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Hay un episodio que siempre recuerdo cuando se trata de demostrar propiedades algebraicas elementales usando nada más los axiomas de las operaciones.

Yo era un estudiante de matemáticas de primeros años. Llevaba horas pensando en cómo demostrar que a⋅0=0a⋅0=0 para todo aa. (Esta afirmación aparece en el Cálculo de Apostol como el teorema I.6, sin demostración; y con demostración, pero sin etiqueta, en el capítulo 1 del Cálculo de Spivak. Es ciertamente una propiedad elemental que no aparece en los axiomas.)

Mi idea era usar que 1+(−1)=01+(−1)=0, que junto con la propiedad distributiva, implicarían que

a⋅0=a+(−1)a=a+(−a)=0.a⋅0=a+(−1)a=a+(−a)=0.

El problema es que estoy usando implícitamente que (−1)a=−a(−1)a=−a, y eso no lo había demostrado todavía. (De hecho, demostrar eso normalmente requiere usar que a⋅0=0a⋅0=0, por tanto estaba tratando de hacer ¡una demostración circular!).

Finalmente me di por vencido y le pregunté a uno de mis profesores. Él meditó por unos segundos y con total naturalidad contestó:

«Bueno, primero que nada, 0+0=00+0=0, ¿sí?»

(Aaaaah, ¡ya entendí!). Como de golpe, caí en cuenta de cuál era el plan correcto, que el profesor continuó desglosando ante mi sonrisa de claridad: la propiedad distributiva implica que a⋅0+a⋅0=a⋅0a⋅0+a⋅0=a⋅0, y al cancelar un a⋅0a⋅0 de cada lado se obtiene la igualdad buscada. No hay ni que echar mano del −1−1, mucho menos de la ley de los signos.

Mi lección: al emprender una prueba hay que ser conscientes de los supuestos base (tanto axiomas como resultados previos) y dominarlos bien. Y revisarlos de vez en cuando para confirmar que no se nos haya escapado alguno, como que 0+0=00+0=0.

Dicho eso, ¿cómo demostramos que 1=−(−1)1=−(−1)? Nos vamos a los supuestos base:

La propiedad que define a −1−1 es que 1+(−1)=(−1)+1=01+(−1)=(−1)+1=0.

La propiedad que define a −(−1)−(−1) es que (−1)+(−(−1))=−(−1)+(−1)=0(−1)+(−(−1))=−(−1)+(−1)=0.

Ah, y no olvidemos la propiedad que define al 00: que a+0=0+a=aa+0=0+a=a para cualquier aa.

Entonces no tiene ninguna dificultad ver que

1=1+0=1+(−1)+(−(−1))=0+(−(−1))=−(−1).1=1+0=1+(−1)+(−(−1))=0+(−(−1))=−(−1).

Ah, y claro: ahí en el medio estoy usando la propiedad asociativa para tratar 1+((−1)+(−(−1)))1+((−1)+(−(−1))) y (1+(−1))+(−(−1))(1+(−1))+(−(−1)) como la misma expresión. Hay que tener la precaución de señalar eso cuando uno está trabajando desde los axiomas mismos, pero en realidad después de la primera media hora uno tiene que poder demostrar que las sumas del tipo a+b+ca+b+c (y más largas) carecen de ambigüedad y pueden escribirse sin signos de agrupación.