ; ; Forma exponencial de un número complejo Para todo número complejo , su forma polar esta dada por: | | ( )⏟ Luego, | | es la forma exponencial del complejo . Ejemplo 26. Exprese el complejo en su forma exponencial. Resolución. Para se tiene: | | √ ( ) Luego, √ esta escrito en su forma exponencial. Propiedades ( ) ; NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 18 Christiam Huertas Si reemplazamos por el complejo , se tiene: Para los complejos | | y | | se cumplen: | || | ( ) | | | | ( ) Ejemplo 27. Exprese en forma exponencial ( ) ( ) Resolución. Expresamos cada factor en su forma exponencial: Para : √ ( ) √ Para : [ ( ) ( )] Luego, ( ) ( ) √ √ √ está escrito en su forma exponencial. Definición Dado el número complejo . El número se define como: ( ) Pues, ( ) Ejemplo 28. ( ) √ ( √ √ ) ( ( ) ( )) Propiedades | | (módulo de ) ( ) (argumento de ) Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 19 Radicación de números complejos Una raíz enésima del número complejo | |( ) | | es el número complejo tal que . Es decir, √ donde y . Teorema Dado el número complejo | |( ) | | entonces, √ ⏟ √| | ( ) donde ( ). Es decir, se obtienen raíces: , , , …, Demostración. Sean | |( ) | |( ) Por definición de radicación: √ Es decir, [| |( )] | |( ) | | ( ) | |( ) | | ( ) | |( ) | | | | | | | | Por igualdad de complejos: | | | | y | | | | De donde: | | | | | | √| | Por lo tanto, √ √| | ( ) donde ( ) Ejemplo 29. Dado el complejo √ , halle √ Resolución. Para √ se tiene: | | ( ) Luego, NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 20 Christiam Huertas √ √ ( ) para . √ ( ) √ ( √ ) √ ( ) √ ( √ ) Dado el complejo , entonces √ (√ | | ( )√ | | ) donde ( ) es el signo de . Ejemplo 30. Halle las raíces cuadradas del complejo . Resolución. Se tiene el complejo: donde: ( ) ( ) | | √( ) Utilizando la regla práctica, se sabe que: √ (√ | | ( )√ | | ) √ (√ ( )√ ( ) ) √ (√ √ ) √ ( ) Es decir, √ { Ejemplo 31. Dado el complejo √ , halle √ Resolución. Para √ se tiene: | | ( ) Luego, √ √ ( ) ( ) para . ( ) Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 21 ( ) ( ) Raíz enésima de la unidad Sea el complejo se puede expresar como: entonces, √ donde ( ). Ejemplo 32. Halle las raíces cúbicas de la unidad. Resolución. Nos piden hallar √ . De la propiedad anterior, se sabe que √ donde: .√ √ Luego, √ { √ √ OBS. Llamemos a √ entonces, √ Luego, las raíces cúbicas de la unidad son: Se cumple que Ejemplo 33. Si es la raíz cúbica no real de la unidad, calcule el valor de la siguiente expresión. √( )( )( ) Resolución. Como es la raíz cúbica no real de la unidad, se cumplen: NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 22 Christiam Huertas Entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Reemplazando: √ ( )⏞ ( ) ( )⏞ √ ( )( ) ( ) √ ⏞ ( )⏟ √ Interpretación geométrica de las raíces cúbicas de la unidad Las tres raíces cúbicas de la unidad: , y tienen el mismo mó dulo, y por tanto sus afijos están sobre la circunferencia unitaria. En general: Si , entonces √ { Es decir, el índice nos indica la cantidad de raíces que se obtiene. Además, Es decir, la suma de todas las raíces siempre es cero. | | | | | | | | |√ | Es decir, todas las raíces tienen el mismo módulo. Ejemplo 34. Si son las raíces de √ , calcule | | | | | |. Resolución. Se sabe que: | | | | | | |√ | | √ | √| | | | | | | | Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 23 Problemas resueltos Problema 1. Calcule el valor de la expresión . A) 0 B) 1 C) D) E) Resolución Nos piden hallar Por propiedad de multiplicación de bases iguales (los exponentes se suman) ( ) ̇ Por lo tanto, el valor de es . Rpta: D Problema 2. Dado el polinomio ( ) calcule el valor de ( ) donde √ . A) B) C) D) E) Resolución Evaluamos el polinomio ( ) para : ( ) ⏟ Luego, ( ) ̇ Por lo tanto, ( ) Rpta: A Problema 3. Sean e dos números reales de modo que ( ) ( ) Calcule el valor de . A) 1 B) 2 C) 4 D) 9 E) 16 Resolución