¿Por qué cuándo estamos bajo el agua no hay gravedad y flotamos hacia la superfície?

Precisamente porque hay gravedad flotas.

Es la gravedad la que te empuja hacia arriba. ¿Suena extraño, verdad? La gravedad te hala hacia abajo. ¿Cómo te puede empujar hacia arriba?

Supongamos que tenemos un recipiente con agua hasta cierta altura:

¿Qué pasa si introducimos un cuerpo en ese recipiente como hacemos en la gráfica de la derecha? El cuerpo desplaza un cierto volumen del agua y la empuja hacia arriba. Si el cuerpo está levantando el agua, él recibe una reacción opuesta, una fuerza igual al peso del agua que ha levantado. El volumen de agua que ha levantado es igual al volumen del cuerpo que se ha introducido en el agua. De ahí que la fórmula de Arquímedes para el empuje es:

E=VρE=Vρ

Es decir, el empuje o fuerza de flotación es igual al volumen desplazado multiplicado por el peso específico del agua ρρ

Nótese que si no hubiera gravedad, al empujar el cuerpo dentro del líquido no estaríamos levantando nada, y no habría empuje, y, por lo tanto, no flotamos.

Si te metes en el agua, por lo general flotas, porque el cuerpo, al estar compuesto principalmente de agua tiene una similar densidad. Hay gente que flota más fácilmente que otras, que se hunden en el agua. Los factores que influyen son los siguientes:

La densidad del agua desplazada

En una piscina flotas menos que en el mar, debido a que el agua salada es más pesada por contener sales, que no hay en una piscina.

En el mar Muerto, por ejemplo, que tiene unas concentraciones altísimas de sal, lo que dá un peso específico 24 % mayor que el agua dulce, es muy fácil flotar. Igual sucede en el Gran Lago Salado de Utah en EEUU.

(En el mar Muerto: Life as a Turista)

La densidad corporal

Una persona con mucha grasa corporal flota más que una persona musculosa, porque la densidad del músculo es mayor.

Ahora, si no flotas, puedes mantener la cabeza fuera del agua si ejerces una fuerza sobre el agua que te empuje hacia arriba, como dar patadas continuamente bajo el agua.

La posición que asumas dentro del agua no incide en si flotas o no, como alguien ha comentado en otra respuesta. Lo que pasa es que si nos hacemos un ovillo es más difícil sacar la cabeza que si nos acostamos boca arriba, pero el empuje sobre tu cuerpo es el mismo, porque tu volumen no cambia.

Es más fácil sacar la cabeza en esta posición:

Que en esta: