Una bolsa contiene 100 fichas iguales numeradas del 1 al 100. Considere que cada número corresponde a la longitud de un segmento, ¿qué probabilidad...

Parece ser que el único modo de resolver esto es manualmente o mediante programación.

Por ejemplo para el caso sencillo en que solo son 10 fichas numeradas. El total de combinaciones posibles es (103)(103)

Solamente hay que ver los casos favorables considerando el hecho que si salen por ejemplo las fichas (4,6,7) es igual al que salga (6,4,7) . No importa el orden en que salieron las fichas. Ambas combinaciones representan el mismo caso, ya que con esas tres fichas independiente del orden en que salgan se puede armar el mismo triangulo. Para cada terna de números hay 6 posibles maneras en que pueden salir, pero para efectos de notación se ordenará de menor a mayor. En este caso: (4,6,7)(4,6,7)

Es obvio que cuando sale 1. No se puede formar ningún triangulo:

Entonces vamos para el caso sencillo de solo 10 fichas.

Grupo del 2:

(2,3,4)

(2,4,5)

(2,5,6)

(2,6,7)

(2,7,8)

(2,8,9)

(2,9,10)

Total parcial: 7 casos = (10–3)x1

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Grupo de 3:

(3,4,5) ; (3,4,6)

(3,5,6) ; (3,5,7)

(3,6,7) ; (3,6 8)

(3,7,8) ; ( 3,7,9)

(3,8,9) ; (3,8,10)

(3,9,10) Total parcial: 11 casos = (2x5)+1

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Grupo de 4:

(4,5,6) ; (4,5,7) ; ( 4,5,8)

(4,6,7) ; (4,6,8) ; ( 4,6,9)

(4,7,8) ; (4,7,9) ; ( 4,7,10)

(4,8,9) ; (4,8,10)

(4, 9, 10) Total parcial: 12 casos ( 3 x 3 ) + 2 +1

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Grupo de 5:

(5,6,7) ; (5,6,8) ; (5,6,9) ; (5,6,10)

(5,7,8) ; (5,7,9) ; (5,7,10)

(5,8,9) ; (5,8,10)

(5 , 9, 10 ) Total parcial : 10 casos: (4 + 3 + 2 + 1 )

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Grupo de 6:

(6,7,8) ; (6,7,9) ; (6,7,10)

(6,8,9) ; (6,8,10)

(6 , 9, 10 ) Total parcial : 6 casos ( 3 + 2 +1)

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Grupo de 7:

(7,8,9) ; (7,8,10)

(7, 9, 10 ) Total parcial : 3 casos ( 2 + 1 )

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Grupo de 8:

(8,9,10) Total parcial: 1 caso (1)

Grupo de 9 y de 10 ya se han evaluado en los grupos anteriores, pero estas ternas de números NO están ordenadas.

Total de casos: 50.

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En el caso de 100 fichas, debe evaluarse desde el grupo de 2 que tiene 97 casos ( 100 - 3 ) hasta el grupo de 98 que tiene solo 1 caso. En el denominador, de todas maneras va: (1003)(1003)

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Pero como cada una de estas resultados puede obtenerse de 6 modos distintos, uno pensaría que este resultado se debe multiplicar por 6. Pero no es así ya que al sacar las tres fichas con la misma combinación de números se puede construir el mismo triangulo.

El número de combinaciones al sacar tres fichas de un grupo de 10 es:

(103)=120(103)=120

Por lo tanto la probabilidad de formar un triángulo con las condiciones del problema, para este caso sencillo de 10 fichas es:

P(△−10)=50120=512P(△−10)=50120=512

Si por ahí algún usuario lo resuelve con alguna fórmula general o usando programación. Entonces una forma de comprobar si la fórmula o el programa al ejecutarlo proporciona resultados correctos es evaluar la fórmula o correr el programa para este caso sencillo de solo 10 fichas.

Si el programa ejecuta una salida correcta para 10 o para 100, entonces el programa se ejecuta correctamente.

PD. Como ya lo han comprobado para 100 fichas, la probabilidad de que 3 fichas escogidas al azar formen un triángulo es:

P(△−100)=79625161700=65132P(△−100)=79625161700=65132

Problema similar:

En este caso la medida de los segmentos puede ser cualquier número, menor que la longitud de la barra, no necesariamente entero.

Ver respuesta de David Sanchez:

PD.

Ver la solución general dada por Alberto Cid, como respuesta a esta misma pregunta.