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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE
ANILLOS Y ÁLGEBRAS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
MATEMÁTICA
PRESENTA:
TANIA AZUCENA CHICALOTE JIMÉNEZ
DIRECTOR DE TESIS:
DRA. EDITH CORINA SÁENZ VALADEZ
2009
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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AGRADECIMIENTOS
Agradezco a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma
de México por el espacio y tiempo que me ha brindado para formarme como
matemática y orgullosa universitaria.
A todos mis profesores y sinodales que me ayudaron para hacer de este
trabajo una tesis digna de la UNAM, en especial a la profesora Corina Sáenz
quien fungió no sólo como un apoyo académico sino además como un apoyo
moral y personal durante mi formación profesional.
A cada miembro de mi familia que siempre me han apoyado en mis es-
tudios, vida personal y de quienes he aprendido los valores humanos para
ser una mejor persona; en especial a mi madre que durante mi desarrollo
ha sido una fuerza incansable e incondicional de esfuerzo y lucha, y que me
ha mostrado el amor y la pasión por el estudio.
Y finalmente a mis queridos amigos Lorena, Carlos y Vangelis que han
sido participes de cada uno de mis logros.
DEDICATORIAS
A mi madre.
A mi pá Adrián.
A mi t́ıa Lupita.
A mi t́ıo Gil.
A mi hermana y sobrinas.
A mis primos Andrés y Adriana.
A mis amigos.
Índice general
Introducción V
1. Espacios Vectoriales 1
1.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Anillos 29
2.1. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Dominios Enteros y Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3. Álgebras 67
3.1. K-Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2. Álgebras de Carcaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
vii
viii ÍNDICE GENERAL
3.3. Ideales Admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Bibliograf́ıa 95
Introducción
El propósito de esta tesis fue estudiar las álgebras de carcaj. Estas álge-
bras constituyen una herramienta fundamental para la rama del álgebra
conocida como Teoŕıa de Representaciones de Álgebras. Lo anterior
debido, por un lado, a que proporcionan una infinidad de ejemplos, por
el otro a que nos permiten visualizar a los módulos finitamente generados
de dicha álgebra. Y por último a que mediante dichas álgebras podemos
caracterizar a las K-álgebras básicas, conexas y de dimensión finita. Ver
el Corolario 3.3.12 y el Teorema 3.3.13. Cabe señalar que hemos omitido
la demostración del Teorema anterior, ya que ésta requiere elementos de la
Teoŕıa de módulos que no hemos estudiado en el presente trabajo.
Dado que la definición de álgebra de carcaj involucra los conceptos de es-
pacio vectorial y de anillo, hemos organizado este trabajo en tres caṕıtulos.
En el Caṕıtulo 1 desarrollamos la teoŕıa de espacios vectoriales y de trans-
formaciones lineales. Tratamos de hacer esto de una manera completa, es
decir, hemos incluido las demostraciones de la mayoŕıa de los resultados.
Para hacer esto nos basamos en [1].
En el Caṕıtulo 2 estudiamos la teoŕıa de anillos asociativos. Al igual que
en el Caṕıtulo anterior pretendemos hacerlo de una manera completa. Nos
basamos en [2].
Una vez estudiados los conceptos de espacio vectorial y de anillo asocia-
tivo, podemos estudiar el concepto de álgebra de carcaj. Esto lo hacemos
en el Caṕıtulo 3. Para desarrollar este Caṕıtulo nos basamos en [4].
v
Caṕıtulo 1
Espacios Vectoriales
En este caṕıtulo presentamos la teoŕıa básica de los espacios vectoriales
de dimensión finita y de las transformaciones lineales y su relación con las
matrices. Estos temas serán básicos para el desarrollo del Caṕıtulo 3. En la
Definición 1.1.1 usaremos el concepto de campo el cual puede verse en la
Definición 2.2.12. Pero intuitivamente un campo es un conjunto que satisface
las propiedades que tiene por ejemplo el conjunto de los número reales R.
1.1. Espacios vectoriales
En esta sección enunciaremos los resultados principales de la teoŕıa de
espacios vectoriales. Estos resultados serán utilizados en el Caṕıtulo 3.
Definición 1.1.1 Un espacio vectorial V sobre un campo F consiste de
un conjunto V , en el que están definidas dos operaciones llamadas suma
vectorial y multiplicación de escalar por vector, denotadas por + y • re-
spectivamente, tal que para cualquier par de elementos x, y ∈ V existe un
elemento único x + y en V , y para cada elemento a ∈ F y cada elemento
x ∈ V existe un elemento único a • x ∈ V , de manera que se cumplen las
1
2 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
siguientes ocho condiciones:
1) Para todo x, y ∈ V , x + y = y + x;
2) Para todo x, y, z ∈ V , (x + y) + z = x + (y + z);
3) Existe un elemento en V , denotado por 0, tal que x + 0 = x para toda
x ∈ V ;
4) Para cada elemento x ∈ V , existe un elemento y ∈ V tal que x+y = 0;
5) Para cada elemento x ∈ V , y 1 ∈ F , se tiene que 1 • x = x;
6) Para todo a, b ∈ F y x ∈ V , (ab) • x = a(b • x);
7) Para cada elemento a ∈ F y cada par x, y ∈ V , a•(x+y) = a•x+a•y;
8) Para todo a, b ∈ F y x ∈ V , (a + b) • x = a • x + b • x;
Llamamos a los elementos del espacio vectorial V , vectores y a los elemen-
tos del campo F , escalares.
Dado un espacio vectorial V sobre un campo F con las operaciones de
suma vectorial y multiplicación de escalar por vector, definidas anterior-
mente, escribiremos ax en lugar de a • x con a ∈ F y x ∈ V .
Se puede ver que para cualesquiera x, y, z ∈ V que satisfacen x+z = y+z,
se tiene que x = y. A la propiedad anterior, se le conoce como la ley de
la cancelación para la suma vectorial. De igual manera se puede ver que
el elemento 0 de la propiedad 3) es único y se le conoce como el elemento
neutro. Análogamente, dado un x ∈ V se puede ver que el elemento y ∈ V
tal que x + y = 0 es único y se le conoce como el inverso de x, se denota
por −x.
Ejemplo 1.1.2 Los siguientes son ejemplos de espacios vectoriales.
1.1. ESPACIOS VECTORIALES 3
1) El conjunto de todas las n-adas con valores en un campo F , denotado
por F n, es un espacio vectorial, bajo las operaciones de suma y mul-
tiplicación por escalares dadas por:
para x = (a1, ..., an) ∈ F n, y = (b1, ..., bn) ∈ F n y c ∈ F , se tiene
x + y = (a1 + b1, ..., an + bn) y cx = (cx1, ..., cxn).
2) El conjunto de las matrices de m × n con valores en el campo F ,
Mm×n(F ), con las operaciones de suma y multiplicación por escalares
usuales, es un espacio vectorial.
3) El conjunto de todas las funciones de un conjunto S, distinto del vaćıo,
en un campo F es un espacio vectorial con la adición y multiplicación
por escalares dadas por (f + g)(s) = f(s) + g(s), y (cf)(s) = c[f(s)],
para todo s ∈ S.
4) El conjunto V = {0} es un espacio vectorial sobre cualquier campo
F , con las operaciones de suma y multiplicación dadas por 0 + 0 = 0
y a0 = 0 para cada escalar a ∈ F . A éste le llamaremos el espacio
vectorial trivial.
Las siguientes son algunas de las propiedades elementales de la multipli-cación por escalares.
Teorema 1.1.3 En cualquier espacio vectorial V , las siguientes condiciones
se satisfacen:
1) 0x = 0 para todo x ∈ V ;
2) (−a)x = −(ax) para todo a ∈ F y para todo x ∈ V ;
3) a0 = 0 para todo a ∈ F .
Prueba: Probemos el primer enunciado. Utilizando las propiedades de es-
pacio vectorial sabemos que 0x + 0 = 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x, de donde
0x + 0 = 0x + 0x, y por la ley de la cancelación para la suma vectorial
tenemos que 0 = 0x. Ahora veamos el segundo enunciado. Mostraremos que
ax + (−a)x = 0, y como −ax es el único elemento tal que ax + (−(ax)) = 0
obtendremos el resultado. Aśı pues, ax + (−a)x = (a + (−a))x = 0x = 0,
4 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
por lo que ax + (−a)x = 0. Por tanto (−a)x = −(ax). La demostración de
3) es análoga a la prueba del primer enunciado. �
Introduciremos ahora el concepto de subespacio vectorial.
Definición 1.1.4 Un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre un
campo F se llama un subespacio de V si W es un espacio vectorial sobre F ,
bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalares definidas en V .
El siguiente resultado nos muestra que no es necesario verificar las ocho
condiciones de espacio vectorial para demostrar que un subconjunto W de
V es un subespacio vectorial.
Teorema 1.1.5 Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto de V . En-
tonces W es un subespacio vectorial de V si y sólo si se satisfacen las
tres condiciones siguientes:
1) 0 ∈W ;
2) x + y ∈ W , siempre que x ∈W , y ∈W ;
3) ax ∈W , siempre que a ∈ F , x ∈W .
�
Ejemplo 1.1.6 Consideremos los siguientes ejemplos:
1) El conjunto S de múltiplos escalares del vector (1, 3, 2) ∈ R3, es un
subespacio vectorial de R3, bajo la suma y multiplicación por escalares
usuales en R3.
1.1. ESPACIOS VECTORIALES 5
2) El conjunto W de todas las matrices simétricas de n×n con entradas
en F , es decir, las matrices M tales que M t = M en Mn×n(F ) es
un subespacio del espacio vectorial de las matrices cuadradas de n×n
con coeficientes en F , Mn×n(F ).
3) El conjunto W formado por todas las matrices diagonales de Mn×n(F )
es un subespacio del espacio vectorial Mn×n(F ).
4) Si V es un espacio vectorial, entonces V es un subespacio de śı mismo.
5) El conjunto W = {0} es un subespacio del espacio vectorial V . Se le
conoce como el sub-espacio trivial.
Los siguientes resultados son útiles pues proporcionan métodos para for-
mar nuevos subespacios vectoriales, a partir de subespacios vectoriales da-
dos.
Teorema 1.1.7 Cualquier intersección de subespacios de un espacio vecto-
rial V es un subespacio de V .
Prueba: Sea C = {Wi}i∈I una familia de subespacios de V , y sea W la
intersección de los subespacios de C. Como todos los subespacios Wi, i ∈ I
tienen al elemento 0, entonces el 0 ∈ W . Sean x, y ∈ W , luego x, y son
elementos de cada subespacio Wi, i ∈ I, entonces x + y está en cada sube-
spacio Wi, i ∈ I y por lo tanto x + y ∈W . Finalmente sean a ∈ F y x ∈ W
entonces como x está en cada subespacio vectorial Wi, i ∈ I, tenemos que
ax está en cada subespacio vectorial Wi, i ∈ I de donde ax ∈ W . Por lo
tanto W es un subespacio vectorial de V . �
El teorema anterior nos permite ver que se puede formar un nuevo sube-
spacio a partir de la intersección de subespacios vectoriales dados. Faltaŕıa
ver ahora si es posible formar un subespacio vectorial que contenga a los
subespacios vectoriales dados. Para ello, haremos uso de la siguiente defini-
ción.
