Ayer tuve un ligero debate con una amiga. Ella dijo 0.999 … ≠ 1, y yo dije 0.999 … = 1. ¿Quién tiene razón y por qué?

Un montón de gente ha intentado mostrar por qué tu tienes razón en este caso, realizando el siguiente argumento:

0.9999...=x0.9999...=x

Multiplicando por 10 a ambos lados:

9.9999...=10x9.9999...=10x

Y restando el segundo resultado del primero:

9.9999...−0.9999...=10x−x9.9999...−0.9999...=10x−x

9=9x9=9x

1=x1=x

Pero recordemos que

0.9999...=x0.9999...=x

Luego 0.9999...=10.9999...=1

Que parece bastante razonable, lamentablemente este argumento está mal, y te diré por que… Bueno, no es que esté mal, no es lo suficientemente formal, así que iré con cuidado para ver por qué esta idea tiene sentido.

Primero que todo, a qué nos referimos con el número 0.9999...0.9999..., ¿tiene sentido hablar de ∞∞ números nueves después del punto decimal? ¿Cómo funciona eso?

Bueno, una forma de acercarte a este problema es aprovechar que escribimos los números en base 1010, es decir, cuando escribes un número como 2525, este número no significa 2+52+5, significa 2×10+52×10+5.

Y cuando escribes un número como 0.250.25 no te refieres a 0+2+50+2+5, te refieres a 0+2×110+5×11000+2×110+5×1100, por eso llamamos a los valores después del punto decimal como "décimas, centésimas, …".

Así que, como hacemos que tenga sentido el número 0.9999...0.9999..., bueno, podríamos hacer lo mismo que hicimos con los otros dos números de antes, y escribirlo como la suma de algo, así que hagámoslo:

0.9999...=0+910+9100+91000+910000+...0.9999...=0+910+9100+91000+910000+...

Y volvemos al mismo problema de antes, ¿Tiene sentido sumar una cantidad infinita de números? La respuesta corta es que… físicamente no, pero matemáticamente, tampoco aunque si tiene sentido ver a qué se acercan la sumas cuando cortas en un pedazo.

NOTACIÓN:

100=102100=102, 1000=1031000=103 y en general, el número uno con nn ceros, no se, algo como cien ceros, o mil ceros, o 31415 ceros, se escribe como 10n10n, algo como 1010010100, 101000101000, 10314151031415.

Para escribir la suma de nn cosas (donde nn es un número natural), se utiliza la siguiente notación:

f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n−1)+f(n)=∑ni=1f(i)f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n−1)+f(n)=∑i=1nf(i)

Es mucho más compacta, y significa exactamente lo mismo. Así que la usaré de ahora en adelante.

Nosotros no queremos sumar infinitas cosas, ningún ente físico, computacional o super-inteligencia puede hacer tal cosa. Pero si podemos crear una lista de números que se acercarán al valor que queremos. Haciéndola del siguiente modo:

an=∑ni=1910ian=∑i=1n910i

Es decir que:

a1=∑1i=1910i=9101=910=0.9a1=∑i=11910i=9101=910=0.9

a2=∑1i=1910i=9101+9102=910+9100=0.99a2=∑i=11910i=9101+9102=910+9100=0.99

Y te puedes imaginar que en general, anan es un cero con nn nueves después del punto decimal. Esto puede ser excesivamente complicado pero continúa conmigo, porque así le daremos sentido a la expresión 0.9999...0.9999...

Consideremos que pasa cuando elegimos un número muy grande, algo como 10001000, un millón o algo como 1010010100. Qué le pasa al número a1000a1000, aun millónaun millón o a10100a10100, bueno, como te podrás imaginar,

a1000=0.999...999a1000=0.999...999 tiene mil nueves.

aun millón=0.999...999aun millón=0.999...999 tiene un millón de nueves.

a10100=0.999...999a10100=0.999...999 tiene 1010010100 nueves.

