¿Cuál es la solución para la ecuación lineal de diofantina 23x-49y = 179?

¿Cuál es la solución para la ecuación lineal de diofantina 23x-49y = 179?

Hay un método precioso para resolver ecuaciones diofantinas o diofánticas lineales con dos incógnitas y podría enseñarse a chicos y chicas de 12 años.

Se llama método de las ecuaciones sucesivas, y lo publicó en España un profesor de primaria -creo- en los años 50, en una pequeñita edición pagada por él mismo: se llamaba Gerardo Tejero Saurina. Encontré, allá por los 80, un ejemplar en buen estado, en medio de un montón de novelas del oeste y otros libros viejos, a 50 pts si te llevabas 5 libros…(unos 60 céntimos del actual euro, pero unos 4 euros de hoy día por el poder adquisitivo de entonces).

Es increíble que no esté en todos los textos no solo españoles sino anglosajones, chinos, rusos…

1. El coeficiente menor se resta o se suma todas las veces que se quiera al otro coeficiente, y aún al término independiente (paso opcional, no forzoso). Se obtiene otra ecuación, llamada "sucesiva", que comparte la misma solución para la incógnita cuyo coeficiente ha reducido a todos. Si hay que hacerlo muchas veces, se divide el mayor por el menor, y se sustituye el mayor por el resto de la división euclídea.

En este caso, tenemos:

(I) 23 x - 49 y = 179 (a ojo se ve que podemos sumar 23 dos veces a -49,

y restar 23 a 179, 7 veces, pero si no, dividimos 179/23=7'78…

y podemos forzarlo a 8 veces 23, por ser la primera cifra decimal ≥ 5; ).

(II) 23 x - 3y= -5 → ya se ve una solución a ojo (x=-1), pero si no, seguimos:

(III) -x-3y=1 →

2. Al llegar al coeficiente 1 en alguna incógnita, se asigna el valor 0 a la otra incógnita u otro valor a voluntad) → y=0, x=-1. Se sustituye en la ecuación anterior el valor de la incógnita cuyo coeficiente ha cambiado, o sea, en (II) sustituimos x=-1, porque x tiene coeficiente 23 en la (II) y el -1 en la (III), ha cambiado su coeficiente.

Si se llega a una ecuación imposible, como 0=4, por ejemplo, la ecuación diofántica no admite solución.

Todas las sucesivas tienen el mismo MCD de los coeficientes de las incógnitas.

Luego ahora sabemos que MCD (23, 149)=1, pues hemos llegado a MCD(-1,-3)=1.

Se va retrocediendo hasta solucionar la primera ecuación, que es la propuesta.

Se organiza muy bien con dos barras laterales:

x= -5 | 23 x - 49 y = 179 | y=-6

x=-1 | 23 x - 3y= -5 | y=-6

x= -1 | -x-3y=1 | y=0

La solución particular es x =-5, y = -6, y la general en ax+by=c, es, como se sabe,

x=x₀ - (b/d) * t

y=y₀ + (a/d) * t, donde t es cualquier entero positivo, negativo o cero; y d=MCD(a,b), en este caso d= MCD (-1, -3)=1.

Solución general: x=-5+49t // y= -6+23t // Con t=1, por ejemplo, x=44, y=17.

Pero además al subir un valor a la sucesiva anterior también podemos sumar o restar tantas veces como queramos el coeficiente de la otra incógnita; por eso, en vez de "subir" y=-6 en la (I), podemos poner y=-6+23(coef. de x)=17 lo que da inmediatamente en la (I) x= 44.

Este método es una aplicación interesantísima del Algoritmo de Euclides, pero de manera más flexible, pues no obliga a llegar hasta el final: en cuanto se ve una solución a simple vista se puede ya retroceder.

Siempre se trabaja con enteros, y no hay cambios de variable ni indeterminadas con subíndices, ni otras complicaciones de los métodos standard.

Es muy fácil demostrar porqué funciona, y hace años encontré que se puede generalizar a ecuaciones con cualquier número de incógnitas.

La efectividad de este algoritmo es máxima y muy superior a los métodos que explican todos los textos usuales de teoría de números, como el algoritmo de Euclides aplicado literalmente, o el método de las fracciones continuas (Lagrange).

Ejemplo:

(I) 147 x - 598 y= 97

(II) 147 x -10 y= 97 → basta x=1 para obtener múlt. de 10 → x=1, y=5, retrocedemos a la (I) con y=5 →

x=21, y=5; normalmente en tantos pasos como cifras del mayor coeficiente se termina el cálculo, y a veces incluso antes. En la primera "sucesiva" hemos acabado.

Solución general: x=21+598 t // y= 5+147t