6 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
Definición 1.1.8 Sean S1 y S2 subconjuntos distintos del vaćıo de un espa-
cio vectorial V . Definimos S1 + S2 = {x + y : x ∈ S1, y ∈ S2}. De manera
general definimos la suma
S1 + S2 + ... + Sn = {x1 + x2 + ... + xn : xi ∈ Si, i = 1, 2, ..., n},
donde S1, ..., Sn son subconjuntos (distintos del vaćıo) del espacio vectorial
V .
Teorema 1.1.9 Sean W1 y W2 subespacios de V . Entonces W1 +W2 es un
subespacio vectorial de V .
Prueba: Dado que el elemento 0 ∈ W1 y 0 ∈W2, tenemos que 0 = 0 + 0 ∈
W1 +W2. Sean x, y ∈W1 +W2 luego, x = x1 +x2, con x1 ∈ W1, x2 ∈W2 y
y = y1 +y2, con y1 ∈ W1, y2 ∈W2, entonces x+y = (x1 +x2)+(y1 +y2) =
(x1 + y1) + (x2 + y2). Como (x1 + y1) ∈ W1 y (x2 + y2) ∈ W2, tenemos
que x + y = (x1 + y1) + (x2 + y2) ∈ W1 + W2. Sea a ∈ F , entonces
ax = a(x1 + x2) = ax1 + ax2 ∈ W1 + W2. Por lo tanto W1 + W2 es un
subespacio vectorial de V. �
Del resultado anterior se sigue, por inducción, que:
Corolario 1.1.10 Sean W1, ..., Wn subespacios vectoriales de V . Entonces
W1 + W2 + ... + Wn es un subespacio vectorial de V .
�
Definición 1.1.11 Sean W1 y W2 subespacios de V tales que W1 ∩W2 =
{0} y W1 + W2 = V , entonces se dice que V es la suma directa (interna)
de W1 y W2, expresada por V = W1 ⊕W2.
Ejemplo 1.1.12 Consideremos los siguientes ejemplos.
1.1. ESPACIOS VECTORIALES 7
1) Sean W1 = {(a1, ..., an) ∈ F n : an = 0} y W2 = {(a1, ..., an) ∈ F n :
a1 = ... = an−1 = 0} subespacios vectoriales de F n. Entonces F n es
la suma directa de W1 y W2.
2) El espacio vectorial Mm×n(F ) es suma directa de los subespacios W1
y W2 donde
W1 = {A ∈ Mm×n(F ) : Aij = 0, i > j} (conocido como el conjunto
de las matrices triangulares superiores) y W2 = {A ∈ Mm×n(F ) :
Aij = 0, i ≤ j}.
El siguiente teorema muestra la importancia de que un espacio vectorial
V se pueda expresar como la suma directa de subespacios vectoriales W1 y
W2.
Teorema 1.1.13 Sean W1 y W2 subespacios de un espacio vectorial V .
Entonces V es la suma directa de W1 y W2 si y sólo si cada elemento de V
puede ser escrito de manera única como x1+x2, donde x1 ∈W1 y x2 ∈W2.
Prueba: Supongamos que V = W1⊕W2. Como en particular, V = W1+W2
entonces para z ∈ V tenemos que z = x1 + x2 con x1 ∈ W1 y x2 ∈ W2.
Ahora supongamos que z = y1 + y2 con y1 ∈ W1 y y2 ∈ W2, es otra rep-
resentación posible de z. Entonces x1 + x2 = y1 + y2 de donde x1 − y1 =
y2 − x2 ∈ W1 ∩W2 = {0}. De aqúı que x1 − y1 = y2 − x2 = 0, de donde
x1 = y1, x2 = y2. Por lo tanto z puede ser escrito de manera única.
Supongamos ahora que cada elemento de V puede ser escrito de manera
única como x1 + x2, x1 ∈ W1, x2 ∈ W2. Queremos ver que V es la suma
directa de W1 y W2, es decir W1+W2 = V y que W1∩W2 = {0}. Sea x ∈ V ,
por hipotesis, a x lo podemos escribir de manera única como x = x1 + x2;
x1 ∈ W1, x2 ∈ W2, por lo que x ∈ W1 + W2. Veamos que W1 ∩W2 = {0}.
Sea z ∈ W1 ∩W2, entonces 0 = z + (−z), z ∈ W1, −z ∈ W2, pero tam-
bién sabemos que 0 = 0 + 0 ∈ W1 + W2, de aqúı que z = 0. De donde
W1 ∩W2 = {0}. Por lo tanto V es la suma directa de W1 y W2. �
El concepto de combinación lineal juega un papel fundamental en la
teoŕıa de espacios vectoriales.
8 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
Definición 1.1.14 Sea V un espacio vectorial y S 6= ∅ un subconjunto de
V . Se dice que un vector x de V es una combinación lineal de elementos
de S, si existe un número finito de elementos y1, y2, ..., yn ∈ S y escalares
a1, a2, ..., an tales que x = a1y1 + ... + anyn.
Observación 1.1.15 El vector cero es combinación lineal de cualquier sub-
conjunto no vaćıo S de un espacio vectorial V , pues 0 = 0x1 + ... + 0xn,
xi ∈ S.
El conjunto de las combinaciones lineales de los elementos de un sub-
conjunto no vaćıo S de un espacio vectorial proporciona otro ejemplo de
subespacio vectorial de V . Esto lo muestra el siguiente resultado.
Teorema 1.1.16 Si S es un subconjunto no vaćıo de un espacio vectorial
V , entonces el conjunto W , formado por todas las combinaciones lineales
de elementos en S, es un subespacio vectorial de V . Más aún, W es el
subespacio vectorial más pequeño de V que contiene a S. Esto es, W es
subespacio vectorial de cualquier subespacio W ′ de V que contenga a S.
Prueba: Veamos que W es un subespacio de V . Como S es distinto del vaćıo,
entonces por la Observación 1.1.15 el 0 ∈W . Si y, z ∈W , entonces y, z son
combinaciones lineales de los elementos de S, aśı que, existen elementos
x1, x2, ..., xn ∈ S y w1, w2, ..., wm ∈ S tales que y = a1x1+a2x2+ ...+anxn,
z = b1w1 + ... + bmwm; para ai, bi escalares.Ahora y + z = (a1x1 + a2x2 +
...+anxn)+(b1w1 + b2w2 + ...+ bmwm) = a1x1 +a2x2 + ...+anxn + b1w1 +
b2w2 + ...+ bnwm es una combinación lineal de elementos en S. Por lo tanto
x + y ∈ W . Además sea c ∈ F entonces cy = c(a1x1 + a2x2 + ... + anxn) =
ca1x1 + ca2x2 + ... + canxn = (ca1)x1 + (ca2)x2 + ...+ (can)xn es una com-
binación lineal de elementos en S, por lo que cy ∈ W . Por lo tanto, W es
un subespacio de V . Veamos ahora que W es el subespacio más pequeño
que contiene a S. Sea W ′ un subespacio vectorial de V que contiene a
S. Si y ∈ W , entonces y = a1x1 + a2x2 + ... + anxn, con ai escalares, y
x1, ..., xn ∈ S. Como S ⊆ W ′, entonces x1, ..., xn ∈ W ′, luego como W ′ es
subespacio vectorial de V entonces y = a1x1 + a2x2 + ... + anxn ∈ W ′, de
1.1. ESPACIOS VECTORIALES 9
donde y ∈ W ′, por lo que W ⊆ W ′. Por lo tanto W es el subespacio más
pequeño de V que contiene a S. �
Definición 1.1.17 Al espacio vectorial W , enunciado en el teorema anteri-
or, se le conoce como el subespacio vectorial generado por los elementos
de S, y lo denotaremos por 〈S〉. Además definiremos 〈∅〉 = {0}.
Definición 1.1.18 Decimos que un conjunto S de un espacio vectorial V
genera a V si 〈S〉 = V .
Ejemplo 1.1.19 Veamos los siguientes ejemplos.
1) Sea S el conjunto formado por las matrices:
(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)
.
Tenemos que S genera al espacio vectorial M2×2(F ).
2) Sea S el conjunto formado por los polinomios: x2 + 3x− 2, 2x2+ 5x−
3,−x2−4x+4. Se puede ver que S genera al espacio vectorial, P2(R),
de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes en R.
Las siguientes definiciones son centrales en la Teoŕıa del Algebra Lineal.
Definición 1.1.20 Un subconjunto S de un espacio vectorial V es lin-
ealmente dependiente si existe un número finito de elementos distintos
x1, x2, ..., xn ∈ S, y escalares a1, a2, ..., an no todos cero, tales que a1x1 +
a2x2 + ...+ anxn = 0. (También decimos que los elementos de S son lineal-
mente dependientes).
10 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
Definición 1.1.21 Un subconjunto S de un espacio vectorial V , que no
es linealmente dependiente, se dice que es un conjunto linealmente in-
dependiente. (También decimos que los elementos de S son linealmente
independientes).
Ejemplo 1.1.22 Consideremos los siguientes ejemplos:
1) El conjunto A = {(1, 2, 3), (−2, 1,1), (8, 6,10)} es linealmente dependi-
ente en R3. Ya que tenemos la combinación lineal: 4(1, 2, 3)+(−2)(−2, 1, 1)+
(−1)(8, 6, 10) = (0, 0, 0).
2) El conjunto B = {(3,−2, 2), (3,−1, 4), (1, 0,5)} es linealmente inde-
pendiente en R3 pues los únicos escalares que satisfacen la combi-
nación lineal c1(3,−2, 2) + c2(3,−1, 4) + c3(1, 0, 5) = (0, 0, 0), son
c1 = c2 = c3 = 0.
3) Consideremos f(x) = x2 + 1, g(x) = 3x − 1, y h(x) = −4x + 1
∈ P2(R), polinomios de grado 6 2 con coeficientes en R. Luego el
conjunto C = {f(x), g(x), h(x)} es linealmente independiente, pues
c1f(x)+c2g(x)+c3h(x) = 0, sólo se cumple cuando c1 = c2 = c3 = 0.
4) En cualquier espacio vetorial V , un subconjunto S de V que contenga
al vector cero, 0, es linealmente dependiente, pues 1 (0) = 0.
5) El conjunto vaćıo es linealmente independiente, ya que por vacuidad
no es linealmente dependiente.
6) En cualquier espacio vectorial V un conjunto S = {x} formado por
un sólo vector no nulo es linealmente independiente. Pues si {x} = S
es linealmente dependiente, entonces ax = 0 para alguna a 6= 0 ∈ F ,
de donde x = a−1(ax) = a−1(0) = 0, entonces x = 0, lo cual es una
contradicción. Por lo tanto {x} es linealmente independiente.
Los siguientes resultados se siguen de las definiciones de dependencia e
independencia lineal.
