Isomorfismo, Grupo Abelianos e Subgrupos Normais

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Linda Reina y Lorena Vergara 1
Taller No. 2
1. Sea (Z,+)el grupo de los enteros con la suma usual y sea el
grupo (Z,∗) donde a∗b = a+b−1. Demuestre que estos grupos son
isomorfos. Es decir, defina y demuestre que hay un isomorfismo
entre estos grupos
φ : Z→ Z
x 7→ x+ 1
φ(a+ b) = φ(a) ∗ φ(b) φ(a) ∗ φ(b) = (a+ 1) ∗ (b+ 1)
φ(a+ b) = (a+ b) + 1 = a+ 1 + b+ 1− 1
= a+ b+ 1
Por tanto, φ es homomorfismo
i) Inyectividad
Ker(φ) = {x ∈ Z/φ(x) = 1}
= {x ∈ Z/x+ 1 = 1}
= {0}
Por tanto, φ es inyectiva
ii) Sobreyectividad
¿Dadoy ∈ Z existe x ∈ Z tal que φ(x) = y? Si existe, pues si
x = y − 1 tenemos que
φ(y − 1) = (y − 1) + 1
= y − 1 + 1
= y
Por tanto, φ es sobreyectiva Por tanto, φ es isomorfismo
2. Sea (Z,+)el grupo de los enteros con la suma usual y sea (Z7,∓)el
grupo de los enteros con la suma modulo 7
a) Considere el conjunto Z × Z7 = {(a, b)/a ∈ Z, b ∈ Z7}. Definimos
la operación ∗ en G por
(a, b) ∗ (c, d) = (a+ c, b+̄d).
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Demuestre que G es un grupo abeliano.
i) ¿∗ es una operación binaria? Si, pues como (a, b) y (c, d) ∈ Z×Z7
entonces por propiedad clausurativa de los números enteros tenemos
que
(a, b) ∗ (c, d) = (a+ c, b+̄d).
ii) Asociativa Supongamos que (a, b), (c, d) y (e, f) ∈ G. Entonces
[(a, b) ∗ (c, d)] ∗ (e, f) = (a+ c, b+̄d) ∗ (e, f)
= (a+ c+ e, b+̄d+̄f)
(a, b) ∗ [(c, d) ∗ (e, f)] = (a, b) ∗ (c+ e, +̄f)
= (a+ c+ e, b+̄d+̄f)
Como [(a, b) ∗ (c, d)]∗(e, f) = (a, b)∗[(c, d) ∗ (e, f)] entonces la operación
binaria ∗ es asociativa
iii) Elemento neutro
¿Existe e = (e1, e2) ∈ G, tal que
(a, b) ∗ (e1, e2) = (a, b) = (e1, e2) ∗ (a, b)?.
Supongamos que e = (0, 0) dado que el neutro para la suma es 0, entonces
(a, b) ∗ (0, 0) = (a+ 0, b+̄0)
= (a, b)
Ahora, (0, 0) ∗ (a, b) = (0 + a, 0+̄0)
= (a, b)
Por tanto, el elemento neutro es (0, 0) y (0, 0) ∈ G.
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iv) Elemento inverso
¿Si (a, b) ∈ G entonces existe (c, d) ∈ G tal que
(a, b) ∗ (c, d) = (0, 0) = (c, d) ∗ (a, b)?
Si (a, b) ∗ (c, d) = (0, 0) −→ (a+ c, b+̄d) = (0, 0)
a+ c = 0 b+̄d = 0
c = −a d = b−1
Ahora, (c, d) = (−a, b−1). Luego,
(a, b) ∗ (c, d) = (a, b) ∗ (−a, b−1) = (a+ (−a), b+̄b−1)
= (a− a, b+̄b−1)
= (0, 0)
Por tanto, la operación ∗ cumple con la propiedad del elemento neutro
Como la operación está bien definida y cumple con las propiedades
asociativa, elemento neutro y elemento inverso entonces
G = Z× Z7 es un grupo.
v)Conmutativa
Notemos que: (a, b) ∗ (c, d) = (a+ c, b+̄d)
(c, d) ∗ (a, b) = (c+ a, d+̄b)
Como (a, b)∗(c, d) = (c, d)∗(a, b) entonces la operación ∗ es conmutativa.
