¿Cuál es la diferencia, en la enseñanza de materias como las matemáticas, entre un ejercicio y un problema?

Este es un tema que me preocupa y al que he dedicado esfuerzos toda la vida, especialmente desde que estoy jubilado y tengo más tiempo.

En primer lugar es aplicable a las matemáticas, pero no solo a ellas.

Por ejemplo un problema en literatura podría ser encontrar metáforas relacionadas con animales en las obras de Shakespeare. Pero, obviamente, no está al alcance de la inmensa mayoría de las personas, incluso las que han visto representaciones de bastantes de sus obras.

Pasemos a la geografía. Aquí sí que he llegado a generar problemas, especialmente desde que podemos acceder con facilidad a mapas o imágenes fotográficas por internet. Por ejemplo, en una foto rasante donde se ven dos pueblos en perspectiva, determinar desde donde se ha tomado, sabiendo aproximadamente la zona. De todas maneras, estos problemas, aunque sean de los que no se resuelven por fuerza bruta, son relativamente limitados, el número de estrategias a seguir no es muy numeroso.

Pero en matemáticas sí que es posible generar muchísimos problemas a partir de elementos simples que no requieran búsquedas exhaustivas en internet, ni siquiera dominar temas complejos.

Aquí me he encontrado con multitud de profesores de matemáticas que me preguntan:

—¿Pero esto, como lo incluyo en el programa?

Mi respuesta es que, en principio, no pretendo enseñar el «programa de matemáticas» sino enseñar a pensar, a desarrollar métodos heurísticos que puedan ser útiles en cualquier campo, incluidas las matemáticas, no tanto los detalles en sí, sino las estrategias globales.

Tres ejemplos de diverso nivel, con enunciado corto, sin añadirles «argumento»:

■ Tenemos una cierta cantidad de canicas comprendida entre 100 y 200. Nos damos cuenta se que no es posible formar con ellas una figura de varias líneas, cada una con una canica menos que la anterior ¿Cuantas canicas tenemos?
■ ¿Cómo podemos dividir una cruz griega —la formada por cinco cuadrados iguales— en cuatro piezas idénticas que se puedan unir para formar un cuadrado?
■ ¿Cuánto mide el mayor octaedro regular que cabe dentro de una caja cúbica de un metro de arista?

—A mí, no me han enseñado a hacer esto —afirman algunos con una cierta cara de miedo. Algunos que están realmente capacitados para resolver el problema.

Miedo implícito a enfrentarse a problemas sin el salvavidas de un algoritmo, que a menudo llaman «fórmula», para resolverlo.

—Estos problemas son de «idea feliz» —pues felicidades, pero inventa algo para encontrar la solución, valen más las ideas variadas pero razonables que una sola que solucione feliz o mágicamente el problema.