¿Cuáles son algunas ecuaciones aparentemente irresolubles pero que sí tienen solución?

En la escuela primaria a todos nos enseñan a resolver ecuaciones lineales, a finales de la primera ecuaciones cuadráticas de segundo grado (y tenemos tablillas sumerias de Ur que prueban que hace 4000 años, ya se conocía esa solución). Es decir, desde la más remota antigüedad sabemos resolver ecuaciones del tipo:

ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0

donde a, b y c son números previamente conocidos. En el siglo XVI los matemáticos italianos dieron un paso de gigante al encontrar las soluciones para una ecuación cúbica general de tercer grado. Los babilonios, egipcios, griegos y chinos buscaron esa solución, los babilonios lo hicieron numéricamente y los chinos encontraron casos particulares VII, los persas hicieron avances importantes en los siglos XI y XII. En el siglo XV los italianos estaban cerca y tenían soluciones muy generales, pero sólo Niccolò Tartaglia dio con la solución general hacia 1530. Poco después Lodovico Ferrari pudo describir la solución de la ecuación cuártica (cuarto grado) hacia 1540. Es decir hacia el siglo XVI las ecuaciones polinómicas más complicadas cuyas soluciones sabíamos encontrar eran:

ax4+bx3+cx2+dx+e=0ax4+bx3+cx2+dx+e=0

Sin embargo, hubo un parón, se buscó en vano la solución general de ecuación quíntica (de quinto grado) pero los métodos que habían funcionada para grado 3 y 4 no funcionaban. Finalmente un jovencísimo matemático, Évariste Galois fue el primero en demostrar que los métodos de radicales usados para esas ecuaciones no funcionarían con la ecuación quíntica. Galois murió a los 20 años, en un duelo por amor, la noche anterior escribió apresuradamente sus resultados para que quedara constancia de su descubrimiento, de haber vivido más habría sido uno de los grandes matemáticos del siglo XIX, pero no pudo ser.

Debido a esto mucha gente asume que las ecuaciones quínticas, séxticas y otras son irresolubles, pero esto no es verdad. Lo que probó Galois es que no existe una fórmula cerrada basada en combinar coeficientes y sacar raíces de esas combinaciones que diera directamente la solución. Pero esa demostración no excluía otras posibilidades, de hecho hacia 1832, George Jerrard demostró que la ecuación quíntica podía resolverse usando ultrarradicales, un método francamente complejo la verdad, que puede consultarse en Quintic Equation en Wolfram Maths.

Personalmente he usado las fórmulas para las ecuaciones cúbicas, pero me consta que la mayor parte de ingenieros no la conoce, aunque los matemáticos la conocen. Los métodos de ultrarradicales son básicamente desconocidos fuera del círculo de los matemáticos, por eso mucha gente asume que la ecuación quíntica es irresoluble. Pero no lo es, aunque la manera de buscar explícitamente sus soluciones es francamente enrevesada.

Otra ecuación aparentemente complicada pero que admite una solución relativamente inteligible es esta: xxnn=nnnnxxnn=nnnnxx

(Añadido Posterior) señala que la cronología que di en mi respuesta tiene una omisión importante, y en realidad el trabajo de otro joven genio veinteañero Niels Henrik Abel cuyo trabajo antecedió en unos pocos años al del otro genio veinteañero mecionado Évariste Galois. En una ocasión escribí “Dios ha sido muy cruel con las mujeres matemáticas brillantes, francamente.” [ver ] siendo justos y recordando a Abel y Galois, debo añadir que “Además, Dios fue muy cruel con los matemáticos veinteañeros brillantes de principios del XIX, francamente”.