1.1. ESPACIOS VECTORIALES 11
Proposición 1.1.23 Sea V un espacio vectorial y S1 ⊆ S2 ⊆ V . Si S1 es
linealmente dependiente entonces S2 también lo es.
Prueba: Sean x1, ..., xn ∈ S1 tales que 0 = a1x1 + ... + anxn es una combi-
nación lineal de elementos en S1 con algún ai 6= 0. Como S1 ⊆ S2 entonces
x1, ..., xn ∈ S2, de donde a1x1 + ... + anxn = 0 ∈ S2 y por tanto S2 es
linealmente dependiente. �
Corolario 1.1.24 Sea V un espacio vectorial y S1 ⊆ S2 ⊆ V . Si S2 es
linealmente independiente entonces S1 también lo es.
Prueba: Supongamos que S1 no es linealmente independiente. Entonces S1
es linealmente dependiente y como S1 ⊆ S2, entonces por la proposición an-
terior S2 también es linealmente dependiente, lo cual es una contradicción
a la hipótesis de que S2 es linealmente independiente. Por lo tanto S1 es
linealmente independiente. �
Ejemplo 1.1.25 Consideremos algunos ejemplos.
1) Como S = {(2,−1, 3), (−4, 2,−6)} es un conjunto linealmente depen-
diente. Entonces cualquier conjunto T que contenga a S será lineal-
mente dependiente.
2) Como T = {(1, 0, 0), (1, 2, 0), (1,2, 3)} es un conjunto linealmente in-
dependiente. Entonces cualquier conjunto contenido en éste será lin-
ealmente independiente.
Finalmente daremos la definición de una base de un espacio vectorial V .
Este concepto es fundamental en la Teoŕıa del Álgebra Lineal.
Definición 1.1.26 Sea β un subconjunto linealmente independiente de un
espacio vectorial V . Si además β genera a V , entonces se dice que β es una
base de V .
12 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
Observemos que el conjunto ∅ es una base del espacio vectorial cero, ver
1.1.17 y el inciso 5) del Ejemplo 1.1.22.
Ejemplo 1.1.27 Consideremos los siguientes ejemplos:
1) El conjunto {(1, 0,−1), (1, 1,1), (1,2,4)} es base de R3.
2) En F n, sean e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ...,0), ..., en = (0, 0, ...,0,1).
Entonces β = {e1, e2, ..., en} es una base para F n y se le conoce como
la base estándar.
3) Sea β = {f(x), g(x), h(x)}, con f, g, h tales como se definieron en el
inciso 3) del Ejemplo 1.1.22. Entonces β es una base para P2(R), ya
vimos que β es linealmente independiente faltaŕıa ver que β genera a
P2(R). Sea p(x) = bx2+cx+d un polinomio arbitrario de grado 2 con
coeficientes en R. Queremos ver que existen escalares a1, a2, a3 tales
que p(x) = a1f(x)+a2g(x)+a3h(x). De donde p(x) = bx2 + cx+d =
a1f(x) + a2g(x) + a3h(x) y haciendo los cálculos correspondientes,
obtenemos que a1 = b, a2 = 4b− 4d− c, a3 = 3b− 3d− c. Por lo tanto
β genera a P2(R).
El siguiente teorema muestra la propiedad más importante de una base.
Teorema 1.1.28 Sea V un espacio vectorial y β un subconjunto de V .
Entonces β es una base de V si y sólo si cada vector y ∈ V puede ser
expresado de manera única como una combinación lineal de vectores de β.
Es decir, y puede ser expresado en la forma y = a1x1 + a2x2 + ... + anxn,
con xi ∈ β y escalares ai ∈ F , de manera única.
Prueba: Sea β una base de V . Si y ∈ V , entonces y ∈ 〈β〉. De aqúı que
y es una combinación lineal de los elementos de β. Supongamos ahora que
y = a1x1+a2x2+...+anxn, y que y = b1x1+b2x2+...+bnxn son dos posibles
combinaciones lineales de y con elementos de β. Restamos la segunda igual-
dad de la primera, obtenemos a1x1+...+anxx−(b1x1+...+bnxn) = 0, luego
(a1−b1)x1+ ...+(an−bn)xn = 0. Como β es linealmente independiente ten-
emos que a1− b1 = ... = an− bn = 0 y entonces a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn
1.1. ESPACIOS VECTORIALES 13
de donde y sólo se puede expresar de una manera única como combinación
lineal de los elementos de β. Ahora supongamos que cada vector y ∈ V puede
ser expresado de manera única como combinación lineal de los elementos de
β. Y queremos demostrar que β es una base de V. Para esto basta con ver
que β es un subconjunto linealmente independiente de V . Veamos que β es
linealmente independiente. Supongamos que a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0,
con a1, a2, ..., an ∈ F . Como sabemos que 0 = 0x1 + 0x2 + ... + 0xn, y que
la expresión de cualquier elemento en V como combinación lineal de los
elementos de β es única, entonces a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0. Por lo tanto β
es linealmente independiente. Finalmente tenemos que β es una base de V . �
Necesitaremos el siguiente resultado para probar el Teorema 1.1.30
Lema 1.1.29 Sea S un subconjunto linealmenteindependiente de V y sea
x un elemento de V que no está en S. Luego S ∪{x} es linealmente depen-
diente, si y sólo si x ∈ 〈S〉.
Prueba: Si S ∪ {x} es linealmente dependiente, entonces deben existir vec-
tores x1, ..., xn ∈ S ∪ {x} y escalares a1, ..., an no todos nulos, tales que
a1x1+...+anxn = 0. Dado que S es linealmente independiente, tenemos que
alguna xi = x, con ai 6= 0, pues de lo contrario, esto es 0 = a1x1+ ...+anxn,
con x1, ..., xn ∈ S, implicaŕıa que todos los escalares son nulos, lo cual es una
contradicción ya que en los escalares a1...an existe al menos uno no nulo.
Por tanto sin pérdida de generalidad digamos que x1 = x, de aqúı tenemos
a1x + ... + anxn = 0, de donde x = a−11 (−a2x2 − ...− anxn), entonces x
es una combinación lineal de los elementos de S. Por tanto x ∈ 〈S〉. Ahora
supongamos que x ∈ 〈S〉. Entonces existen vectores x1, ..., xn ∈ S y escalares
a1, ..., an, tales que x = a1xa + ....anxn, de donde a1x1 + ... + anxn − x =
a1x1+...+anxn+(−1)x = 0, entonces S∪{x} es linealmente dependiente. �
Los siguientes resultados conciernen a espacios vectoriales que tienen
una base finita.
Teorema 1.1.30 Si un espacio vectorial V es generado por un conjunto
finito S0, entonces existe un subconjunto de S0 que es una base para V . Por
lo tanto, V tiene una base finita.
14 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
Prueba: Si S0 es base de V , entonces no tenemos nada que probar. Si
S0 = ∅ ó S0 = {0}, entonces V = {0}, y ∅ es una base para V . Ahora,
si S0 6= ∅, S0 6= {0}, y S0 no es base de V , entonces S0 contendrá un
elemento x1 no nulo, y por el inciso 6) del Ejemplo 1.1.22, {x1} es un con-
junto linealmente independiente. Si 〈{x1}〉 = V , hemos terminado, si no,
continuamos escogiendo vectores x2, ..., xr ∈ S0, de tal forma que el conjun-
to S = {x1, x2, ..., xr} es linealmente independiente, pero que al agregar a
S cualquier elemento x de S0 (que no esté en S), el conjunto S ∪ {x} sea
linealmente dependiente. Demostraremos que S es una base de V . Como S
es linealmente independiente, demostraremos que 〈S〉 = V . Por hipotesis
V = 〈S0〉 y por el Teorema 1.1.16, tenemos que 〈S0〉 es el subespacio de V
más pequeño que contiene a S0, de donde basta con ver que S0 ⊂ 〈S〉. Sea
x ∈ S0, luego si x ∈ S entonces x ∈ 〈S〉. Si x no está en S, entonces por
construcción de S, S ∪{x} es linealmente dependiente y por el Lema 1.1.29
x ∈ 〈S〉. De donde S0 ⊂ 〈S〉, y V = 〈S0〉 ⊂ 〈S〉. Por tanto V = 〈S〉 y S es
una base finita de V . �
Teorema 1.1.31 Sea V un espacio vectorial que tiene una base β con n
elementos y sea
S = {y1, y2, ..., ym} un subconjunto linealmente independiente de V con m
elementos, donde m ≤ n. Entonces, existe un subconjunto S1 de β que
contiene exactamente n−m elementos tales que S ∪ S1 genera a V .
Prueba: La demostración la haremos por inducción sobre m. Primero,
si m = 0, entonces S = ∅. De donde, S1 = β tiene n elementos. De
aqúı S ∪ S1 = ∅ ∪ β = β, base de V. Por tanto S ∪ S1 genera a V .
Supongamos ahora que el resultado es cierto para un conjunto S con m
elementos, con 0 6= m < n. Esto es, existe S1 subconjunto de β con n −m
elementos, tal que S ∪ S1 genera a V.
Demostraremos el resultado para un conjunto S con m + 1 elementos.
Sea S = {y1, ..., ym, ym+1}, un subconjunto linealmente independiente de
V , con m + 1 elementos, donde m + 1 ≤ n. Como S0 = {y1, ..., ym} ⊂
{y1, ..., ym, ym+1} = S y S es linealmente independiente, entonces por el
Corolario 1.1.24 tenemos que S0 = {y1, ..., ym} es linealmente independi-
ente. Aplicando la hipotesis de inducción tenemos que existe un subconjun-
to S1 de β con n − m elementos, S1 = {x1, ..., xn−m}, tal que S0 ∪ S1 =
{y1, ..., ym} ∪ {x1, ..., xn−m} es una base de V . De donde existen escalares
a1, ..., am, b1, ..., bn−m tales que ym+1 = a1y1 + ... + amym + b1x1 + ... +
1.1. ESPACIOS VECTORIALES 15
bn−mxn−m. De lo anterior, tenemos que algún bi 6= 0, pues si suponemos
que todos los bi, con i = 1, ..., n− m son nulos, entonces ym+1 = a1y1 +
... + amym, de donde S = {y1, ..., ym, ym+1} es linealmente dependiente, lo
cual es una contradicción a la suposición de que S es linealmente indepen-
diente. Aśı, podemos decir sin pérdida de generalidad, que b1 6= 0 de donde,
tenemos b1x1 = ym+1 − (a1y1 + ... + amym) − (b2x2 + ... + bn−mxn−m).
Por tanto, x1 = b−11 ym+1 − b
−1
1 (a1y1 + ... + amym) − (b
−1
1 (b2x2 + ... +
bn−mxn−m) = b−11 ym+1− (b
−1
1 a1)y1 + ...+(−b
−1
1 am)ym +(−b
−1
1 b2)x2 + ...+
(−b−11 bn−m)xn−m, de donde x1 ∈ 〈{y1, ..., ym, ym+1, x2, ..., xn−m}〉, pero co-
mo y1, ..., ym, x1, x2, ..., xn−m ∈ 〈{y1, ..., ym, ym+1, x2, ..., xn−m}〉. Por tanto,
〈{y1, ..., ym, ym+1} ∪ {x1, x2, ..., xn−m} ⊆ 〈{y1, ..., ym, ym+1, x2, ..., xn−m}〉.
