¿Cómo sería la gravedad si la Tierra fuera un cubo?

Introducción

Por allá de 1666, Newton estipuló la Ley de Gravitación Universal que dice que la Fuerza de Atracción, entre dos partículas con masa, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. De esta forma, el campo (vectorial) gravitacional se puede escribir como:

g⃗ (r⃗ )=F⃗ m=−G∫Vρ(r′→)e^r⃗ −r′→|r⃗ −r′→|2d3r′g→(r→)=F→m=−G∫Vρ(r′→)e^r→−r′→|r→−r′→|2d3r′

(Donde r′→r′→ es la distancia del origen a un elemento de masa y r⃗ r→ es la distancia del origen al punto de observación.)

Pero dada la simetría del problema, utilizar esta relación sería muy engorroso, por ello, es mejor calcular el Potencial Gravitacional ΦG(r)ΦG(r) y luego utilizar el hecho de que:

g⃗ =−∇ΦG(r)g→=−∇ΦG(r)

Donde el potencial gravitacional, se puede escribir como:

ΦG(r)=−G∫Vρ(r′→)|r⃗ −r′→|d3r′ΦG(r)=−G∫Vρ(r′→)|r→−r′→|d3r′

Desarrollo

Sea la Tierra un Cubo de lado 2L2L, centrada en el origen, y de densidad constante ρ(r′→)=ρtρ(r′→)=ρt entonces:

ΦG(x,y,z)=−Gρt∫L−L∫L−L∫L−Ldx′dy′dz′(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2√ΦG(x,y,z)=−Gρt∫−LL∫−LL∫−LLdx′dy′dz′(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2

Usando el cambio de variable: u=x′−xu=x′−x, v=y′−yv=y′−y, w=z′−zw=z′−z:

ΦG(u,v,w)=−Gρt∫L−z−L−z∫L−y−L−y∫L−x−L−xdudvdwu2+v2+w2√ΦG(u,v,w)=−Gρt∫−L−zL−z∫−L−yL−y∫−L−xL−xdudvdwu2+v2+w2

Integrando en uu:

ΦG(u,v,w)=−Gρt∫L−z−L−z∫L−y−L−y{ln(u+u2+v2+w2−−−−−−−−−−√)}L−xu=−L−xdvdwΦG(u,v,w)=−Gρt∫−L−zL−z∫−L−yL−y{ln⁡(u+u2+v2+w2)}u=−L−xL−xdvdw

Integrando en vv:

ΦG(u,v,w)=−Gρt∫L−z−L−z{{−v+warctan(vw)−warctan(uvwu2+v2+w2√)+vln(u+u2+v2+w2−−−−−−−−−−√)+uln(v+u2+v2+w2−−−−−−−−−−√)}L−xu=−L−x}L−yv=−L−ydwΦG(u,v,w)=−Gρt∫−L−zL−z{{−v+warctan⁡(vw)−warctan⁡(uvwu2+v2+w2)+vln⁡(u+u2+v2+w2)+uln⁡(v+u2+v2+w2)}u=−L−xL−x}v=−L−yL−ydw

Integrando en ww:

ΦG(u,v,w)=−Gρt{{{uvln(w+r)+vwln(u+r)+wuln(v+r)−u22arctan(vwur)−v22arctan(wuvr)−w22arctan(uvwr)+u2arctan(wu)+v2arctan(wv)+v2+w22arctan(vw)−w2(3v+2u)}L−xu=−L−x}L−yv=−L−y}L−zw=−L−zΦG(u,v,w)=−Gρt{{{uvln⁡(w+r)+vwln⁡(u+r)+wuln⁡(v+r)−u22arctan⁡(vwur)−v22arctan⁡(wuvr)−w22arctan⁡(uvwr)+u2arctan⁡(wu)+v2arctan⁡(wv)+v2+w22arctan⁡(vw)−w2(3v+2u)}u=−L−xL−x}v=−L−yL−y}w=−L−zL−z

Evaluando en los límites correspondientes da un total de 120 términos.

Gráficas

Se graficará de forma general el comportamiento de los potenciales escalar y vectorial, con L=1L=1, G=1G=1, ρt=1,ρt=1, en z=0z=0.

El Potencial Escalar:

Nótese como las equipotenciales empiezan como círculos y conforme van a la superficie de la tierra cúbica, éstas se deforman ligeramente, esto significará que la gravedad es más intensa en estos puntos, como se verá en la siguiente sección. (Los colores indican la intensidad del campo, e.g. entre más cerca del núcleo, menos intenso.)

El Campo Vectorial Gravitacional (alias gravedad):

1.- Cerca de la Superficie:

(Recordar que la tierra está en los intervalos [−1,1][−1,1] tanto en la horizontal como en la vertical.)

Nótese cómo las líneas de campo son más intensas en el centro de las superficie de las caras (rojo), mientras que hacia el centro de la arista del cubo (esquinas en el gráfico) el campo disminuye (amarillo).

Esto dará lugar a que si uno camina del centro de una cara, hacia el centro de una arista del cubo, se sentirá cómo una fuerza nos jala de regreso al centro de la cara (técnicamente uno “cae” hacia el centro), además de que conforme vayamos llegando a la arista, deberemos caminar cada vez más inclinados hasta llegar a los 45 grados en la arista para no caerse (tan sólo imagina eso).

Dado que la gráfica corresponde a un corte transversal en z=0z=0, es intuitivo pensar que si uno va hacia los vértices del cubo, e.g coordenada (1,1,1), el campo será aún más pequeño que en el centro de la arista, si lo graficara los vectores serían de color verde. Entonces, al caminar del centro de una cara hacia un vértice, podrá uno sentir cómo no sólo se siente una fuerza hacia el centro de la cara, sino hacia las aristas también.

Así, la gravedad ya no es uniforme como lo es con una tierra esférica. El viajar sobre la superficie de la tierra cúbica podría tener efectos sobre el cuerpo humano (mareos, desmayos, etc…).

2.- Dentro del Planeta:

Dentro de la superficie el análisis en similar al punto anterior, sin embargo el campo empieza a comportarse un poco más uniforme, hasta que se anula en el origen.

3.- Lejos de la Tierra:

Nótese que si nos alejemos de la tierra, el campo eventualmente se hará radial, uniforme y tenderá a cero.