Por dato ( ) ( ) Operando se obtiene: Agrupamos la parte real y la parte imaginaria respectivamente: NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 24 Christiam Huertas ( ) ( ) Por igualdad de complejos se cumple que { Restamos: De donde Por lo tanto, Rpta: D Problema 4. Calcule el valor de si se sabe que el siguiente complejo es imaginario puro. ( ) ( ) A) B) C) D) E) Resolución Como el complejo es imaginario puro, entonces su parte real debe ser cero. Recuerde que: ( ) Por dato: ( ) ( ) entonces ( ) ( ) ( )( ) Por lo tanto el valor de es . Rpta: B Problema 5. Calcule el valor de la siguiente expresión. √ √ A) √ B) C) √ D) E) Resolución Nos piden calcular √ √ Elevamos al cuadrado: (√ √ ) √ √ √ √ √( )( ) √ ( ) √ √ Por lo tanto, . Rpta: D Problema 6. Halle el equivalente del complejo . Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 25 A) 0 B) C) D) E) 1 Resolución Recuerde que: Nos piden hallar ⏟ ⏟ ⏟ Vemos que la suma de dos términos consecutivos siempre es cero. Como ( ) Entonces en hay en total sumandos. Luego: Por lo tanto, . Rpta: D Problema 7. Dados los complejos , Halle el valor de | ̅ | ) √ ) √ ) √ ) ) Resolución Reemplazamos los valores de , , y : | ̅ | | ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ | | ( ) | | ( ) | | | | | √( ) ( ) √ √ Rpta: B Problema 8. Dados los números complejos y tales que | | | | . Halle el módulo de ̅ A) 3 B) 1 C) 1/2 NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 26 Christiam Huertas D) 11 E) 2 Resolución Nos piden calcular: | ̅ | √| ̅ | √ | | | ̅| √ ( )( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ( ̅)( ̅ )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ √ ( )( ̅ ̅) ( ̅ ) ( ⏟̿ ̅) √ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ √ | | ̅ ̅ | | ̅ ̅ | | | | Reemplazamos el dato | | | | : √ ̅ ̅ ̅ ̅ √ | ̅ | Rpta: B Problema 9. Halle el argumento principal del complejo ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) Considere { } . A) B) C) D) E) Resolución Se tiene el complejo: ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) Lo operamos para llevarlo a la forma : ( )( ) ( ) Agrupamos convenientemente: ( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ( ) ( )) Factorizamos en cada paréntesis: ( )( )( )( ) ( )( ) Agrupamos convenientemente: ( )( )⏟ ( )( )⏟ ( )( )⏟ Aplicamos la diferencia de cuadrados: ( )( )( ) ( )( )( )⏟ Es decir, el complejo tiene la forma: Por lo tanto, ( ) Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 27 Rpta: C Problema 10. Dado el complejo √ , halle el argumento de . A) B) C) D) E) Resolución Se tiene el complejo:√ Lo elevamos al cuadrado: (√ ) √ Aplicando la fórmula de Euler: ( ) Sumamos : ( ) Analizamos el triángulo isósceles: Del gráfico se cumple que: ( ) Rpta: C Universidad Nacional del Callao (UNAC) Problema 11. Si , determine . A) B) 0 C) D) E) UNAC 2007 – II Resolución Se tiene el complejo Elevamos a la : ( ) NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 28 Christiam Huertas Aplicamos el teorema de De Moivre: ( ) ( ) Por lo tanto, . Rpta: C Problema 12. Si y son enteros positivos y el número complejo ( ) también es entero, el menor valor de es A) 8 B) 4 C) 6 D) 5 E) 7 UNAC 2008 – I Resolución Desarrollemos ( ) por la identidad de Cauchy: ( ) ( ) ( ) ( ) Luego, ( ) ( ) Pero por dato; ( ) es entero (es decir, es un complejo real), entonces su parte imaginaria es cero. Luego, ( ) Por comparación se obtiene: y Por lo tanto, el menor valor de es . Rpta: D Problema 13. Si donde , entonces es igual a A) B) C) D) E) UNAC 2010 – II Resolución Nos piden hallar Agregamos y quitamos conveniente- mente: ⏟ Luego, ⏟ ya que es múltiplo de . Rpta: E Problema 14. Si , el número complejo Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 29 A) un número real. B) un número de módulo 1. C) un número de módulo √ D) de la forma con . E) un imaginario puro. UNAC 2011 – II Resolución Reduzcamos el complejo : ( ) Multiplicamos