si son enteros?

Esta es una pequeña pregunta sorprendentemente útil.

En geometría y teoría de grupos (triangle groups), hay interés en clasificar tríadas de números a,b,ca,b,c comparando 1a+1b+1c1a+1b+1c con 11. Un triángulo con ángulos (π/a,π/b,π/c)(π/a,π/b,π/c) puede ser construido en geometría esférica, euclídea o hiperbólica dependiendo de si la suma es mayor, igual o menor que 11 respectivamente. Si a,b,ca,b,c son números enteros, entonces seremos capaces de juntar estos triángulos para formar un teselado (un embaldosado).
Teselado - Wikipedia, la enciclopedia libre

Por tanto, el caso euclídeo corresponde a

1a+1b+1c=11a+1b+1c=1

y es útil encontrar cuáles tríadas de enteros positivos a,b,ca,b,c satisfacen esta ecuación.

(Nota: todo aquí se trató de soluciones con enteros positivos. Permitir negativos introduce solamente una familia más de soluciones, (1,−n,n)(1,−n,n), y ninguna más. ¡Probadlo!)

Cualquier solución puede ser claramente permutada de forma arbitraria (intercambiando los valores de a,b,ca,b,c ), así que podríamos también asumir que a≤b≤ca≤b≤c. Ahora, veamos:

a=1a=1 está claramente fuera de discusión.

a=2a=2 implica 1b+1c=121b+1c=12. Esto puede ser reordenado como c=2bb−2c=2bb−2 lo cual debe ser por lo menos bb; reordenando la desigualdad llegamos a b≤4b≤4. Finalmente, b=2b=2 es imposible, b=3b=3 funciona con c=6c=6 y b=4b=4 funciona con c=4c=4.

a=3a=3 implica que b,c≥3b,c≥3 así que 1b+1c≤231b+1c≤23. Pero tienen que sumar 2323, así que la única opción es b=c=3b=c=3.

Y, por supuesto, a≥4a≥4 es imposible porque entonces 1a+1b+1c≤341a+1b+1c≤34.

Así que, en resumen, hay exactamente 3 soluciones (y las permutaciones de cada una de ellas que se obtienen cambiando los nombres de las variables):

1. a,b,c=3,3,3a,b,c=3,3,3
2. a,b,c=2,4,4a,b,c=2,4,4
3. a,b,c=2,3,6a,b,c=2,3,6

Geometricamente, estas corresponden a un triángulo equilátero, un triángulo recto isósceles, y otro triángulo recto escaleno con ángulos (π/2,π/3,π/6)=(90∘,60∘,30∘)(π/2,π/3,π/6)=(90∘,60∘,30∘). Estos triángulos corresponden a tres teselados del plano:

(fuente: Wikipedia, loc. cit.)

El caso esférico admite cinco solutiones más una familia infinita (2,2,n2,2,n), mientras que el caso hiperbólico se lleva todas las demás. Es típico que de las tres geometrías sea la hiperbólica la que es la más rica y flexible.

Por ejemplo, (2,3,4)(2,3,4) pertenece al caso esférico ya que 12+13+14>112+13+14>1, lo cual implica que este teselado esférico use un triángulo con ángulos (esféricos) (90∘,60∘,45∘)(90∘,60∘,45∘):

Mientras, el caso hiperbólico admite teselados como este (2,5,7)(2,5,7) , mostrado aquí con el modelo de disco de Poincaré.

El plano hiperbólico es el mejor plano.