Una bacteria única tiene una probabilidad 0.8 de duplicarse en un día y 0.2 de morir. ¿Cuál es la probabilidad de que su estirpe no desaparezca?

A veeeer. Hay una cosa del enunciado que no me queda clara, y es que el hecho de que 0.8+0.2=10.8+0.2=1 sugiere que los dos eventos (duplicarse o morir) son exhaustivos y mutuamente excluyentes, o sea que tiene que pasar una y sólo una de las dos cosas. Pero hay otra manera de interpretar el enunciado: que con probabilidad 0.80.8 el microbio produce un clon, y luego, independientemente (¿¿o no??), desaparece con probabilidad 0.20.2 (y de lo contrario persiste hasta el día siguiente con una nueva oportunidad de reproducirse y sobrevivir). Y otra más: ¿qué tal si primero se comprueba si la bacteria muere con probabilidad 0.20.2, y luego en caso negativo se decide si se duplica, con probabilidad 0.80.8?

En vista de que sólo una de las opciones está definida con claridad, voy a tomar el enunciado de esa manera.

Primero estoy suponiendo que todos los eventos relevantes son independientes, o sea que cada día una bacteria dada tiene la misma probabilidad de reproducirse y de morir, y que esto no tiene nada que ver con que las otras bacterias se reproduzcan o se mueran.

Voy a llamar pp a la probabilidad de que la estirpe de una bacteria dada desaparezca, o sea de que en algún tiempo finito todos sus descendientes hayan desaparecido. (O sea que lo que el enunciado nos pide calcular es 1−p1−p).

Por hipótesis la bacteria se reproduce con probabilidad 0.80.8 y de lo contrario se muere. Uso la ley de probabilidad total para repartir pp en los dos casos según la bacteria muere o se duplica:

p=0.2q+0.8r,p=0.2q+0.8r,

donde qq es la probabilidad de que la estirpe desaparezca si la bacteria se muere, y en cambio rr es la probabilidad de que la estirpe desaparezca si la bacteria se reproduce.

Ahora, es evidente que q=1q=1 ya que si la bacteria muere entonces se acabó el linaje. Por otro lado, para que la estirpe desaparezca si la bacteria logra reproducirse, ahora es necesario que desaparezcan dos linajes en vez de uno. Y como ambos eventos son independientes (por hipótesis), la probabilidad resulta ser el producto de las probabilidades de que desaparezca cada uno. Pero como las bacterias hijas son idénticas a la original, esas probabilidades son precisamente pp. O sea,

r=p2.r=p2.

Juntando todo esto se obtiene

p=0.2+0.8p2,p=0.2+0.8p2,

una ecuación de segundo grado común y corriente. Podríamos meterla a la calculadora tal cual, pero ésta resulta ser fácil de factorizar:

0.8p−0.8p2=0.2−0.2p,0.8p−0.8p2=0.2−0.2p,

(0.8p−0.2)(p−1)=0.(0.8p−0.2)(p−1)=0.

Lo cual produce dos soluciones: p=1p=1 y p=1/4p=1/4.

Momento. No puede ser cierto simultáneamente que la estirpe muere con certeza y que muere con probabilidad 1/41/4. ¿Qué pasa acá?

Intuitivamente, la respuesta debería ser p=1/4p=1/4 ya que dos linajes deberían ser más difíciles de matar que uno solo. Pero la intuición no es prueba, y después de darle mucha cabeza empecé a preguntarme si me iba a quedar grande la meta de probar fuera de toda duda que p=1/4p=1/4.

Finalmente se me ocurrió lo siguiente.

Vamos a calcular la probabilidad ptpt de que la estirpe muera después de tt pasos o menos. Sabemos que p1=0.2p1=0.2 ya que ésa es la probabilidad de que la bacteria inicial muera en el primer paso. Por otro lado, para t≥2t≥2, si la bacteria inicial se reproduce, los dos linajes descendientes tienen que morir en t−1t−1 pasos o menos, lo cual ocurre con probabilidad p2t−1pt−12:

pt=0.2+0.8p2t−1.pt=0.2+0.8pt−12.

Esta recurrencia está un poquito fea, pero la podemos simplificar. Multiplicando por 0.80.8, resulta

0.8pt=0.16+(0.8pt−1)2.0.8pt=0.16+(0.8pt−1)2.

Si ponemos xt=0.8ptxt=0.8pt y c=0.16c=0.16, obtenemos

xt=x2t−1+c.xt=xt−12+c.

Si esta recurrencia te suena de algo, a lo mejor sea porque es la misma que da lugar al famoso conjunto de Mandelbrot:

Ahora bien, la respuesta a esta pregunta no tiene nada que ver con el conjunto de Mandelbrot. Sólo lo menciono para señalar que la recurrencia de arriba no tiene solución en forma cerrada (y para que ciertos lectores hallen en la vista previa, insólitamente, una imagen del conjunto de Mandelbrot, ni más ni menos).

Por fortuna, no nos interesa resolver en forma cerrada esta recurrencia. Nos basta con acotarla, con probar que no es lo suficientemente grande para que ptpt converja a 11, ya que ptpt desde luego converge a pp, y si no puede converger a 11 entonces inevitablemente convergerá a 1/41/4.

Observa que

x1=0.8p1=0.8⋅0.2<0.2.x1=0.8p1=0.8⋅0.2<0.2.

Así pues,

x2=x1+c<(0.2)2+0.16=0.2,x2=x1+c<(0.2)2+0.16=0.2,

lo que permite hacer el mismo cálculo para x3x3 y hallar que x3<0.2x3<0.2, y así perpetuamente. (El lector ya sabe que esto es una prueba por inducción, así que no hace falta completar los detalles muy rigurosamente).

De acá concluimos que para todo tt

pt=xt/0.8<0.2/0.8=1/4,pt=xt/0.8<0.2/0.8=1/4,

justo lo que queríamos. Por tanto, el linaje de bacterias muere eventualmente con probabilidad 1/41/4, y sobrevive eternamente con probabilidad 3/43/4.