¿Si tenemos dos monedas defectuosas en las que la probabilidad de obtener cara en cada una de ellas es 0,4 y 0,7, respectivamente, ¿cuál es la...

Voy a dar una respuesta que amplía el detalle de lo que dijo , para aclarar posibles dudas que pueda tener alguien que empieza en esto de las probabilidades.

Tenemos dos monedas diferentes y un lanzamiento con cada una. Llamaré a la primera moneda M4, porque tiene una probabilidad de cara de 0,4, y a la segunda M7, porque su probabilidad de cara es 0,7. A los lanzamientos los puedo llamar L4 y L7, es decir, el lanzamiento de M4 y el lanzamiento de M7, respectivamente.

Dado que la letra C se ha usado para llamar otra cosa, usaré las palabras en inglés “head” y “tail” para referirme a “cara” y “cruz”, aparte de que en otros países se llama “cara” y “ceca”, “cara” y “sello”, “águila” y “sol”, etc. Por tanto, usaré la letra H (head) para la cara y la letra T (tail) para la cruz.
De esa forma cada lanzamiento tiene 2 posibles resultados:

L4 = {H4, T4}

L7 = {H7, T7}

Y así podemos definir el lanzamiento de las dos monedas como el producto cartesiano de los dos lanzamientos:

L = L4 x L7 = { (H4, H7), (H4, T7), (T4, H7), (T4, T7) }

Eso es lo que Ricardo llamó: A, B, C, D

A = { (H4, H7) } : M4 sale cara y M7 sale cara
B = { (H4, T7) } : M4 sale cara y M7 sale cruz
C= { (T4, H7) } : M4 sale cruz y M7 sale cara
D = { (T4, T7) } : M4 sale cruz y M7 sale cruz

Lo que pide el problema es la probabilidad de que salga “sólo una cara”

Salir sólo una cara sería alguno de eventos B ó C… aunque en conjuntos también se habla de la unión de B con C.

P( “B ó C” ) = P (B ∪ C) = P ( { (H4, T7), (T4, H7) } )

En general, cuando tenemos la probabilidad de una unión se hace lo siguiente:

P (B ∪ C) = P(B) + P(C) - P( B ∩ C)

Es decir, se suman las probabilidades y se resta la de la intersección.

Pero resulta que B y C son incompatibles, es decir, si se da uno de ellos es imposible que se de el otro… Esto es lo mismo que decir que la intersección es el conjunto vacío, y, por tanto, la probabilidad de la intersección es la probabilidad del conjunto vacío (que no ocurra nada al lanzar las dos monedas) y eso es cero.

Por tanto:

P (B ∪ C) = P(B) + P(C) - P( B ∩ C) = P(B) + P(C) - 0 = P(B) + P(C)

Todo eso puede parecer muy evidente, pero en otros problemas no se hace la suma y alguien podría tener duda de por qué aquí sumamos y en otros casos no.
Para alguien que empieza es conveniente aclarar estos detalles y no decir simplemente “esto se suma” o “esto se multiplica” sin explicar por qué.
Ejemplo: Probabilidad de que al tirar un dado salga un par o un número mayor que 3. Algún despistado podría pensar P (“par” ó “> 3”) = P(“par”) + P(“> 3”) = 0.5 + 0.5 = 1
¡NO!!! Eso sería decir que siempre sale o par o mayor que 3, pero puede salir el 1 o el 3 que ninguno de los dos es par ni mayor que 3…
No se puede hacer esa suma porque ser par no es incompatible con ser mayor que 3… de hecho, el 4 y el 6 son pares mayores que 3… “par” = {2, 4, 6}; “> 3” = {4, 5, 6}; la intersección “par” ∩ “>3” = {4, 6}
P(“par” ó “>3”) = P(“par”) + P(“>3”) - P(“par” ∩ “>3”) = 3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6 = 2/3
“par” ∪ “> 3” = {2, 4, 5, 6} … se puede ver que son 4 … así que “4 de 6” = 2 / 3

Sigamos:

Ahora calculemos P(B) y P(C).

P(B) = P ({(H4, T7)})

Nótese que cada lanzamiento de moneda es independiente del otro.
Es decir, que el lanzamiento de una moneda no “depende” de lo que haya salido en el otro lanzamiento.
Esa “no dependencia” se expresa matemáticamente así:

P(H4) = P(H4 | T7) = P(H4 | H7 ) = 0.4

P(H7) = P(H7 | T4) = P(H7 | H4) = 0.7

La primera de esas dos líneas se leería: “la probabilidad de H4, de que salga cara en la moneda ‘M4’, es igual a la probabilidad de que ‘salga cara en M4 condicionada a que haya salido una cruz en la moneda M7’ “ … Al ser iguales significa que no depende de lo que salga al lanzar la otra moneda.

En el ejemplo del dado los sucesos no son independientes, si sabemos que es mayor que 3 es más probable que sea par, ya que hay 2 pares mayores que 3 (“4” y “6”) y solamente un impar (“5”).

Continuamos con las monedas:

P(H4 | T7 ) = P(H4 ∩ T7) / P(T7)

P(H4 ∩ T7) = P(H4 | T7 ) * P(T7) =
(son independientes)
= P(H4) * P(T7)

P(T7 | H4 ) = P(T7 ∩ H4) / P(H4)

P(T7 ∩ H4) = P(T7 | H4 ) * P(H4) =
(son independientes)
= P(T7) * P(H4)

Se comprueba que sale lo mismo. Y que efectivamente se multiplican.

P(B) = P ({(H4, T7)}) = P(H4 ∩ T7) =
(son independientes)
= P(H4) * P(T7) = 0.4 * 0.3 = 0.12

Por cierto, calcular P(T7) se hace teniendo en cuenta que salir “cruz” es complementario con salir cara, es decir:
* Comp0: Salir “cara” o salir “cruz” son incompatibles (no puede salir ambas cosas)
* Comp1: Siempre tiene que salir “cara” o “cruz”, no puede no salir ninguna de las dos cosas.

Habitualmente, o en lenguaje coloquial, el complementario de un suceso S se le llama “no S” (que no ocurra S). Por ejemplo, el complementario de salir “cara” es “no cara”, que no salga cara, que es lo mismo que salir “cruz”.

Comp0 : P (“cara y cruz en la misma moneda”) = 0
Comp1 : P(“cara o cruz en la misma moneda” ) = 1

P(“cara o cruz en M7”) = P(H7 ∪ T7) = P(H7) + P(T7) - P(H7 ∩ T7) =
(por ser incompatibles, por Comp0)
= P(H7) + P(T7) - 0 = P(H7) + P(T7) =
(por ser complementarios, por Comp1)
= 1

Por tanto:
P(T7) = 1 - P(H7) = 1 - 0.7 = 0.3

De la misma forma se calcularía P(C) = P( { (T4, H7) } )

Y la que pide el problema es la suma.

P (“una sola cara en las 2 monedas”) =
= P (B ∪ C) = P(B) + P(C) = 0.12 + 0.42 = 0.54

De regalo, voy a calcular el ejemplo del dado, con sucesos no independientes:
P(“par” y “mayor que 3”) = P (“par” ∩ “>3” ) = P ({“4”, “6”}) = 2/6 = 1/3
Nótese que no es correcto decir P( “par” y “>3”) = P(“par”) * P(“>3”) = 0.5*0.5 = 1/4

RESUMEN: “incompatibles”, “independientes”, “complementarios”, “equiprobables”… son conceptos básicos que hay tener claros para llegar a buen puerto en esto de las probabilidades.