Se lanzan al aire 3 monedas iguales. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 monedas en cara y una moneda en sello?

Tres octavos.

3838

¿Por qué?

Antes de nada, en los problemas de matemáticas en general, y especialmente en los problemas de probabilidades y también en los de combinatoria, es muy importante saber con total claridad lo que se pregunta, eliminando cualquier tipo de duda, cualquier ambigüedad, etc.
Afortunadamente en este problema creo que está bastante claro, pero en otros el texto de la pregunta está mucho menos claro. En esos otros casos, habría que pedir aclaración a quien preguntó, y en caso de no ser posible, responder a cada una de las posibles interpretaciones: si se refiriese a esta primera cosa sería esto, si se refiriese a esta segunda cosa sería esto otro, etc.

" ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 monedas en cara y una moneda en sello?"
Si la pregunta solamente hubiese tenido este texto quizá habría un poco de lugar a la duda o ambigüedad… ¿Se puede referir a que se lanza solo una moneda tres veces y se obtiene "cara, cara, sello" en ese orden? Sin una aclaración no estaríamos tan seguros a qué se referiría la pregunta.
Sin embargo, la pregunta es bastante más clara, porque antes dice "Se lanzan al aire 3 monedas iguales". Al decir "iguales" creo que se entiende que son indistinguibles, y, por tanto, a la hora de mirar el resultado del lanzamiento no puedes saber cuál es cual. También, al decir "se lanzan al aire 3 monedas" creo que se sobrentiende que es simultáneamente y se descarta la posibilidad de que primero se lance una luego otra (que es igual pero se puede lanzar después) y luego la tercera. ¿Por qué matizo tanto algunos detalles como este? Pues porque aunque las monedas sean iguales, es perfectamente posible que se coloquen en cajas separadas o que se lancen en un orden y ¡¡eso podría cambiar totalmente el problema!!
Además, al decir que se lanzan al aire también se sobreentiende que no distinguiremos las monedas de ninguna forma…
Entonces, tenemos 3 monedas iguales, indistinguibles, lanzadas, y simultáneamente.
Bastante claro, al menos en comparación con el texto de otras preguntas similares.
Aunque para mi gusto, quizá excesivamente exigente podría mejorarse todavía más.
Faltaría decir que la probabilidad de obtener cara en cada moneda es 1/2 = 0.5
Decir que son "iguales" da a entender que tienen la misma probabilidad cada una (además de lo que dije antes, que son indistinguibles), pero existen monedas trucadas que pueden tener una probabilidad diferente, que no sea 0.5.
Ya se que esto último puede ser algo exagerado, pero si se busca el máximo rigor y claridad tampoco viene mal.

¿Y cómo se resuelve?
Cada vez que se observasen los resultados, en el caso de obtener dos caras y un sello podríamos poner un nombre o "distinguir" de alguna forma esa moneda en la que no salió el mismo resultado que en las otras dos. Pero esta moneda en la que salió un resultado diferente podría ser cualquiera de las tres…
O, dicho de otra forma, también podríamos ordenar las monedas después de caer, por ejemplo, mirarlas en un orden, antes de izquierda a derecha y a igualdad de izquierda y derecha, la más lejana antes que la más cercana. Si hacemos esto habrá 3 casos en los que obtenemos "dos caras y un sello". Los 3 casos serían:
"cara, cara, sello"
"cara, sello, cara"
"sello, cara, cara"

Detalle importante: nótese que las estamos distinguiendo después de caer… aunque al principio son iguales y si las volviésemos a mezclar no sabríamos cuál es cuál.

Esos 3 casos los contabilizaríamos como "2 caras y un sello" ¿verdad?
(según la interpretación clara que dije al principio)

Sin embargo, cuando salen 3 caras, solamente hay un caso:
"cara, cara, cara"

Los 3 casos:

"cara, cara, sello"
"cara, sello, cara"
"sello, cara, cara"

son lo que en probabilidades se llama "sucesos incompatibles", es decir, su intersección es el conjunto vacío, o, dicho de otra forma, cuando no se da uno de esos casos no se da otro de los dos restantes.
En estos casos, la probabilidad de la unión (que se de alguno de ellos) es la suma de probabilidades de cada uno de ellos.
¿Y cuál es la probabilidad de cada uno?
Si llamamos p = P(cara) sería
P("cara, cara, sello") = P(cara en la 1ª) * P(cara en la 2ª) * P(sello en la 3ª)
→ [Nota: esto de multiplicar es así porque son independientes]
= p * p * (1-p)

P("cara, sello, cara") = P(cara en la 1ª) * P(sello en la 2ª) * P(cara en la 3ª) =
= p * (1-p) * p

P("sello, cara, cara") = P(sello en la 1ª) * P(cara en la 2ª) * P(cara en la 3ª) =
= (1-p) * p * p

Observamos que en los tres casos la probabilidad es la misma: p^2 * (1-p)

Y, como dije antes, se suman, así que:

P(2 caras y 1 sello) = 3 * p^2 * (1-p)

Como habitualmente se sobreentiende que p = 1/2 entonces

P(2 caras y 1 sello) = 3*(1/2)^3 = 3/(2*2*2) = 3/8

Bueno, y para rizar el rizo más todavía, antes he supuesto que
P(sello) = 1 - P(cara)
pero en realidad las monedas pueden caer de canto.
Sí, eso puede ocurrir, y aunque depende de la moneda y a dónde se lance, creo que se estima que en la mayoría de monedas que se lancen sobre una superficie plana la probabilidad de caiga de canto está entre 1/1000 y 1/10000
Es decir, que si lanzas la moneda 10000 veces sería habitual que cayese de canto al menos una vez.
Con esta consideración la probabilidad sería :
P(2 caras y un sello) = 3*P(cara)^2 * P(sello)

Sin esta última consideración, podemos añadir una pequeña comprobación: que la suma de las probabilidades de todos los casos posibles es 1.

P(3 caras) = p^3
P(2 caras y 1 sello) = 3*p^2 * (1-p)
P(1 cara y 2 sellos) = 3*p*(1-p)^2
P(3 sellos) = (1-p)^3

La suma es:

p^3 + 3*p^2 * (1-p) + 3*p*(1-p)^2 + (1-p)^3

Esto es la expansión de una suma al cubo:
[ p + (1-p) ]^3

Pero p + (1-p) es 1 y al elevarlo al cubo da 1, así que efectivamente la suma de todos los casos posibles incompatibles da 1.