por arriba y abajo: ( ) ( )( ) Es decir, Luego, | | √( ) √ Rpta: C Problema 15. Si el número complejo , con y números reales, cumple | | y | | √ , entonces | | es igual a A) 68 B) 208 C) 169 D) 100 E) 289 UNAC 2012 – I Resolución Por dato: | | Reemplazamos : √ Ordenamos: ( √ ) Por igualdad de complejos se cumple que: √ y √ Elevamos al cuadrado: √ ( ) Nos piden: | | √ Rpta: E Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) Problema 16. El número complejo satisface la determine el valor de ( ) donde NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 30 Christiam Huertas ( ) . A) B) C) D) √ E) UNI 2000 – II Resolución En la ecuación: Sumamos 1: ( ) ⏞ ( ) ( ) Cancelamos ( ) en ambos lados: De donde Lo reemplazamos en ( ) : ( ) ( ) ( ) ⏟ ( ) Por lo tanto, ( ) . Rpta: E Problema 17. El valor de la expresión ( ) A) 1 B) C) – D) E) UNI 2001 – I Resolución Se quiere hallar el valor de ( ) Pero se sabe que: Reemplazamos: ( ) ̇ Por lo tanto, ( ) Rpta: D Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 31 Problema 18. Si y son las raíces cuadradas del número complejo , entonces el valor de ( ) es A) B) C) 0 D) 1 E) UNI 2002 – I Resolución Recuerde que: Para todo número complejo , ; se cumple que: √ { √ | | √ | | √ | | √ | | Es decir, una raíz es el opuesto de la otra. Por dato, y son las raíces del complejo , entonces, por la propiedad anterior: Por lo tanto, ( ) Rpta: C Problema 19. Al resolver, en el conjunto de los números complejos, el sistema { ( ) ( ) ) ) ) ) ) UNI 2002 – II Resolución Se tiene el sistema: { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Multiplicamos ( ) por ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ): ( ) ( ) Reemplazamos en ( ): ( ) Multiplicamos por : NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 32 Christiam Huertas Nos piden calcular: ⏞ Por lo tanto, Rpta: C Problema 20. Halle el módulo del complejo donde y 〈 〉 A) B) C) D) E) UNI 2002 – II Resolución Se tiene el complejo ( ) ( ) ⏞ ( )( )⏟ (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Reemplazamos : ( ( ) ) ( ) ( ( )) Recuerde que: En el problema: ( )Cancelamos : ( ) ( ) ( ) ( ) Tomamos módulo: Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 33 | | | ( ) | | || | | | | | 〈 〉 Recuerde que: | | √ ( ) √ Similarmente: | | Por lo tanto, | | Rpta: C Problema 21. | ̅ | [ ( )] entonces el número complejo en su forma polar es ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) UNI 2003 – I Resolución Nos piden el complejo en su forma polar. Por dato: | ̅ | | ̅|| | | | | | También [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )⏟ De donde ( ) Se sabe que un complejo en su forma polar está dado por: | |( ) Por lo tanto, ( ) Rpta: A Problema 22. Indique gráficamente todos los puntos del plano que verifican las relaciones | | y | | donde NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 34 Christiam Huertas A) B) C) D) E) UNI 2003 – II Resolución Por dato: | | y | | Reemplazamos : | | y | | | | ⏟ y √ ⏟ y y y Gráfica de la relación : Gráfica de la relación : Intersectando ambas regiones se obtiene: Rpta: D Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 35 Problema 23. Halle la suma de números complejos. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A) ( ) B) ( ) C) D) ( ) E) ( ) UNI 2004 – I Resolución Nos piden calcular ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Agrupamos convenientemente: ( ) ( ) Donde: ( ) Recuerde que: Por lo tanto, ( ) ( ) Rpta: B Problema 24. El número complejo ( ) es igual a A) B) ( ) C) D) E) UNI 2004 – II Resolución Se tiene el complejo ( ) Lo expresamos en función de senos y cosenos: ( ) ( ) ( ) Aplicamos la fórmula de De Moivre: Simplificando se obtiene: Por lo tanto, . Rpta: E NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 36 Christiam Huertas Problema 25. Dada la región { | | | | } Halle y en tal que | | sea el valor máximo. De como respuesta . A) B) C) D) E) UNI 2005 – I Resolución Por dato se tiene las relaciones: | | | | | ( )| | ( )| | ( )| : Representa un disco cuya frontera es la circunferencia de centro y radio . | ( )| : Representa un disco cuya frontera es la circunferencia de centro y radio . Al unir las dos regiones se obtiene: Nos piden calcular el máximo valor de | |. Pero | | es por definición la distancia entre los complejos y . Del gráfico, la mayor distancia entre y se da cuando y son los extremos del segmento de recta ̅̅ ̅̅ que pasa por los centros. Es decir; y Por lo tanto, ( )( ) Rpta: B Problema 26. Determine la representación geométrica de todos los puntos del plano complejo que satisfacen la condición: | | | | A) B) Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 37 C) D) E) UNI 2006 – I Resolución Por dato, se tiene la relación | | | | donde . Es decir, | | | | |( ) |⏟ |( ) |⏟ √( ) √( ) Elevamos al cuadrado: √( ) ( √( ) ) ( ) √ ( ) √ ( ) ( ) ⏟ √( ) Sacamos cuarta: √( ) Elevamos al cuadrado: ( √( ) ) ( ) (( ) )⏟ Dividimos entre : Le damos forma: √ Vemos que la frontera de la región es la elipse √ de ejes: y √ √ luego, la relación: √ está representada por la siguiente región: NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 38 Christiam Huertas Rpta: B Problema 27. Si , grafique todos los puntos en el plano cartesiano que representa el conjunto { | | } A) B) C) D) E) UNI 2006 – II Resolución Por dato, se tiene la relación | | donde . Es decir, | | |( ) | |( ) | √( ) √( ) Elevamos al cuadrado: ( ) ( ) Dividimos entre : Completamos el cuadrado, para eso sumamos en ambos lados: Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 39 ⏟ ( ) Vemos que la frontera de la región es la circunferencia de ecuación: ( ) ( ) cuyo centro y radio respectivamente es: ( ) luego, la relación ( ) está representada por la siguiente región, donde no se considera a la frontera por ser una desigualdad estricta: Rpta: A Problema 28. Halle el argumento de un número complejo que equidista de los complejos: √ ( ) A) B) C) D) E) UNI 2006 – II Resolución Se tiene los complejos: √ ( ) Vemos que el complejo que equidista de , y se ubica en el centro de la circunferencia; en el grá fico anterior, el centro se encuentra en la bisectriz del triángulo formado por los afijos de , y . Luego, el argumento del complejo es . Rpta: C Problema 29. Si y , calcule el valor de . ( √ √ ) ( √ √ ) A) 0 B) 1 C) 2 NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 40 Christiam Huertas D) 3 E) 4 UNI 2007 – I Resolución Nos piden calcular ( √ √ ) ( √ √ ) donde y . Entonces ( √ √ ) ( √ √ ) Acomodamos convenientemente: ( √ ( )) ( √ ( )) [( √ ( )) ] [( √ ( )) ] [ ( ) ][ ( ) ] [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) Por lo tanto, Rpta: C Problema 30. El número ( ) para y puede representarse como ) ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ) ) UNI 2008 – II Resolución Se pide hallar el complejo ( ) en su forma polar. Se sabe que: √ ( ) √ Lo reemplazamos en : (√ ) (√ ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 41 Rpta: C Problema 31. Sea el número complejo [ ] [√ ( )] [ ] [ ] la forma polar de es A) √ B) √ C) √ D) √ E) √ UNI 2008 – II Resolución Se tiene el complejo [ ] [√ ( )] [ ] [ ]⏟ Recuerde que: Fórmula de De Moivre: ( ) Luego, en : ( )√ ( ) ( )( ) Recuerde que: ( )( ) ( ) ( ) Lo aplicamos en : √ ( ) √ √ ( ) √ ( ) √ Rpta: E Problema 32. La raíz cúbica del número complejo de mayor argumento principal, es también raíz 18 -ésima de otro complejo con y números reales. Determine el valor de . A) (√ ) B) C) (√ ) D) E) UNI 2009 – II Resolución Recuerde que: √ { √| | ( ) √| | ( ) √| | ( ) donde es el argumento principal de . NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 42 Christiam Huertas En este caso, ; entonces, | | y Reemplazamos: √ { √ ( ) √ ( ) √ ( ) Luego, la raíz cúbica de de mayor argumento principal es √ ( ) Por dato, debe ser igual a √ ; es decir √ ( ) √ Elevamos a la : √ ( ) ⏟ √ ( ) ( ) ( ) De donde, y Por lo tanto, Rpta: D Problema 33. Dadas las siguientes proposiciones: I. Las raíces de pertenecen a un polígono regular de lados, . II. Si y 〈 〉, entonces 〈 √ √ 〉 〈 √ 〉 III. Dados 〈 〉 tales que ; si ( ) ( ), entonces ( ) . Indique cuales son correctas. