¿Por qué la velocidad de la luz constante para todos los observadores implica que el espacio-tiempo no es euclidiano?

Como dice , no podemos decir que la constancia de la velocidad de la luz implique que el espacio-tiempo es no euclidiano. De ser así, cuando Einstein dio a conocer su relatividad especial, hubiera hablado de ello, pero no fue el caso.

Einstein presentó su teoría en 1905, sin hacer referencia alguna a las geometrías no euclidianas.

Y es que suele olvidar que fue Hermann Minkowski (que había sido profesor de matemáticas de Einstein en Zúrich) quien, en 1907, reinterpretó la teoría de la relatividad en el marco de un espacio-tiempo (expresión acuñada por el mismo Minkowski) cuatridimensional, para disgusto inicial de propio Einstein, que llegó a decir: "Desde que los matemáticos se apoderaron de mi teoría, ni yo mismo la entiendo".

Posteriormente, las cosas cambiarían y sería el propio Einstein quien abrazaría esa interpretación (aunque Minkowski no llegaría a saberlo: moría de apendicitis en 1909).

Pero el genio de Einstein fue fundamentalmente físico, no matemático, tanto es así, que debió luchar muy duro con las matemáticas cuatridimensionales cuando, años más tarde, se dispuso a dar una forma precisa a su teoría general mediante las ecuaciones de campo.

Y recordemos lo que llegó a deslizar (injustamente, pero tal vez con una pizca de verdad) David Hilbert: "cualquier estudiante de Gotinga sabe más de geometría cuatridimensional que Einstein".

Ahora bien, antes de responder a tu pregunta debo advertir que tengo mi propia manera intuitiva de entender la curvatura del espacio-tiempo y, en consecuencia, esta respuesta reflejará ese enfoque.

Y es que considero realmente que nuestro universo tridimensional es solo el límite externo de un universo de cuatro dimensiones sujeto a expansión, es decir, que las matemáticas cuatridimensionales no son un mero artilugio teórico para calcular, sino que reflejan una realidad física concreta.

Es decir que, si el hallazgo de 1998 nos permitió saber que el universo se expande aceleradamente, también nos permitió inferir, a partir de allí, que no sería solo el espacio (3D) el que se está expandiendo aceleradamente, sino el espacio-tiempo (4D).

Ahora bien, independientemente de que estemos de acuerdo sobre este punto, todos aceptamos, a partir de la relatividad general, que todos los cuerpos masivos producen una curvatura en la estructura misma del espacio-tiempo.

Pero, ¿cómo la experimentamos en la práctica?

Al tratarse de una curvatura espacial en una dirección extra, nos es imposible visualizarla como tal, pero sí experimentamos sus efectos: el enlentecimiento del ritmo temporal.

En efecto, si el ritmo temporal dependiese de la expansión del universo en la dirección temporal, todo obstáculo a tal expansión provocaría un descenso de ese ritmo.

Así los objetos de grandes masas producirían esa curvatura que haría localmente no euclidiano al espacio-tiempo pero que se manifestaría, en la práctica, como una dilatación temporal gravitatoria.

Llegado a este punto me gustaría destacar que, pese a su nombre, la famosa dilatación temporal "gravitatoria", no sería causada por la gravedad.

En efecto, si mi hipótesis fuera correcta, el origen, tanto de la gravedad como de la dilatación temporal sería la inercia de la masa al oponerse a ese impulso acelerador (la energía oscura), en la dirección temporal, causando la famosa curvatura de la que hablaba Einstein.

Ahora, como dice Alejo, que la luz se mueva siempre a su velocidad "c" no implica necesariamente, un espacio-tiempo no euclidiano, pero, si en las cercanías de un astro súper pesado, el ritmo temporal se ralentiza, tal velocidad invariable "c", sí impone ciertas condiciones métricas particulares.

¿Por qué?

Porque, como digo en:

si aceptamos que, para todo observador, la luz debe moverse a esa única velocidad "c" a pesar de que los astros masivos producen dilatación temporal, es necesario aceptar, también, que el espacio debe poder curvarse en una cuarta dirección que, a mi juicio, como dije, sería una dirección física (sólo que perpendicular a las tres que sí podemos captar como espaciales).

Es que hay tres factores interrelacionados:

a) la velocidad de la luz

b) la dilatación temporal gravitatoria

c) la estructura del espacio-tiempo

Por lo tanto, si sabemos que, efectivamente b) existe (en los cuerpos pesados) y a) no puede variar, no queda otra alternativa (para que la proporción se mantenga) que concluir que c) debe variar solidariamente con b), ya que, de lo contrario, la velocidad de la luz no sería constante para todo observador.

Pero como c) representa la forma del espacio-tiempo, queda claro que debemos aceptar que la estructura misma del espacio-tiempo debe perder su "euclidianidad" localmente.