Entonces escogiendo S1 = {x2, ..., xn−m}, tenemos que
y1, y2, ..., ym, x1, x2, ..., xn−m ∈ 〈{y1, ..., ym, ym+1, x1, x2, ..., xn−m}〉.
Y por el Teorema 1.1.16 tenemos que
〈{y1, ..., ym, x1, x2, ..., xn−m}〉 = V ⊂ 〈{y1, ..., ym, ym+1, x2, ..., xn−m}〉.
Por lo tanto V = 〈{y1, ..., ym, ym+1, x2, ..., xn−m}〉. �
El siguiente resultado muestra que todo subconjunto linealmente inde-
pendiente de n elementos de un espacio vectorial V que tenga una base β
con n elementos es una base de V .
Corolario 1.1.32 Sea V un espacio vectorial que tiene una base β con
exactamente n elementos. Entonces, cualquier subconjunto linealmente in-
dependiente de V que contenga exactamente n elementos es una base de V .
Prueba: Sea β = {x1, ..., xn} base de V . Supongamos que S es un sub-
conjunto linealmente independiente de V , tal que S = {y1, ..., yn} tiene
exactamente n elementos, por el Teorema 1.1.31, existe un subconjunto S1
de β con n− n elementos, tal que S ∪ S1 genera a V . Como S1 tiene n− n
elementos entonces S1 = ∅ y por tanto S ∪ S1 = S ∪ ∅ = S genera a V .
Por lo tanto S es base de V . �
16 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
El siguiente resultado acota la cardinalidad de un conjunto linealmente
independiente de un espacio vectorial V con β una base de V de n elementos.
Corolario 1.1.33 Sea V un espacio vectorial que tiene una base β con
exactamente n elementos. Entonces, cualquier subconjunto de V que con-
tenga más de n elementos es linealmente dependiente. Consecuentemente,
cualquier subconjunto de V linealmente independiente contiene como máxi-
mo n elementos.
Prueba: Supongamos que S es un subconjunto linealmente independiente
de V con más de n elementos. Sea S1 un subconjunto de S con exactamente
n elementos, entonces por el Corolario 1.1.24, S1 es linealmente independi-
ente y por el Corolario 1.1.32 tenemos que S1 es una base de V . Como S1 es
un subconjunto propio de S, podemos tomar al menos x ∈ S, tal que x no
está en S1, y como S1 es base, entonces 〈S1〉 = V , de donde x ∈ V = 〈S1〉.
Por el Lema 1.1.29 tenemos que S1 ∪ {x} es linealmente dependiente, pero
S1∪{x} ⊂ S de donde por la Proposición 1.1.23 S es linealmente independi-
ente, lo cual es una contradicción. Por lo tanto S es linealmente dependiente.
�
El siguiente Corolario nos permitirá definir el concepto de dimensión de
V , cuando V es un espacio vectorial con una base β que tiene n elementos.
Corolario 1.1.34 Sea V un espacio vectorial que tiene una base β con
exactamente n elementos. Entonces toda base de V contendrá exactamente
n elementos.
Prueba: Sea β una base de V y supongamos que S es otra base de V .
Como S es linealmente independiente, entonces por el Corolario 1.1.33, S
tendrá como máximo n elementos. Supongamos que S tiene m elementos,
de donde m 6 n. Por otro lado, S es una base con m elementos de V y
como β es un subconjunto linealmente independiente de V , entonces por
el Corolario 1.1.33, β tiene como máximo m elementos de donde n 6 m.
Luego m = n. Por tanto S tiene exactamente n elementos. �
1.1. ESPACIOS VECTORIALES 17
A continuación damos la definición de espacio dimensionalmente finito.
Definición 1.1.35 Un espacio vectorial V es de dimensión finita si tiene
una base que consta de un número finito de elementos. El número único de
elementos en cada base de V se llama dimensiónde V y lo denotaremos
por dim(V ). Si un espacio vectorial no es de dimensión finita, se le llama
de dimensión infinita.
El siguiente corolario nos permite ver que si un subconjunto S de un es-
pacio vectorial V genera a V y tiene a lo más n elementos donde n = dimV ,
entonces S es una base de V .
Corolario 1.1.36 Sea V un espacio vectorial de dimensión n, y sea S un
subconjunto de V que genera a V y contiene a lo más n elementos. Entonces,
S es una base para V, que contiene exactamente n elementos.
Prueba: Sea S un subconjunto de V tal que 〈S〉 = V y contiene a lo más n
elementos. Entonces por el Teorema 1.1.30 existe un subconjunto S1 de S
tal que S1 es una base de V . Aplicando el Corolario 1.1.34 tenemos | S1 |= n
y como S1 ⊂ S y | S |6 n, entonces n =| S1 |6| S |6 n. De donde S1 = S.
Por tanto S es una base de V . �
El siguiente corolario nos permite observar que si S es linealmente inde-
pendiente entonces S puede ser completado a una base.
Corolario 1.1.37 Sea β una base de un espacio vectorial V de dimensión
n y sea S un subconjunto linealmente independiente de V , que contiene m
elementos. Entonces, existe un subconjunto S1 de β tal que S ∪ S1 es una
base de V .
Prueba: Como V es de dimensión n, y β es base de V entonces | β |= n.
Sea S un subconjunto linealmente independiente con m elementos. Por el
18 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
Corolario 1.1.33 tenemos que m 6 n, y por el Teorema 1.1.31 entonces ex-
iste un subconjunto S1 de β con n −m elementos tal que S ∪ S1 genera a
V , de donde 〈S ∪ S1〉 = V y | S ∪ S1 |6 m + (n−m) = n. Por tanto, por el
Corolario 1.1.36, S ∪ S1 es base de V . �
El siguiente resultado muestra que todo subespacio vectorial de un es-
pacio vectorial dimensionalmente finito es de dimensión finita.
Teorema 1.1.38 Sea W un subespacio de un espacio vectorial V de dimen-
sión finita n. Entoncde W es de dimensión finita y dim(W ) 6 n. Además,
si dim(W ) = n entonces W = V .
Prueba: Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Si W = {0}, entonces
W es de dimensión finita y dim(W ) = 0 6 n. Si W es distinto de {0},
entonces existe un elemento no nulo x1 ∈W y por el inciso 6) del Ejemplo
1.1.22, {x1} es linealmente independiente. Si {x1} es base de W entonces
la dim({x1}) = dimW = 1 6 n. Si no 〈{x1}〉 es diferente de W , de donde
existe un 0 6= x2 en W \〈{x1}〉 y por el Lema 1.1.29, {x1, x2} es linealmente
independiente. Si {x1, x2} es base de W entonces dim({x1, x2}) = 2 6 n. Si
no, 〈{x1, x2}〉 es distinto de W , de donde existe x3 6= 0 en W \ 〈{x1, x2}〉,
tal que {x1, x2, x3} es linealmente independiente. Continuamos de esta man-
era, en general, si 〈{x1, ..., xr}〉 6= W consideramos xr+1 ∈ W \〈{x1, ..., xr}〉
de modo que {x1, ..., xi, xr+1} es linealmente independiente. Este proce-
so debe terminar a lo más cuando r = n, ya que cualquier subconjunto
de V que tenga más de n vectores es linealmente dependiente. Esto es,
W = 〈{x1, x2, ..., xr}〉. De donde W tiene una base finita con no más de n
elementos, es decir dim(W ) 6 n. Ahora si dim(W ) = n, entonces una base
δ para W , es un subconjunto linealmente independiente de V , con n ele-
mentos, y por el Corolario 1.1.32, δ es una base de V . Por lo tanto W = V . �
El siguiente resultado nos permite obtener la dimensión de la suma de
dos subespacios vectoriales de dimensión finita.
Teorema 1.1.39 Sean W1 y W2 subespacios vectoriales de dimensión finita
de un espacio vectorial V . Entonces W1 + W2 es de dimensión finita y
1.1. ESPACIOS VECTORIALES 19
dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2)− dim(W1 ∩W2).
Prueba: Por el Teorema 1.1.7 sabemos que W1∩W2 es un subespacio de V .
Además W1 ∩W2 es un subespacio vectorial del espacio vectorial de dimen-
sión finita W1. Entonces por el Teorema 1.1.38, W1 ∩W2 es de dimensión
finita, digamos que W1 ∩W2 tiene una base β0 = {x1, x2, ..., xr}. Además
cualquier base para W1∩W2 es un subconjunto de una base de W1. De donde,
por el Corolario 1.1.37, podemos encontrar un subconjunto β1 = {y1, ..., ys}
de W1 tal que β0∪β1 es una base de W1. Analogamente, podemos encontrar
β2 = {z1, ..., zm} base de W2 tal que β0∪β2 sea base de W2. Para demostrar
el teorema basta ver que β0∪β1∪β2 es una base de W1+W2 ya que entonces
tenemos que dim(W1+W2) =| β0∪β1∪β2 |= r+s+m = (r+s)+(r+m)−r =
| β0 ∪ β1 | + | β0 ∪ β2 | − | β0 |= dim(W1) + dim(W2)− dim(W1 ∩W2). De-
mostremos pues que β0∪β1∪β2 es una base de W1+W2. Primero veamos que
β0 ∪ β1 ∪ β2 = {x1, ..., xr, y1, ..., ys, z1, ..., zm} es linealmente independiente.
Supongamos que a1x1 + ...+arxr + b1y1 + ...+ bsys + c1z1 + ...+ cmzm = 0,
para algunos escalares a1, ..., ar, b1, ..., bs, c1, ..., cm. Sea v0 = a1x1 + ... +
arxr, v1 = b1y1 + ... + bsys, v2 = c1z1 + ... + cmzm. De aqúı tenemos
que v0 ∈ W1 ∩ W2, v1 ∈ W1 y v2 ∈ W2. Entonces expresando la igual-
dad anterior como v0 + v1 + v2 = 0, tenemos que v0 + v1 = −v2, luego
v0 + v1 ∈ W1 y −v2 ∈ W2, de donde −v2 ∈ W2 y −v2 ∈ W1, es decir
−v2 ∈ W1 ∩ W2. Como {x1, ..., xr} es base de W1 ∩ W2, entonces exis-
ten escalares d1, .., dr tales que −v2 = d1x1 + ... + drxr. Ahora tenemos
0 = v0+v1+v2 = (a1x1+...+arxr)+(b1y1+...+bsys)−(d1x1+...+drxr) =
(a1 − d1)x1 + ... + (ar − dr)xr + b1y1 + ... + bsys, de donde el 0 es combi-
nación lineal de elementos de β0 ∪ β1 que es linealmente independiente,
de donde a1 − d1 = ... = ar − dr = b1 = ... = bs = 0. Luego v1 = 0.