Luego, como G es un grupo y además cumple con la propiedad conmutativa
entonces G es un grupo abeliano
b) Encuentre un subgrupo normal (diferente de los dos triviales
de G) de G
Sea 3Z ≤ Z y {0} ≤ Z7
Vamos a demostrar que 3Z× {0} ≤ Z× Z7
Supongamos que x, y ∈ 3Z× {0} entonces
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x = (3m, 0), y = (3n, 0)→ x ∗ y = (3m+ 3n, 0+̄0)
= (3(n+m), 0) ∈ 3Z× {0}
Por tanto, la operación ∗ está bien definida.
Ahora, notemos que como x ∈ 3Z× {0} y x = (3m, 0) entonces
(−3m, 0) ∈ 3Z× {0}. De modo que,
(3m, 0) ∗ (−3m, 0) = (0, 0) = (−3m.0) ∗ (3m, 0)
Por tanto, la operación ∗ cumple con la propiedad del elemento inverso.
Como la operación ∗ está bien definida y cumple con la propiedad
del elemento inverso entonces 3Z× {0} ≤ G y como G es abeliano
entonces 3Z× {0} ⊴ G.
3. Sean (G1, ·1) y (G2, ·2) dos grupos. Defina el conjunto
G = G1 ×G2 y la operación ∗ en G por
(a, b) ∗ (c, d) = (a ·1 c, b ·2 d).
a) Demuestre que (G, ∗) es un grupo.
i)¿La operación ∗ está bien definida?
Como G = G1 ×G2 entonces (a, b) y (c, d) ∈ G con a, c ∈ G1 y
b, d ∈ G2. Luego,
(a, b) ∗ (c, d) = (a ·1 c, b ·2 d)
donde x = a ·1 c y y = b ·2 d.
Como x ∈ G1, y ∈ G2 entonces a ·1 c ∈ G1 y b ·2 d ∈ G2.
Finalmente, (a ·1 c, b ·2 d) = (x, y) ∈ G.
Por tanto, ∗ es una operación binaria.
i) Asociativa
Notemos que:
(a, b) ∗ (c, d) = (a ·1 c, b ·2 d)
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(c, d) ∗ (a, b) = (c ·1 a, d ·2 b)
Por tanto, la operación binaria ∗ es asociativa.
ii) Elemento neutro
Supongamos que e = (e1, e2), entonces
(a, b) ∗ (e1, e2) = (a ·1 e1, b ·2 e2)
= (a, b)
Ahora;
(e1, e2) ∗ (a, b) = (e1 ·1 a, e2 ·2 b)
= (a, b)
Por tanto, la operación ∗ cumple con la propiedad del elemento neutro.
iii) Elemento Inverso
¿Existe (c, d) ∈ G tal que (a, b) ∗ (c, d) = (e1, e2) = (c, d) ∗ (a, b), para
todo (a, b) ∈ G?
Como (a, b) ∗ (c, d) = (a ·1 c, b ·2 d), entonces (a ·1 c, b ·2 d) = (e1), e2) Si
a ·1 c = e1 b ·2 d = e2
a−1 ·1 a ·1 c = a−1 ·1 e1 b−1 ·2 b ·2 d = b−1 ·2 e2
c = a−1 d = b−1
Por tanto, la operación ∗ cumple con la propiedad del elemento inverso.
Finalmente, G es un grupo.
b)¿Si N1 ⊴ G1 y N2 ⊴ G2, entonces N1 ×N2 ⊴ G?
→ Sea G1, G2 dos grupos y N1 ⊴ G1 y N2 ⊴ G2, entonces por hipótesis
tenemos que:
aN1 = N1a, bN2 = N2b
Ahora, si N1 ⊴ G1 y N2 ⊴ G2, entonces N1 ×N2 es un grupo y por
tanto se satisface que si (a, b), (c, d) ∈ N1×N2 entonces el neutro
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(e1, e2) es el mismo de G y para todo (a, b) ∈ N1×N2, existe (a−1, b−1) ∈
N1 ×N2; tal que
(a, b) ∗ (a−1, b−1) = (e1, e2) = (a−1, b−1) ∗ (a, b)
Y por tanto, cumple con la propiedad del elemento inverso.
