Dos ruedas una con un diámetro de un metro otra con un diámetro de dos metros, ambas pesan lo mismo, si se sueltan en un plano inclinado. ¿Cuál...

Dado que ambas ruedas tienen el mismo peso, también tienen la misma masa:

mR1=mR2=mmR1=mR2=m

Al soltarlas en un plano inclinado, las ruedas van a tener, por un lado, un movimiento de traslación, que tiene asociado una energía cinética traslacional Ect=12mv2,Ect=12mv2, con vv la velocidad lineal o tangencial, y, por otro lado, un movimiento de rotación, que tiene asociado una energía cinética rotacional Ecr=12Iω2,Ecr=12Iω2, con II el momento de inercia y ωω la velocidad angular. Estos movimientos solo se pueden producir si las ruedas tienen rozamiento con la superficie del plano. También tendrán una energía potencial gravitacional Epg=mghEpg=mgh por estar dentro de un campo gravitacional, donde gg es el módulo de la aceleración de la gravedad y hh la altura a la que se encuentran las ruedas respecto a un punto arbitrario cualquiera, digamos respecto a un punto del plano que entra en contacto con el suelo sobre el que el propio plano se apoya, que irá convirtiéndose en energía cinética traslacional y rotacional. Por el principio de conservación de la energía, la energía potencial gravitacional será igual a la suma de estas dos energías cinéticas:

Epg=Ect+EcrEpg=Ect+Ecr

mgh=12mv2+12Iω2mgh=12mv2+12Iω2

El momento de inercia de una rueda tipo bicicleta es

I=mR2I=mR2

donde RR es su radio, igual a la mitad de su diámetro D.D.

Asumamos que este momento de inercia es el mismo para ambas ruedas.

Asumiendo que no hay deslizamiento (es decir, que el rozamiento es estático), la velocidad angular es

ω=vRω=vR

Introduciendo estos dos datos en la expresión para el principio de conservación de la energía:

mgh=12mv2+12mR2⋅v2R2mgh=12mv2+12mR2⋅v2R2

Los radios al cuadrado están dividiéndose y, como no son nulos, dan lugar al número 1.1.

Por tanto:

mgh=12mv2+12mv2mgh=12mv2+12mv2

mgh=mv2mgh=mv2

La masa aparece multiplicando a ambos lados de la igualdad y, como no es nula, podemos dividir con ella a ambos lados de la igualdad y quedarnos con lo siguiente:

gh=v2gh=v2

Despejando la velocidad:

v=gh−−√v=gh

Como podemos observar, la velocidad a la que caen las ruedas solo depende del módulo de la aceleración de la gravedad y de la altura, que son constantes (el módulo de la aceleración de la gravedad solo lo es aproximadamente, pero cambia de la misma forma para ambas ruedas). Por tanto, llegarán al final del plano al mismo tiempo.

Pero ¿qué hubiera pasado si hubiera habido deslizamiento?

Si hay deslizamiento, quiere decir que tienen rozamiento cinético con el plano y el valor de la fuerza de rozamiento cinético es

Fr=μcmgFr=μcmg

donde μcμc es el coeficiente de rozamiento cinético.

Esta fuerza será constante y disminuirá la velocidad de traslación, la cual se calcula de la siguiente manera:

v(t)=v0−μcgtv(t)=v0−μcgt

siendo v0v0 la velocidad de traslación inicial y tt el tiempo.

Pero esto es en cuanto a traslación. En cuanto a rotación, tendremos un torque para la fuerza de rozamiento

τr=FrRτr=FrR

Si utilizamos las ecuaciones

Ecr=12Iω2Ecr=12Iω2

y

τ=F⋅Rτ=F⋅R

obtenemos que

Iα=Idωdt=τr=FrRIα=Idωdt=τr=FrR

Esta última ecuación integrada con la condición inicial

ω(t=0)=0ω(t=0)=0

nos da

ω(t)=μcmgRtIω(t)=μcmgRtI

Este movimiento con deslizamiento pasará a ser uno sin deslizamiento tras un tiempo llamado el tiempo de rodadura, que se calcula igualando v(t)v(t) con ω(t)R:ω(t)R:

tr=v0μcg(1+mR2I)tr=v0μcg(1+mR2I)

La velocidad de rodadura será

v(tr)=vr=v01+ImR2v(tr)=vr=v01+ImR2

Si sustituimos en la ecuación de la velocidad de rodadura el valor del momento de inercia de ambas ruedas, que recordemos asumimos que era el mismo para ambos, obtenemos que

vr=v02=12v0vr=v02=12v0

Viendo la ecuación anterior, que solo depende de la velocidad de traslación inicial, podemos concluir que, si las ruedas caen con la misma velocidad de traslación inicial, ambas ruedas llegan al final del plano al mismo tiempo. Pero si caen con velocidades de traslación iniciales diferentes, llega antes la que tenga la mayor velocidad de traslación inicial.

Podría haber tenido una de las ruedas un momento de inercia diferente que el de la otra, en cuyo caso hubiera llegado antes la que tuviera el menor momento de inercia.