Entonces 0 = v0 + v1 + v2 = a1x1 + ... + arxr + c1z1 + ... + cmzm de
donde el 0 es combinación lineal de los elementos de β0 ∪ β2 que es lin-
ealmente independiente, y entonces a1 = ... = ar = c1 = ... = cm = 0.
Ahora como a1 = ... = ar = b1 = ... = bs = c1 = ... = cm = 0, entonces
β0 ∪ β1 ∪ β2 es un conjunto linealmente independiente. Ahora veamos que
β0 ∪ β1 ∪ β2 genera a W1 + W2. Como β0 ∪ β1 es base de W1, entonces
〈β0 ∪ β1〉 = W1 y β0 ∪ β2 es base de W2, entonces 〈β0 ∪ β2〉 = W2. Pero
〈β0 ∪ β1 ∪ β2〉 = 〈(β0 ∪ β1)∪ (β0 ∪ β2)〉 = 〈β0 ∪ β1〉+ 〈β0 ∪ β2〉 = W1 + W2.
Por lo tanto β0 ∪ β1 ∪ β2 es base de W1 + W2. �
20 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
El siguiente corolario nos muestra una manera de detectar si una suma
es directa a partir de la relación que existe entre la dimensión del espacio
vectorial y la dimensión de los subespacios que lo conforman.
Corolario 1.1.40 Sean W1 y W2 subespacios de dimensión finita de V
tales que V = W1 + W2. Luego, V es la suma directa interna de W1 y W2
si y solo si dim(V ) = dim(W1) + dim(W2).
Prueba: Si V = W1 ⊕W2, entonces W1 ∩W2 = {0} y W1 + W2 = V , de
donde dim(V ) = dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2)− dim(W1 ∩W2) =
dim(W1) + dim(W2)− dim({0}) = dim(W1) + dim(W2)− 0 = dim(W1) +
dim(W2). Supongamos ahora que dim(V ) = dim(W1)+dim(W2), entonces,
por el Teorema 1.1.39, dim(W1 ∩W2) = 0, de donde W1 ∩W2 = {0} y por
tanto V = W1 ⊕W2. �
1.2. Transformaciones lineales
En esta sección consideraremos a aquellas funciones definidas en espa-
cios vectoriales que permiten conservar la estructura de espacio vectorial.
Estas funciones son llamadas “transformaciones lineales”.
Definición 1.2.1 Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F . Una
función T : V → W se llama transformación lineal de V en W si para
todas x, y en V y c ∈ F tenemos que:
1) T (x + y) = T (x) + T (y),
2) T (cx) = cT (x).
En adelante, por simplicidad, diremos únicamente que T es lineal.
Ejemplo 1.2.2 Consideremos los siguientes ejemplos:
1.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 21
1) Sea T : P2(R) → R, dada por T (p(x)) = p(1/2). Veamos que T es
una transformación lineal. Sean p1(x), p2(x), dos polinomios de grado
menor o igual a dos con coeficientes en los reales. Entonces T (p1(x)+
p2(x)) = T ((p1 +p2)(x)) = (p1 +p2)(1/2), y por otro lado, T (p1(x))+
T (p2(x)) = p1(1/2) + p2(1/2) = (p1 + p2)(1/2). Ahora T (c(p1(x))) =
T (cp1(x)) = cp1(1/2) y cT (p1(x)) = c(p1(1/2)) = cp1(1/2).
2) Sea T : R2 → R2 una función, tal que manda a cada vector (x, y) en su
simétrico con respecto de la recta y = −x, es decir T (x, y) = (−x,−y).
Entonces T es una transformación lineal.
La siguiente proposición enuncia las propiedades másimportantes de
una transformación lineal.
Proposición 1.2.3 Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V →W una
función entonces tenemos:
1) Si T es lineal, entonces T (0V ) = 0W .
2) T es lineal si y sólo si T (ax + y) = aT (x) + T (y).
3) T es lineal si y sólo si para x1, ..., xn ∈ V y a1, ..., an ∈ F tenemos
que T (
∑n
i=1 aixi) =
∑n
i=1 aiT (xi).
Prueba: Demostremos el primer inciso. Como T es lineal entonces T (0V ) =
T (0V + 0V ) = T (0V ) + T (0V ). Como 0W = T (0V ) − T (0V ) = T (0V ) +
(T (0V )−T (0V )) = T (0V ). Por tanto, T (0V ) = 0W . Supongamos ahora que
T es lineal, entonces T (ax + y) = T (ax) + T (y) = aT (x) + T (y). Supong-
amos finalmente que T (ax + y) = aT (x) + T (y), tomando y = 0 y a = 1
respectivamente concluimos que T es lineal. El inciso 3) se sigue del inciso
2) por inducción. �
A continuación definimos la función proyección sobre un subespacio vec-
torial de un espacio vectorial V .
22 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
Definición 1.2.4 Sea V un espacio vectorial y W1 un subespacio de V .
Una función T : V → V se llama proyección sobre W1, si las siguientes
dos condiciones se satisfacen:
1) Existe un subespacio W2 de V tal que V = W1 ⊕W2.
2) Para x ∈ V , tal que x = x1 + x2, donde x1 ∈W1 y x2 ∈W2, tenemos
T (x) = x1.
Proposición 1.2.5 Sea T : V → V una función proyección sobre W1.
Entonces T es lineal y además W1 = {x ∈ V : T (x) = x}.
Prueba: Veamos que T es lineal. Sean x = x1 + x2 y x′ = x′1 + x
′
2 con
x1, x
′
1 ∈W1 y x2, x′2 ∈W2 y c ∈ F , entonces x + x′ = (x1 + x′1) + (x2 + x′2).
Entonces T (x+x′) = x1+x′1 = T (x)+T (x′). Ahora T (cx) = T (c(x1+x2)) =
T (cx1 + cx2) = cx1 = cT (x). Por tanto T es lineal. Veamos ahora que
W1 = {x ∈ V : T (x) = x}. Sea x ∈ W1 ⊂ V , entonces x = x1 + 0 con
x1 ∈W1 y 0 ∈W2, de donde T (x) = x. Sea V ′ = {x ∈ V : T (x) = x} luego
x ∈ V ′ y como x ∈ V , entonces x = x1 + x2, x1 ∈ W1 y x2 ∈W2. De donde
x = T (x) = x1. Por tanto x = x1 ∈ W1. Por lo tanto W1 = V ′. �
Ejemplo 1.2.6 Consideremos el espacio vectorial V = M2×2(R) y T :
M2×2(R)→M2×2(R) la proyección sobre el subespacio vectorial
W1 =
〈{ (
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
) }〉
=
{(
a b
0 0
)
: a, b ∈ R
}
.
Con W2 =
〈{ (
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
) }〉
=
{(
0 0
c d
)
: c, d ∈ R
}
.
Es decir, si A =
(
a b
c d
)
, T (A) =
(
a b
0 0
)
Proposición 1.2.7 Existen tantas proyecciones sobre W1, como subespa-
cios W2 que satisfacen V = W1 ⊕W2.
1.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 23
Prueba: Sean W2, W ′2 subespacios de V tales que V = W1⊕W2 = W1⊕W ′2
con T y U las proyecciones correspondientes, es decir:
T (x) = x1 si x = x1 + x2 con x1 ∈W1, x2 ∈ W2
U (x) = x′1 si x = x
′
1 + x
′
2 con x
′
1 ∈ W1, x2 ∈W2
Supongamos T = U . Sean x2 ∈ W2, x1 ∈ W1. Consideremos x =
x1 + x2 ∈ W1 ⊕ W2. Sabemos que x ∈ V = W1 ⊕ W ′2, entonces existen
x′1, x
′
2 tales que x = x
′
1 + x
′
2. Como x1 = T (x) = U (x) = x
′
1, entonces
x1 = x′1, por lo cual x2 = x′2 y aśı x2 ∈ W ′2. Hemos probado entonces que
W2 ⊆W ′2. Análogamente W ′2 ⊆ W2. �
A continuación definiremos los conceptos de espacio nulo y de rango de
una tranformación lineal. Estos conceptos son fundamentales en la teoŕıa
de las transformaciones lineales.
Definición 1.2.8 Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V → W lin-
eal. Definimos al espacio nulo o Kernel de T , Ker(T ), como el conjunto
de todos los vectores x en V tales que T (x) = 0, es decir Ker(T ) = {x ∈
V : T (x) = 0}. Definimos el rango de T , R(T ), como el subconjunto de
W que consta de todas las imagenes bajo T de los elementos de V , es decir
R(T ) = {T (x) : x ∈ V }.
Ejemplo 1.2.9 Sea V un espacio vectorial, W1 un subespacio de V y sea T
una proyección sobre W1 con W2 tal que V = W1⊕W2. Entonces W1 = R(T )
y W2 = Ker(T ).
Veamos que el Ker(T ) y el rango de T una transformación lineal son
subespacios vectoriales de V .
Teorema 1.2.10 Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W lineal.
Entonces Ker(T ) y R(T ) son subespacios vectoriales de V y W respectiva-
mente.
24 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
Prueba: Veamos que Ker(T ) es subespacio de V . Sea 0V ∈ V , entonces
por la Proposición 1.2.3, T (0V ) = 0W . Entonces 0V ∈ Ker(T ). Sean x, y ∈
Ker(T ) entonces T (x) = 0W , T (y) = 0W . Pero también x + y ∈ V y T
es lineal, entonces T (x + y) = T (x) + T (y) = 0W + 0W = 0W . Por tanto
x + y ∈ Ker(T ). Sea además c ∈ F , entonces T (cx) = cT (x) = c0W = 0W ,
de donde cx ∈ Ker(T ). Por lo tanto el Ker(T ) es un subespacio de V .
Veamos ahora que R(T ) es subespacio de W . Como T (0V ) = 0W , en-
tonces 0W ∈ R(T ). Sean v, w ∈ R(T ). Entonces existen x, y ∈ V tales
que T (x) = v, T (y) = w. Aśı T (x + y) = T (x) + T (y) = v + w. Por tanto,
v + w ∈ R(T ). Además sea c ∈ F , entonces T (cx) = cT (x) = cv. De donde
cv ∈ R(T ). Por lo tanto R(T ) es un subespacio de W . �
Definición 1.2.11 Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V → W
lineal. Si Ker(T ) y R(T ) son de dimensión finita, entonces definimos la
nulidad de T , expresada como nulidad(T ), y el rango de T , expresado por
rango(T ), como las dimensiones de Ker(T ) y R(T ) respectivamente.
El siguiente resultado establece la relación que hay entre el rango y la
nulidad de T con la dimensión del espacio vectorial V .
Teorema 1.2.12 Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V →W lineal.
Si V es de dimensión finita, entonces nulidad(T ) + rango(T ) = dim(V ).
Prueba: Supongamos que dim(V ) = n. Por el Teorema 1.1.38 y por el Teo-
rema 1.2.10 tenemos que Ker(T ) es un subespacio vectorial de V dimen-
sionalmente finito. Supongamos que γ = {x1, ..., xk} es una base de Ker(T ).