← Como cumple con el inverso y la operación está bien definida,
entonces demostraremos que existe un elemento neutro:
Ahora; como N1×N2 ̸= ϕ, entonces sea (a, b) ∈ N1×N2 por la propiedad
del inverso tenemos que la (a−1, b−1) ∈ N1 ×N2, es decir, que
(e1, e2) ∈ N1 ×N2. Por tanto, N1 ×N2 ⩽ G
Ahora, por proposición tenemos que si N1 ×N2 ⩽ G, entonces
(a, b) ∗N1 ×N2 = (a ·1 N1, b ·2 N2)
Y por hipótesis tenemos que: (a ·1 N1, b ·1 N2) = (N1 ·1 a,N2 ·1 b)
Por tanto, N1 ×N2 ⊴ G
4. Sea φ : G→ Fun homomorfismo de grupos. Demuestre que:
a) Si H ⩽ F entonces φ−1(H) ⩽ G.
Sea a, b ∈ φ−1(H), quiere decir que:
φ(a), φ(b) ∈ H
Luego,
φ(a)φ(b) ∈ H
φ(ab) ∈ H
Y por tanto, ab ∈ φ−1(H). Finalmente, se cumple que la operación
es binaria.
Ahora, sea a ∈ φ−1(H) y φ(a) ∈ H entonces
φ(a)φ(a−1) = e
F
Análogamente, φ(a−1)φ(a) = e
F
Luego, φ(a)−1 ∈ H
Por tanto, a−1 ∈ φ−1(H)
Finalmente, la operación cumple con la propiedad del elemento inverso.
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De manera que φ−1(H) ⩽ G
b) Si H ⩽ G entonces φ(H) ⊴ φ(G). Sea φ(G) = {φ(x)/x ∈ G},
φ(H) = {φ(h)/x ∈ H},x ∈ G y φ(x) entonces
φ(x)φ(H) = {φ(x) · {φ(h) : h ∈ H}
= {φ(x)φ(h) : h ∈ H}
= {φ(xh) : h ∈ H}
= {φ(yx) : y ∈ H}
= {φ(y)φ(x) : y ∈ H}
= {φ(y) : y ∈ H} · φ(x)
= φ(H)φ(x)
5. Consideremos el grupo Z6 con la suma usual módulo 6 y S3 el grupo
de las permutaciones de tres elementos con la composición de funciones.
Si φ : Z6 → S3 es un homomorfismo entre estos grupos y es tal que
φ(1) es la permutación:
h =
(
1 2 3
2 3 1
)
.
a) Calcular φ(0), φ(2),..., φ(5)
φ(0) = id
por proposición
φ(2) = φ(1 + 1) = φ(1) ◦ φ(1) = h ◦ h = h2
φ(2) =
(
1 2 3
3 1 2
)
.
φ(3) = φ(2 + 1) = φ(2) ◦ φ(1) = h2 ◦ h = h3 = id
φ(4) = φ(3 + 1) = φ(3) ◦ φ(1) = h3 ◦ h = h4 = h
φ(5) = φ(4 + 1) = φ(4) ◦ φ(1) = h4 ◦ h = h5 = h2
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b) Calcular φ({0, 2, 4})
φ({0, 2, 4}) = {id, h2, h}
c) Encuentre un subgrupo normal de S3 (diferente de los dos triviales).
Sea H =< h >= {id, h, h2} ≤ S3, por afirmación de que el subgrupo
cı́clico es un subgrupo del grupo.
Sea f ∈ S3 con
f =
(
1 2 3
1 3 2
)
.
entonces H ◦ f = {id, h, h2} ◦ f
= {f, h ◦ f, h2 ◦ f}
h ◦ f =
(
1 2 3
2 3 1
)
◦
(
1 2 3
1 3 2
)
=
(
1 2 3
2 1 3
)
h2 ◦ f =
(
1 2 3
3 1 2
)
◦
(
1 2 3
1 3 2
)
=
(
1 2 3
3 2 1
)
∴ H ◦ f =
{(
1 2 3
1 3 2
)
,
(
1 2 3
2 1 3
)
,
(
1 2 3
3 2 1
)}
y f ◦H = f ◦ {id, h, h2}
= {f, f ◦ h, f ◦ h2}
f ◦ h =
(
1 2 3
1 3 2
)
◦
(
1 2 3
2 3 1
)
=
(
1 2 3
3 2 1
)
f ◦ h2 =
(
1 2 3
1 3 2
)
◦
(
1 2 3
3 1 2
)
=
(
1 2 3
2 1 3
)
∴ f ◦H =
{(
1 2 3
1 3 2
)
,
(
1 2 3
3 2 1
)
,
(
1 2 3
2 1 3
)}
Como H ◦ f = f ◦H, entonces H ⊴ S3