Y en general, entre más grande elijas tu número nn, mas nueves tendrá anan. Es decir que más cerca estará el número anan del extraño número 0.9999...0.9999... con infinitos nueves.

De hecho, podemos definir este número como el límite de esa lista, es decir, como el valor al que se acercan todos estos números en la lista:

0.9999...=limn→∞an0.9999...=limn→∞an

Es decir, imagina un número positivo tan pequeño como quieras, puede ser algo como 0.10.1, o 0.000240.00024, o lo que sea, llámalo εε. Yo te puedo garantizar que existe un gran número natural NN (sin importar cuán grande sea, podría ser mil o un millón o algo más grande) tal que, si eliges cualquier número nn más grande que este gran número NN, entonces la distancia entre anan y el número 0.9999...0.9999... es menor a ese número pequeño εε.

Dicho en términos simples, que los números en esta lista pueden estar tan cerca como quieras del número 0.9999...0.9999..., así que podemos definir este número con infinitos nueves como:

limn→∞an=limn→∞∑ni=1910i=0.9999...limn→∞an=limn→∞∑i=1n910i=0.9999...

Y ahora por fin, el número 0.9999...0.9999... tiene sentido, no no estamos refiriendo a sumar infinitas cosas, o a un número con infinitos nueves, simplemente es a lo que se acercan todos los valores de nuestra lista.

Simultáneamente le damos sentido a otros números esotéricos como 0.3333...0.3333..., 0.1111...0.1111..., 0.323450505050...0.323450505050..., etc. Todos se definen de forma similar utilizando listas similares a esta, en el caso de 0.3333...0.3333... tenemos que la lista sería

a1=0.3a1=0.3

a2=0.33a2=0.33

Y en general

an=∑ni=1310ian=∑i=1n310i un cero con nn números 3 después del punto decimal.

Bueno, ahora que este número raro de 0.9999...0.9999... con infinitos nueves tiene sentido, pensemos en porqué este número raro debería ser igual a 11.

Recordemos que este número es simplemente el límite de la lista para valores de nn muy grandes.

Lo mismo de antes, piensa un número positivo tan pequeño como antes llamado εε, si logramos probar que existe un número grande NN tal que, si n>Nn>N (si el número nn que piensas es mayor al número grande NN) entonces |an−1|<ε|an−1|<ε (es decir, la distancia entre anan y el número 11 es menor al número pequeño εε que pensaste).

Si logramos mostrar que los valores de esta lista pueden estar tan cerca como queramos del número 11, concluiremos que la distancia entre 0.9999...0.9999... y 11 es menor a cualquier número positivo que pienses, y la única forma de que esto tenga sentido, es que la distancia entre 0.9999...0.9999... y 11 sea 00. Es decir que no haya espacio entre los números 0.9999...0.9999... y 11, en este caso ambos serían el mismo número, así que, manos a la obra.

Piensa en un número pequeño, algo de la forma 110k110k para algún número kk grande, es decir, un número de la forma 0.00...0010.00...001 con kk ceros, llamémoslo εε.

Tenemos que 1−0.9=0.11−0.9=0.1, 1−0.99=0.011−0.99=0.01, y en general, 1−an=110n1−an=110n, es decir, 1−0.999...9991−0.999...999 con nn nueves, es igual a 0.000...0010.000...001 con nn ceros.

Así que si pensaste un número pequeño εε que tenga la forma de 0.000...001=110k0.000...001=110k con kk ceros antes del 11. Entones existe el número grande N=kN=k tal que, para todo número nn que te imagines que sea mayor a NN se tiene que |1−an|=1−an=110n<ε=110k|1−an|=1−an=110n<ε=110k.