Por el Corolario 1.1.37 tenemos que γ es un subconjunto de una base β de
V . Si γ = β entonces nulidad(T ) = dim(V ) y por el Teorema 1.1.31 ten-
emos Ker(T ) = V , de donde R(T ) = {0W } y por lo tanto rango(T ) = 0,
lo cual prueba el resultado. Ahora, si γ ( β = {x1, ..., xk, xk+1, ..., xn},
entonces veamos que S = {T (xk+1), ..., T (xn)} es base de R(T ). Veamos
primero que S genera a R(T ). Sea y ∈ R(T ), entonces existe x ∈ V
tal que T (x) = y. Como β es base de V , entonces tenemos que x =
a1x1+ ...+anxn =
∑n
i=1 aixi para algunas ai ∈ F . De donde, como T es lin-
1.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 25
eal, y = T (x) = T (
∑n
i=1 aixi) =
∑n
i=1 aiT (xi) =
∑n
i=k+1 aiT (xi). Por tan-
to y es combinación lineal de S (pues T (xi) = 0 si 1 6 i 6 k), esto es y ∈ 〈S〉
y S genera a R(T ). Veamos ahora que S es linealmente independiente.
Supongamos que
∑n
i=k+1 biT (xi) = 0 para bk+1, ..., bn ∈ F . Como T es lin-
eal tenemos que
∑n
i=k+1 biT (xi) =
∑n
i=k+1 T (bixi) = T (
∑n
i=k+1 bixi) = 0,
entonces
∑n
i=k+1 bixi ∈ Ker(T ), por lo que existen c1, ..., ck ∈ F tales que∑n
i=k+1 bixi −
∑k
i=1 cixi = 0, pero como β es base de V , tenemos que β es
linealmente independiente de donde ci = bi = 0 para todo i. En particular
bk+1 = ... = bn = 0. Por tanto S es linealmente independiente. Por lo tanto
S es base de R(T ) de donde nulidad(T ) + rango(T ) = dim(V ). Por último,
si γ = ∅ entonces se prueba de manera análoga que S = {T (x1), ..., T (xn)}
es una base de R(T ). �
El siguiente resultado caracteriza a las transformaciones lineales inyec-
tivas.
Teorema 1.2.13 Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V →W lineal.
Entonces T es inyectiva si y sólo si Ker(T ) = {0V }
Prueba: Supongamos primero que T es inyectiva. Sea x ∈ Ker(T ), en-
tonces T (x) = 0, pero por otra parte sabemos que T (0V ) = 0W , de donde
0W = T (0V ) = T (x) y como T es inyectiva entonces x = 0V . Por tanto
Ker(T ) = {0V }. Ahora supongamos que Ker(T ) = {0V } y supongamos
que T (x) = T (y). De donde T (x)−T (y) = 0W y como T es lineal, entonces
T (x) − T (y) = T (x − y) = 0W de aqúı que x − y ∈ Ker(T ) = {0}, luego
x− y = 0 implica x = y. Por lo tanto T es inyectiva. �
Teorema 1.2.14 Sean V y W espacios vectoriales de dimensiones iguales
y finitas, y sea T : V →W lineal. Entonces T es inyectiva si y sólo si T es
suprayectiva.
Prueba: Supongamos que T es inyectiva, de donde Ker(T ) = {0V } esto esnulidad(T ) = 0 y por el Teorema 1.2.12 tenemos que rango(T ) = dim(V ) =
dim(W ). Por el Teorema 1.2.10 R(T ) es un subespacio de W , por el Teo-
rema 1.1.38 la igualdad anterior es equivalente a que R(T ) = W . Por tanto
26 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
T es suprayectiva. La demostración de la proposición rećıproca es análoga. �
El siguiente resultado es muy importante en la Teoŕıa de Transfoma-
ciones Lineales.
Teorema 1.2.15 Sean V y W espacios vectoriales y supongamos que V es
de dimensión finita con una base β = {x1, ..., xn}. Entonces para cualquier
subconjunto {y1, ..., yn} de W existe una única transformación lineal T :
V →W tal que T (xi) = yi para i = 1, ..., n.
Prueba: Supongamos que γ = {y1, ..., yn} es un subconjunto arbitrario
de W . Sea x ∈ V , entonces x =
∑
aixi donde ai son escalares únicos.
Definamos ahora T : V → W , dada por T (x) =
∑n
i=1 aiyi. Nótese que T
está bien definida pues β es base de V . Veamos que T es lineal. Supongamos
que u, v ∈ V y d ∈ F , entonces u =
∑n
i=1 bixi y v =
∑n
i=1 cixi. Por otra
parte du + v = d(
∑n
i=1 bixi) +
∑n
i=1 cixi =
∑n
i=1(dbi + ci)xi ∈ V , entonces
T (du + v) =
∑n
i=1(dbi + ci)yi = d(
∑n
i=1 biyi) +
∑n
i=1 ciyi = dT (u) + T (v).
Por lo tanto, T es lineal. De la definición de T tenemos que T (xi) = yi para
i = 1, .., n. Finalmente veamos que T es única. Supongamos que existe otra
función U : V →W lineal tal que U (xi) = yi, i = 1, ..., n. Entonces si x ∈ V
tenemos que x =
∑n
i=1 aixi de donde U (x) =
∑n
i=1 aiU (xi) =
∑n
i=1 aiyi =
T (x). Por lo tanto U = T . �
Definición 1.2.16 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Una
base ordenada para V es una base para V , establecida con un orden es-
pećıfico. Es decir una base ordenada para V es una sucesión finita de ele-
mentos de V linealmente independientes que generan a V .
Ejemplo 1.2.17 Sea V un espacio vectorial tal que β = {x1, x2, x3} es
una base ordenada de V . Entonces γ = {x2, x1, x3} es también una base
ordenada de V , pero como bases ordenadas β 6= γ.
Definición 1.2.18 Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita
con bases ordenadas β = {x1, ..., xn} y γ = {y1, ..., ym}, respectivamente.
1.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 27
Sea T : V → W lineal, entonces existen escalares únicos aij ∈ F , con
i = 1, ..., m y j = 1, ..., n, tales que T (xj) =
∑m
i=1 aijyi, para 1 6 j 6 n.
Llamaremos a la matriz A de m × n, definida mediante Aij = aij, la ma-
triz asociada a T en las bases ordenadas β y γ; y la escribiremos A = [T ]γβ.
Ejemplo 1.2.19 Veamos algunos ejemplos de la matriz asociada.
1) Sea T : P3(R)→ P2(R) definida por T (f) = f ′. Sean β = {1, x, x2, x3}
y γ = {1, x, x2} bases ordenadas para P3(R) y P2(R) respectivamente.
Entonces
T (1) = 0 • 1 + 0 • x + 0 • x2
T (x) = 1 • 1 + 0 • x + 0 • x2
T (x2) = 0 • 1 + 2 • x + 0 • x2
T (x3) = 0 • 1 + 0 • x + 3 • x2
Y aqúı se tiene [T ]γβ =


0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3


Observemos que los coeficientes de T (xi) cuando éste se escribe como
una combinación de elementos de γ son los elementos de la columna
i-ésima.
2) Sean β y γ las bases ordenadas estándar para R2 y R3, respectiva-
mente.
Sea T : R2 → R3 la transformación lineal definida mediante T (a1, a2) =
(2a1 − a2, 3a1 + 4a2, a1). Entonces se tiene T (1, 0) = (2, 3, 1) = 2e1 +
3e2 + 1e3 y T (0, 1) = (−1, 4, 0) = −1e1 + 4e2 + 0e3.
Por lo tanto la matriz asociada de T con respecto a las bases β y γ
es: [T ]γβ =


2 −1
3 4
1 0

 .
Caṕıtulo 2
Anillos
El estudio del caṕıtulo anterior nos permitió recordar los conceptos
básicos de la teoŕıa de espacios vectoriales y transformaciones lineales. En
este segundo caṕıtulo, nuestro objetivo principal es desarrollar la teoŕıa de
anillos e ideales. Algunos de los resultados más importantes son el Teorema
de la Correspondencia y los Teoremas de Isomorfismo. Este caṕıtulo nos
permitirá comprender de manera factible la estructura de las K-álgebras,
desarrollada a lo largo del caṕıtulo 3.
2.1. Anillos
En esta sección enunciamos el concepto de anillo asociativo con unidad
y probamos algunas de sus principales propiedades.
Definición 2.1.1 Un anillo asociativo (R, +, •) consta de un conjunto R
diferente del vaćıo, y dos operaciones binarias definidas en R, que llamamos
adición y multiplicación, denotadas por + y • respectivamente, tales que:
1) (R, +) es un grupo abeliano,
29
30 CAPÍTULO 2. ANILLOS
2) (R, •) es un semigrupo,
3) Para todo a, b, c ∈ R se satisfacen a • (b + c) = a • b + a • c y
(a+b)•c = a•c+b•c. Es decir, se satisfacen las dos leyes distributivas.
Aquellos anillos R que no satisfacen la propiedad asociativa con la op-
eración multiplicación, se les conoce como anillos no-asociativos. En este
trabajo consideraremos únicamente anillos asociativos y nos referiremos a
ellos sólo como anillos.
Definición 2.1.2 Sea (R, +, •) un anillo. Si a•b = b•a, para todo a, b ∈ R,
entonces se dice que R es un anillo conmutativo.
Ejemplo 2.1.3 Consideremos los siguientes ejemplos:
1) (Z, +, •), donde Z es el conjunto de los números enteros, con las op-
eraciones de suma y multiplicación usuales, es un anillo conmutativo.
2) Sea 2Z = {2a : a ∈ Z}, (2Z, +, •) con las operaciones de adición y
multiplicación usuales, es un anillo conmutativo.
3) (Q, +, •), donde Q es el conjunto de los números racionales, con las
operaciones de suma y multiplicación usuales, es un anillo conmuta-
tivo.
4) (R, +, •), donde R es el conjunto de los números reales con las opera-
ciones de suma y multiplicación usuales, es un anillo conmutativo.
5) (Mn×n(R), +, •), donde Mn×n(R) es el conjunto de las matrices de n×
n con coeficientes en R, con las operaciones de suma y multiplicación
usuales, es un anillo.
6) (Zn, +, •), donde Zn = {0, 1, ..., n− 1} es el conjunto de las clases
residuales módulo n, es un anillo conmutativo.
2.1. ANILLOS 31
7) El anillo trivial consiste del anillo cuyo único elemento es el neutro
aditivo 0 y cuyas operaciones están dadas por 0 + 0 = 0 y 0 • 0 = 0.
8) Sea X un conjunto y P (X) el conjunto potencia de X, entonces (P (X), +, •)
es un anillo conmutativo. Donde, para A, B ⊂ X se tienen que A+B =
A4B = (A−B)∪(B−A) y A•B = A∩B. Dicho anillo lo denotaremos
por (P (X),4,∩).
9) Sea X un conjunto diferente del vaćıo y (R, +, •) un anillo. Denotamos
por (fun(X, R) = {f : f : X → R}, +,×) al anillo de las funciones
de X en R, donde (f + g)(x) = f(x) + g(x) y (f × g)(x) = f(x) • g(x)
para todo x ∈ X.
