¿Cómo hago un problema de distribución normal, en el que sé que el 40% de los datos está por debajo del valor "x" de 1,62, y el 25% está por encima...

La fórmula, que me relaciona los datos X con los datos Z es:

Z=X−μσZ=X−μσ

En este caso X = 1.62 está por debajo de la media

X = 1.79 está por encima de la media.

De acuerdo a los datos:

Z1=1.62−μσZ1=1.62−μσ

P(z≤Z1)=0.4P(z≤Z1)=0.4

Y también:

Z2=1.79−μσZ2=1.79−μσ

P(z≥Z2)=0.25P(z≥Z2)=0.25

Entonces si usamos una tabla que nos muestre el área de las colas de distribución.

http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/amalonso/esp/Tablas.pdf

Necesitamos calcular los valores deZ1Z1 y Z2Z2 que hacen que las probabilidades acumuladas sean 0.4 y 0.25 respectivamente.

Pero si usamos las tablas que muestran la probabilidad:

P(0≤z≤Z)P(0≤z≤Z)

Tabla de distribución normal estandarizada (tabla z) | Matemóvil

Debemos buscar los siguientes valores:

P(0≤z≤Z1)P(0≤z≤Z1) = 0.1

P(0≤z≤Z2)P(0≤z≤Z2) = 0.25

Buscando en las tablas

El valor de Z1Z1 se encuentra entre 0.25 y 0.26 ( Mas cerca de 0.25)

El valor de Z2Z2 se encuentra casi entre 0.67 y 0.68.

Si usamos tablas como primera aproximación los valores a usar serían los siguientes:

Z1Z1= - 0.25 ( Z1Z1 está a la Izquierda deμμ )

Z2Z2= 0.675

Entonces formamos nuestro sistema de ecuaciones:

1.79−μσ1.79−μσ= 0.675…………..(1)

1.62−μσ1.62−μσ = -0.25…………..(2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

σσ = 0.183784

μμ = 1.666

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Ahora usamos el algoritmo de la función Probit quantil normal para tener una mayor precisión en los decimales, por ser valores que no se encuentran en la tabla. Entonces se va a usar la función Probit quantil normal implementada en un algoritmo que ya se ha codificado.

Función probit - Wikipedia, la enciclopedia libre

Usando Función Probit tenemos:

Z1Z1= - 0.2533471 ( Z1Z1 está a la Izquierda de μμ )

Z2Z2= 0.6744897

Entonces formamos nuestro sistema de ecuaciones:

1.79−μσ1.79−μσ= 0.6744897…………..(1)

1.62−μσ1.62−μσ = -0.2533471…………..(2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

σσ = 0.18322188

μμ = 1.666418731

Redondeando:

σσ = 0.183222

μμ = 1.666419

Y esa sería la respuesta a la pregunta.

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Ms información:

Seguna opción:

Otra opción sería usar las múltiples calculadoras en línea que existen para esta distribución o en su defecto Wolfram Alpha, que da una precisión de entre 4 y 5 decimales.

Usar las calculadoras en línea o Wolfram Alpha:

Aquí se muesta para otros ejemplos y no para este específicamente:

Para hallar Z tal que : P(−∞<z≤Z)P(−∞ = 0.2

find Z-score for probability 0.20 - Wolfram|Alpha

Normal Distribution for probability 0.20 - Wolfram|Alpha

Para hallar Z tal que :P(−∞<z≤Z)P(−∞ = 0.8

Z value for probability 0.8 - Wolfram|Alpha

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Otras calculadoras en línea:

Standard normal distribution (percentile) Calculator

Normal Distribution Calculator