Solo para poner un ejemplo concreto, digamos que ε=0.1=110=1101ε=0.1=110=1101, entonces existe N=1N=1 tal que, para todo número que puedas pensar, digamos 22, como 2>12>1 tenemos que |1−a2|=1−0.99=0.01<0.1|1−a2|=1−0.99=0.01<0.1, pero recordemos que 0.1=ε0.1=ε, así que en este ejemplo en concreto, si pensaste en el número pequeño 0.10.1, la distancia entre todos los números de la lista (después del segundo) y el número 11 es menor a 0.10.1. Si tu εε fuera 0.0010.001, entonces tomando N=3N=3 tenemos que la distancia entre todos los números de la lista (después del tercero) y el número 11 es menor a 0.0010.001. Los números de la lista pueden estar tan cerca como quieras del número 11.

Tomando ε=0.1ε=0.1, puedes ver que los valores de la lista están en la franja azul, están cerca de 1

Tomando ε=0.001ε=0.001, puedes ver que los valores de la lista después de a3a3 están cerca de 1.

Así que los valores de la lista pueden estar tan cerca como quieras del 11. Incluso si piensas en un valor pequeño que no tenga la forma de 0.000...00010.000...0001 con nn ceros.

Tomando ε=0.0134ε=0.0134 (franja azul), puedes ver que existe un número de la forma 0.000...00010.000...0001 que es más pequeño que εε, en este caso ese número es 0.01=11000.01=1100 (franja verde), así que tomando N=2N=2 puedes ver que todos los valores de la lista después de a2a2 están dentro de la franja verde y por lo tanto, de la franja azul.

Así es como concluyes que el número 0.9999...0.9999... que nosotros definimos como el valor al que se acercan estos números de la lista, debe ser igual a 11, porque los números de esta lista se acercan tanto como quieras a 11.

Y así, después de todo ese texto, es como demuestras de forma rigurosa y sin dudas ni huecos que 0.9999...=10.9999...=1, porque ahora entiendes bien qué significa para un número tener infinitos nueves después del punto decimal.

Pero OJO, ninguno de los valores de la lista es igual a 11, es decir, incluso si piensas en el número a1000=0.99999...9999a1000=0.99999...9999 con mil números nueve después del punto decimal, este número no es igual a 11, lo que estamos diciendo es que el valor al que se acerca la lista completa es 11, no que alguno de los valores de la lista es 11. Si tu amiga estaba pensando en un número como 0.999...90.999...9 (DONDE HAY UN ÚLTIMO 99) entonces ese número no es del cuál estamos hablando, el número del cuál estamos hablando no termina, tiene infinitos nueves después del punto decimal, y este número es simplemente el número al que se acerca la lista de antes:

an=∑ni=1910i=0.999...999an=∑i=1n910i=0.999...999 con nn nueves.

Así que no, ningún número de la forma 0.999...9990.999...999 es igual a 11, solamente el número de la forma 0.9999...0.9999... es exactamente igual a 11. Porque estamos en los números reales, y en los números reales hay más de una forma de escribir el mismo número.

De hecho, con esta demostración también puedes convencerte de que:

2.9999...=32.9999...=3, 0.2499999...=0.250.2499999...=0.25, 0.89999...=0.90.89999...=0.9, pues:

0.9999...=10.9999...=1, si sumas 22 a ambos lados te queda:

2.9999...=32.9999...=3, pero si en su lugar, restas 0.750.75 a ambos lados te queda:

0.9999...−0.75=1−0.750.9999...−0.75=1−0.75, 0.249999...=0.250.249999...=0.25

Y si decides restar 0.10.1 a ambos lados, te queda:

0.9999...−0.1=1−0.10.9999...−0.1=1−0.1, 0.8999...=0.90.8999...=0.9

Así que no hay ambigüedad, cuando decimos que

0.9999...=10.9999...=1 nos referimos a que 0.9999...0.9999... puede estar tan cerca como quieras de 11, no hay espacio entre esos dos números, por eso son el mismo, la distancia entre ambos es 00.

Espero haberte ayudado :3