Dado un anillo (R, +, •), algunas veces, lo denotaremos simplemente por
R. Además escribiremos ab en lugar de a • b. Más aún, denotaremos por −a
al inverso de a y por a− b, a la suma de a + (−b).
Teorema 2.1.4 Si R es un anillo, entonces para toda a, b ∈ R tenemos:
1) a0 = 0a = 0;
2) a(−b) = (−a)(b) = −(ab);
3) (−a)(−b) = ab.
Prueba:
1) Sabemos que a0+0 = a0 = a(0+0) = a0+a0, de donde −(a0)+(a0+
0) = −(a0) + (a0 + a0), esto es [−(a0) + a0] + 0 = [−(a0) + a0] + a0
y por tanto 0 = a0. Análogamente 0a=0.
2) Para probar que a(−b) = (−a)(b) = −(ab), mostraremos que ab +
(a)(−b) = 0, y dado que el inverso aditivo de ab, esto es −(ab), es el
único elemento tal que ab + (−ab) = 0 tendremos el resultado. Ahora
bien, ab + a(−b) = a[b + (−b)] = a0 = 0, esto último, por el inciso 1).
Análogamente se prueba que (−a)b = −(ab).
32 CAPÍTULO 2. ANILLOS
3) Por el inciso 2), tenemos que (−a)(−b) = −[a(−b)] = −[−(ab)]. Dado
que −[−(ab)] es el único elemento tal que −[−(ab)] + [−(ab)] = 0 y
como también tenemos que ab+[−(ab)] = 0, entonces ab = −[−(ab)] =
(−a)(−b).
�
A continuación damos la definición de anillo con identidad o con unidad.
Definición 2.1.5 Sea (R, +, •) un anillo:
1) Una identidad multiplicativa en R, es un elemento 1 ∈ R que
satisface 1a = a1 = a para todo a ∈ R,
2) Si R es un anillo con una identidad multiplicativa, se dice que R es
un anillo con identidad, o bien un anillo con unidad.
El siguiente resultado nos muestra que el elemento identidad de un anillo
con unidad es único.
Teorema2.1.6 Si R es un anillo con identidad entonces la identidad mul-
tiplicativa es única.
Prueba: Sea (R, +, •) un anillo y sea 1 ∈ R una identidad multiplicativa.
Supongamos que existe 1′ ∈ R, otra identidad multiplicativa. Entonces ten-
emos, 1•1′ = 1′ pues 1 es identidad multiplicativa y por otro lado, 1•1′ = 1
pues 1′ es identidad multiplicativa. Por tanto 1′ = (1)(1′) = 1. �
A partir de ahora llamaremos a la identidad multiplicativa de un anillo
R simplemente identidad y la denotaremos por 1R o bien por 1.
Teorema 2.1.7 Si R es un anillo con identidad entonces:
2.1. ANILLOS 33
1) (−1)(a) = −a, para toda a ∈ R.
2) (−1)(−1) = 1.
Prueba:
1) Supongamos que R tiene elemento identidad. Como R es en particular
un grupo abeliano con la operación suma, se tiene que para cada a ∈ R
existe un único elemento −a ∈ R, tal que a + (−a) = 0. Probaremos
pues que a + (−1)a = 0. De donde por la unicidad tendremos que
(−1)a = −a. Tenemos a+(−1)a = 1a+(−1)a = [1+(−1)]a = 0a = 0.
2) El inciso 2) es un caso particular del inciso 1).
�
Definición 2.1.8 Sea R un anillo con identidad. Un elemento a ∈ R se
dice que es invertible, si a tiene un inverso multiplicativo por ambos la-
dos. Es fácil ver que el inverso multiplicativo de a, cuando éste existe, es
único y se denota por a−1. Denotaremos por R∗ al conjunto de todos los
elementos invertibles de un anillo con unidad R.
Ejemplo 2.1.9 Consideremos los siguientes ejemplos:
1) (R, +, •), es un anillo con unidad. Entonces R∗ = R− {0},
2) (Zn, +, •), es un anillo con unidad, 1. Además, si n es un número
primo entonces Z∗n = Zn − {0}.
3) (Q, +, •), es un anillo con unidad. Además Q∗ = Q− {0}
4) El anillo (P (X),4,∩) es un anillo conmutativo con identidad, donde
1 = X pues X ∩A = A ∩X = A. Además P (X)∗ = {X}.
34 CAPÍTULO 2. ANILLOS
El siguiente resultado muestra que el conjunto R∗, de un anillo con
unidad, es un grupo con la operación multiplicación de R.
Proposición 2.1.10 Sea (R, +, •) un anillo con unidad. Entonces (R∗, •)
es un grupo. Se le conoce como el grupo de los elementos invertibles de R.
Prueba: Como 1 • 1 = 1, entonces 1−1 = 1 ∈ R∗ de donde, R∗ 6= ∅. Si
a, b ∈ R∗ entonces (ab)−1 = b−1 • a−1 de donde ab ∈ R∗. Además existe
1 ∈ R∗ tal que 1 • a = a • 1 = a, para toda a ∈ R∗. Por último, para toda
a ∈ R∗, existe a−1 ∈ R∗ tal que a • a−1 = a−1 • a = 1. �
Corolario 2.1.11 Sea R un anillo con identidad. Si R no es el anillo triv-
ial, entonces los elementos 0 y 1 son distintos.
Prueba: Como R 6= {0}, existe un elemento no cero a ∈ R. Si suponemos
que 0 y 1 son iguales, se sigue que a = a • 1 = a • 0 = 0. De donde a = 0, lo
cual es una contradicción. Por tanto 0 y 1 son distintos. �
A partir de ahora supondremos que los anillos son distintos del anillo
trivial. De donde, por el corolario anterior supondremos que cualquier anillo
con identidad contiene más de un elemento. Es decir, descartamos el hecho
de que 0 y 1 sean iguales.
Definición 2.1.12 Sea (R, +, •) un anillo y sea S un subconjunto no vaćıo
de R. Si el sistema (S, +, •) es un anillo (con las operaciones inducidas de
R) entonces se dice que (S, +, •) es un subanillo de (R, +, •).
Si (S, +, •) es un subanillo de (R, +, •), entonces tenemos que (S, +) es
un subgrupo de (R, +) y que (S, •) es un subsemigrupo de (R, •). Además
las dos leyes distributivas se cumplen en S, dado que ellas se cumplen en R.
Rećıprocamente, si (S, +) es un subgrupo de (R, +) y (S, •) es un subsemi-
grupo de (R, •), entonces el sistema (S, +, •) es un subanillo de (R, +, •).
2.1. ANILLOS 35
De donde tenemos el siguiente resultado:
Proposición 2.1.13 El sistema (S, +, •) es un subanillo del anillo (R, +, •)
si y solamente si se satisfacen las siguientes dos condiciones:
1) (S,+) es un subgrupo de (R, +);
2) el conjunto S es cerrado bajo la operación multiplicación, de R.
Definición 2.1.14 Diremos que un subanillo S de R, es un subanillo pro-
pio de R si S 6= R.
Ejemplo 2.1.15 Consideremos los siguientes ejemplos:
1) Sea R un anillo, entonces {0} y R son subanillos de R, y se les conoce
como los subanillos triviales. Cualquier otro subanillo de R es llamado
no trivial.
2) El anillo (R, +, •), donde R es el anillo de los números reales, tiene
como subanillos a (Q, +, •) y a (Z, +, •).
3) Sea Z el anillo de los números enteros. Se tiene que 2Z es un subanillo
que no contiene al elemento identidad de Z.
A continuación definimos una clase especial de anillos.
Definición 2.1.16 Un anillo R se dice que es un anillo con división si
sus elementos distintos de cero forman un grupo bajo la operación multipli-
cación. Es decir, si R∗ = R− {0}.
36 CAPÍTULO 2. ANILLOS
Ejemplo 2.1.17 Consideremos algunos ejemplos de anillos con división.
1) R, el conjunto de los números reales, es un anillo con división.
2) C, el conjunto de los números complejos, es un anillo con división.
3) Q, el conjunto de los números racionales, es un anillo con división.
Como hemos visto, dado un anillo R, éste no necesariamente satisface la
propiedad conmutativa con la operación multiplicación. Por ello es intere-
sante definir el centro de R.
Definición 2.1.18 Sea R un anillo, definimos el centro de R, como el
conjunto
cent(R) = {a ∈ R : ar = ra, para todo r ∈ R}.
Ejemplo 2.1.19 Veamos algunos ejemplos
1) Si R es un anillo conmutativo entonces cent(R) = R.
2) Si 1 ∈ R entonces 1 ∈ cent(R), ya que 1 • a = a • 1 = a para todo
elemento a ∈ R. Además 0 ∈ cent(R) ya que 0 • a = a • 0 = 0, para
todo elemento a ∈ R.
Del ejemplo anterior tenemos que el cent(R) es diferente del vaćıo ya
que 0 ∈ cent(R).
Teorema 2.1.20 Para todo anillo R, el conjunto cent(R) es un subanillo
de R.
Prueba: Sabemos que 0 ∈ cent(R), de donde cent(R) 6= ∅. Además, sean
a, b ∈ cent(R) y r ∈ R. Entonces (a − b)r = ar − br = ra − rb = r(a − b),
2.1. ANILLOS 37
de donde a− b ∈ cent(R). Por otra parte (ab)r = a(br) = a(rb) = (ar)b =
(ra)b = r(ab), de donde ab ∈ cent(R). Por la Proposición 2.1.13, se tiene
que cent(R) es un subanillo de R. �
Definición 2.1.21 Si R es un anillo, n es un entero positivo y a ∈ R,
definimos a1 = a y an = an−1 • a.
De la definición anterior se sigue que se cumplen las leyes de los expo-
nentes, esto es, an • am = an+m y (an)m = anm, para todo n, m ∈ Z+.
De igual manera tenemos que si a, b conmutan, entonces (ab)n = an • bn,
para todo n ∈ Z+. Además si 1 ∈ R y a−1 existe, entonces tenemos que
a−n = (a−1)n, para todo n ∈ Z+. Por convención diremos que a0 = 1, de
donde la expresión an está definida para todo n ∈ Z.
Definición 2.1.22 Si R es un anillo, n ∈ Z y a ∈ R, definimos 1 • a = a
y n • a = (n− 1)a + a.
Definición 2.1.23 Sea R un anillo arbitrario. Si existe un entero positivo
n tal que na = 0 para todo a ∈ R, entonces al entero positivo más pequeño
con esta propiedad se le conoce como la caracteŕıstica del anillo. Si no
existe tal entero (es decir si n = 0 es el único entero para el cual na = 0,
para todo a ∈ R), se dice que R es de caracteŕıstica cero. Escribiremos
char(R) para la caracteŕıstica de R.
Ejemplo 2.1.24 Veamos algunos ejemplos.
1) Los anillos R, Q y Z son de caracteŕıstica cero.
2) (P (X),4,∩) el anillo de todos los subconjuntos de X es de carac-
teŕıstica 2, ya que 2A = A4A = (A\A) ∩ (A\A) = ∅, para cada
A ⊂ X.