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III UNI 2010 – I Resolución Al analizar cada proposición se obtiene: I. Falso Se tiene la ecuación ⏟ Por simple comparación: , Es decir, Vemos que las soluciones de la ecuación no forman un polígono convexo. Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 43 II. Falso Veamos un contraejemplo: 〈 〉 Reemplazando en De donde, 〈 √ 〉 III. Verdadero Como 〈 〉 y Además, ( ) ( ), entonces de donde ( ) Por lo tanto, solo III es correcto. Rpta: D Problema 34. Sean los números complejos y √ , y los conjuntos { | ̅ | } { √ | | } ¿Cuál de las siguientes gráficas representa a ? A) B) C) D) NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 44 Christiam Huertas E) No hay clave UNI 2010 – II Resolución Hallemos las regiones determinadas por cada conjunto: { | ̅ | } De aquí: | ̅ | Reemplazamos : | ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ | | | | ( ) | √ ( ) Elevamos al cuadrado: ( ) Relación que gener a una corona circular de centro ( ), radios y . Ahora en el conjunto : { √ | | } donde . Como | | es verdadero para todo , entonces es el semiplano de puntos ( ) tal que , como se muestra en la figura: Al intersectar los las regiones y se obtiene: No hay alternativa correcta Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 45 Problema 35. Al resolver el sistema { | | donde es un número complejo; la suma de las ordenadas de los puntos solución es: A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 UNI 2011 – II Resolución Se tiene el sistema { | | En la 1era ecuación: | | Reemplazamos : | | | ( ) | √ ( ) Al cuadrado: ( ) … (*) De la 2da ecuación: … (**) Lo remplazamos en (*): ( ) Factorizando por aspa simple: ( )( ) De donde Reemplazamos en (**): Si : Luego, una solución es: ( ) Si : √ √ Se obtienen dos soluciones más: (√ ) y ( √ ) Por lo tanto, la suma de las ordenadas de las soluciones es: Rpta: A Problema 36. Sea ( ) ( √ √ ) (√ ) ( √ √ )( √ √ ) Indique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera. ( ) √ ( ) √ √ NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 46 Christiam Huertas A) solo I B) solo II C) solo III D) I y III E) I, II y III UNI 2011 – II Resolución Se tiene la expresión √ √ √ √ ( ) ( √ √ ) (√ ) ⏞ ( √ √ ) ( √ √ ) ⏟ ( √ ) ( √ ) Operamos: ( )( √ ) ( ) √ √ ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) √ √ Entonces ( ) √ ( ) √ Expresemos ( ) en su forma polar: ( )( √ ) Tenga en cuenta que: √ √ Reemplazamos en : √ √ ( ) √ Luego, en las proposiciones: I. Verdadero II. Falso III. Verdadero Rpta: D Problema 37. Al determinar la forma compleja de la ecuación ( ) ( ) obtenemosA) ̅ ( ) ( ) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ B) ̅ ( ) ( ) ̅ C) ̅ ( ) ( ) ̅ D) ̅ ( ) ( ) ̅ E) ̅ ( ) ( ) ̅ UNI 2012 – II Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 47 Resolución Recuerde que la ecuación de la circunferencia con centro en el origen está dado por: se puede expresar como | | donde . Si el centro es el punto ( ), la ecuación es: ( ) ( ) se puede expresar como | | Donde: y . Por dato se tiene la ecuación ( ) ( ) se puede expresar como: | | Donde y es decir, | ( )| Elevamos al cuadrado: | ( )| ⏟ ( )( ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ( ( ))( ̅ ( )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) ( ( ))( ̅ ( )) Multiplicamos: ̅ ( ) ( ) ̅ ( )( ) ̅ ( ) ( ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ̅ ̅ ( ) ( ) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ( ) ̅ ( ) ( ) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ Por lo tanto, la forma compleja de la ecuación ( ) ( ) es: ̅ ( ) ( ) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ Rpta: A NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 48 Christiam Huertas Problemas propuestos Problema 1. Efectúe la siguiente expresión. √ √ √ √ A) B) C) ) √ ) Problema 2. Determine el valor de ( ) ( ) si se sabe que: A) B) C) 0 D) 6 E) Problema 3. Determine el valor de . A) B) C) D) E) Problema 4. Calcule ( √ ) ( √ ) A) 3 B) 4 C) 5 D) 1 E) 2 Problema 5. Efectúe ( ) ( ) ( ) ( ) A) B) C) D) E) Problema 6. A partir de la igualdad de números complejos ( ) ( ) ( ) ( ) determine el valor de . A) 80 B) 60 C) 70 D) 50 E) 90 Problema 7. Sean con | | | | tal que ( ) ( ) calcule ( )( ). A) B) C) D) E) Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 49 Problema 8. Sean y dos números complejos definidos por ( ) Si es un complejo real, entonces ¿cuál es el valor de ? A) B) C) D) E) 2 Problema 9. Dada la igualdad de complejos ( ) ( ) ( √ ) ( √ ) halle el mayor número de tres cifras que cumple con esta condición. A) 999 B) 994 C) 998 D) 997 E) 996 Problema 10. Si se cumple que ∑ ( ) donde ; , calcule . A) 64 B) 128 C) 32 D) 8 E) 16 Problema 11. En , halle los valores de e que satisfacen la siguiente ecuación. ) ) ) ) ) Problema 12. Dado el polinomio ( ) √ √ calcule el valor de | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | A) 2 B) 4 C) 7 D) √ E) √ Problema 13. Para que valores de e los números complejos: I. Son iguales. II. Son conjugados. III. Son opuestos. Indique el valor de en cada caso respectivamente. NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 50 Christiam Huertas A) 3; 2; 5 B) 2; 6; 0 C) 2; 3; D) ; 3; 0 E) 4; 3; Problema 14. Determine el valor positivo de si se sabe que ( ) A) √ B) C) √ D) √ E) Problema 15. Si la gráfica del número complejo es el que se muestra en la figura halle el valor de . A) 4 B) C) 1 D) E) 2 Problema 16. Sean y dos números reales de modo que: [( ) ] √ calcule el módulo del complejo ( ). A) √ B) 11 C) 5 D) √ E) 13 Problema 17. Sea un número complejo de modo que | | √ Entonces, ¿cuál es el valor de √| |? A) B) 1 C) 4 D) 2 E) 9 Problema 18. Si ( ̅) donde Calcule el valor de | | | | . A) 1 B) 7 C) 28 D) 30 E) 49 Problema 19. Halle todos los números complejos que verifican la ecuación ̅ . A) { } B) { } C) { } D) { } E) { } Problema 20. Halle el valor de la expresión . ( √ √ ) A) 1 B) √ C) D) √ E) Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Christiam Huertas 51 Problema 21. Indique el argumento principal de cada complejo: √ √ √ ) ) ) ) ) Problema 22. Determine el valor reducido de ( ) ( ) ( ) en radianes. ) ⁄ ) ⁄ ) ⁄ ) ⁄ ) ⁄ Problema 23. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda, tal que I. ( ) ( ) II. ( ) ( ) ( ) ( ), . III. ( ) ( ) IV. ( ) ( ̅) ) ) ) ) ) Problema 24. Al representar a √ en su forma polar se obtiene que ( ) tal que ( ); determine el conjugado de ( ( ) ) ) ) ) ) ) Problema 25. Reduzca la expresión siguiente. √ ) )( ) ) ) ) Problema 26. Sean los complejos determine la parte real de ) ) ) ) ) Problema 27. Si se tiene que √ √ NÚMEROS COMPLEJOS Álgebra 52 Christiam Huertas Entonces calcule el valor de ( )( ) ) ) ) ) ) Problema 28. Halle el área de la región delimitada porlos conjuntos { | | } { ( ) ( ) } ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) Problema 29. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones con respecto a la ecuación I. Tres raíces están en el segundo cuadrante. II. Si , , …, son las raíces, entonces . III. Si , , …, son las raíces, entonces | | | | | | A) FVF B) VVV C) FFF D) VVF E) FFV Problema 30. Si , y son las raíces cúbicas de la unidad, calcule ((( ) ) ) A) B) C) D) E) Claves 01 A 11 B 21 D 02 B 12 A 22 C 03 C 13 B 23 A 04 D 14 A 24 E 05 B 15 C 25 A 06 A 16 E 26 C 07 D 17 D 27 A 08 C 18 C 28 C 09 E 19 A 29 A 10 B 20 A 30 E www.facebook.com/algebrapre Otras publicaciones 2019-03-31T04:12:30+0000 Preflight Ticket Signature
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