38 CAPÍTULO 2. ANILLOS
3) (Z5, +, •) es un anillo de caracteŕıstica 5, pues 1+1+1+1+1 = 5 = 0.
El siguiente resultado nos facilita el cálculo de la caracteŕıstica de un
anillo R con unidad.
Teorema 2.1.25 Si R es un anillo con unidad 1. Entonces R tiene carac-
teŕıstica n > 0 si y sólo si n es el menor entero positivo para el cual n1 = 0.
Prueba: Si char(R) = n > 0 entonces na = 0 para cada a ∈ R. En particular
n1 = 0. Si m1 = 0 con 0 < m < n, entonces ma = m(1a) = (m1)a = 0a = 0
para cada elemento a ∈ R, de donde char(R) < n, lo cual es una contradic-
ción. Rećıprocamente, si n1 = 0 y n es el menor entero positivo para el cual
n1 = 0, entonces na = n(1a) = (n1)a = 0. Si ma = 0 con 0 < m < n para
todo a ∈ R, entoncesen particular m1 = 0. Lo cual es una contradicción. �
2.2. Dominios Enteros y Campos
En esta sección enunciamos los conceptos de dominio entero y de campo,
y probamos algunas de las propiedades más importantes de éstos.
Definición 2.2.1 Sea R un anillo y a 6= 0 un elemento de R. Entonces:
1) se dice que a es un divisor izquierdo del cero si existe algún b 6= 0
en R tal que ab = 0;
2) se dice que a es un divisor derecho del cero si existe algún b 6= 0
en R tal que ba = 0;
3) decimos que a es un divisor del cero si a es tanto divisor derecho
como izquierdo del cero.
2.2. DOMINIOS ENTEROS Y CAMPOS 39
Ejemplo 2.2.2 Consideremos algunos ejemplos:
1) Sea R un anillo con unidad 1. Entonces 1 no es un divisor de cero
pues 1 • a = a, para toda a ∈ R.
2) En el anillo (Z6, +, •), las clases residuales 3 y 2 son divisores del
cero.
3) El anillo Zn, con n > 1 un número compuesto, es un anillo con divi-
sores de cero.
Nótese que en los anillos que no tienen divisores del cero tenemos que:
ab = 0 implica que a = 0 ó b = 0. La importancia del concepto de divisor
de cero se muestra en el siguiente teorema.
Teorema 2.2.3 Un anillo R es un anillo sin divisores de cero si y sola-
mente si satisface las leyes de cancelación para la multiplicación. Esto es,
para todo a, b, c ∈ R, si ab = ac o ba = ca, con a 6= 0, entonces b = c.
Prueba: Supongamos que R no tiene divisores del cero. Sea ab = ac con
a 6= 0. Entonces el producto a(b − c) = 0, de donde b − c = 0. Por tan-
to b = c. Ahora supongamos que R satisface las leyes de la cancelación y
supongamos que ab = 0 con a 6= 0. Entonces tenemos que ab = a0 = 0, de
donde b = 0. Análogamente para ba = 0. �
Cabe mencionar, que hay casos en que tanto el anillo R como un suban-
illo S, poseen elemento identidad, pero que estos elementos identidad son
distintos. En este caso, el elemento identidad del subanillo S, es necesari-
amente un divisor del cero en el anillo R. Veamos la justificación de lo
anterior. Sea 1′ 6= 0, el elemento identidad de un subanillo S de R y tal
que 1′ no es el elemento identidad del anillo R. Es decir existe un elemento
a ∈ R tal que a1′ 6= a. Por otro lado, (a1′)1′ = a(1′1′) = a1′. Por tanto
tenemos, (a1′ − a)1′ = 0. Como a1′ − a 6= 0 y 1′ 6= 0, entonces 1′ es un
divisor de cero en R.
40 CAPÍTULO 2. ANILLOS
Ejemplo 2.2.4 El siguiente ejemplo ilustra lo discutido previamente,
1) Sea R = Z × Z el anillo, donde (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y
(a, b) • (c, d) = (ac, bd). Tenemos que Z × {0} = {(a, 0) : a ∈ Z}
es un subanillo de Z × Z, cuyo elemento identidad (1, 0) es distinto
del elemento identidad (1, 1) de Z× Z. Además (1, 0) • (0, 1) = (0, 0),
es decir (1, 0) es un divisor de cero de Z× Z.
Definición 2.2.5 Sea R un anillo conmutativo con identidad. Se dice que
R es un dominio entero si R no tiene divisores de cero.
Ejemplo 2.2.6 Los siguientes son ejemplos de dominios enteros.
1) Zp, con p primo.
2) El anillo Z de los números enteros.
Proposición 2.2.7 En un dominio entero, R, todos los elementos no cero
tienen el mismo orden aditivo; este orden es la caracteŕıstica del dominio
cuando char(R) > 0, y es infinito cuando char(R) = 0.
Prueba: Supongamos que char(R) = n > 0. De acuerdo con la Definición
2.1.23, sabemos que cada elemento a ∈ R, con a 6= 0 tiene un orden finito
aditivo m, con m 6 n. Pero por otro lado, 0 = ma = m(1a) = (m1)a, con
m ∈ Z y 1 ∈ R implica que 0 = m1 ∈ R, ya que R no tiene divisores del
cero. De donde, por el Teorema 2.1.25 char(R) = n 6 m. Por tanto n = m.
Supongamos ahora que char(R) = 0, de donde n = 0, es el único entero que
cumple na = 0 para todo a ∈ R. Supongamos, por contradicción, que existe
0 6= a ∈ R y m > 0 tal que ma = 0. Entonces 0 = ma = m(1a) = (m1)a,
de donde por ser R dominio entero, tenemos que m1 = 0. Por el Teorema
2.1.25 tenemos que charR > 0. Lo cual es una contradicción. �
2.2. DOMINIOS ENTEROS Y CAMPOS 41
Corolario 2.2.8 Un dominio entero R tiene caracteŕıstica positiva si y so-
lamente si na = 0 para algún 0 6= a ∈ R y algún entero n ∈ Z+.
�
Teorema 2.2.9 La caracteŕıstica de un dominio entero, R, es cero ó un
número primo p.
Prueba: Sea R un dominio entero con char(R) = n > 0. Supongamos que
n no es un número primo. Esto es n = n1n2, con 1 < n1, n2 < n. Luego
0 = n1 = (n1n2)1 = (n1n2)12 = (n11)(n21). Como R no tiene divisores
del cero, entonces n11 = 0 ó n21 = 0. Por el Teorema 2.1.25, se tiene que
char(R) = n < n1 ó bien char(R) = n < n2. Lo cual es una contradicción.
Por tanto char(R) = p, con p primo. �
Corolario 2.2.10 Si R es un dominio entero finito, entonces char(R) = p
con p primo.
Prueba: Se sigue del Teorema 2.1.25 y del Teorema 2.2.9 �
Ejemplo 2.2.11 Sea R un anillo con identidad. Consideremos el conjunto
Z1 ⊆ R de los múltiplos enteros de la identidad, es decir Z1 = {n1 : n ∈ Z}.
Utilizando las relaciones (n1 − m1) = (n − m)1 y (n1)(m1) = (nm)1, se
infiere que Z1 es un anillo conmutativo con unidad. Además el orden del
grupo aditivo ćıclico (Z1, +) es la caracteŕıstica del anillo R.
Más aún, si R es un dominio entero entonces Z1 es un subdominio entero
de R, es decir, Z1 es también un dominio entero con respecto a las opera-
ciones en R. Si R es un dominio entero de caracteŕıstica p, donde p es un
número primo, entonces podemos deducir que cada elemento no cero de Z1
es invertible, pues Z1 como grupo ćıclico aditivo consiste de p elementos
distintos.
A continuación damos el concepto de campo.
42 CAPÍTULO 2. ANILLOS
Definición 2.2.12 Un campo F es un anillo conmutativo con división.
Ejemplo 2.2.13 Consideremos los siguientes ejemplos:
1) El conjunto (Q, +, •), de los números racionales es un campo.
2) El conjunto (R, +, •), de los números reales es un campo.
El siguiente resultado nos muestra que los campos son en particular
dominios enteros.
Teorema 2.2.14 Todo campo F es un dominio entero.
Prueba: Sabemos que 1 ∈ F . Además, para todo 0 6= a ∈ F , existe
a−1 ∈ F tal que a(a−1) = 1. Ahora supongamos ab = 0, con a 6= 0, entonces
0 = a−10 = a−1(ab) = (a−1a)b = 1 • b = b. Por tanto b = 0. �
Es natural preguntarnos, ahora, si todo dominio entero D es un campo.
La respuesta, en general, es no; por ejemplo el anillo de los número enteros
Z es un dominio entero que no es campo. Pero lo que śı se sabe es que todo
dominio entero finito es campo. Esto es:
Proposición 2.2.15 Un dominio entero finito D es un campo.
Prueba: Sea D un dominio entero. Sean x1, x2, x3, ..., xn todos los elementos
distintos de D; y supongamos que a 6= 0 ∈ D. Consideremos el conjunto
B = {x1a, x2a, ..., xna} ⊂ D, donde xia 6= xja para toda i 6= j (ya que si
xia = xja entonces (xi−xj)a = 0 y como a 6= 0 entonces xi−xj = 0 lo que
implica que xi = xj, con i 6= j, lo cual nos lleva a una contradicción). Lo
anterior implica que el conjunto B tiene n-elementos distintos de D, pero D
tiene n-elementos, entonces para toda y ∈ D, y = xia, para algún xi. Como
1 ∈ D, 1 puede ser expresado como múltiplo de a, entonces existe b ∈ D
talque ba = 1. �
2.3. IDEALES 43
Ejemplo 2.2.16 1) Sea (Zp = {0, 1, ..., p− 1}, +, •) el anillo de los números
enteros módulo p. Como Zp es dominio entero y es finito entonces Zp
es un campo.
Finalmente damos la definición de campo algebraicamente cerrado. En
el Caṕıtulo 3 conside-
raremos únicamente estos campos.
Definición 2.2.17 Un campo F se dice que es algebraicamente cerrado
si todo polinomio no constante h(t) en una indeterminada t, con coeficientes
en F tiene, al menos, una ráız en F .
Ejemplo 2.2.18 El campo C de los números complejos es un campo alge-
braicamente cerrado.
2.3. Ideales
En esta sección enunciaremos el concepto de ideal derecho, ideal izquier-
do e ideal bilateral y estudiaremos sus principales propiedades. Aśı mismo
definiremos el anillo cociente de un anillo R por un ideal bilateral U .
Definición 2.3.1 Sea R un anillo. Un subconjunto U , distinto del vaćıo,
de R, se dice que es:
1) un ideal izquierdo de R si U es un subgrupo de R bajo la operación
adición,y si para todo a ∈ U , y r ∈ R, se tiene que ra ∈ U ;
2) un ideal derecho de R si U es un subgrupo de R bajo la operación
adición, y si para todo a ∈ U , y r ∈ R, se tiene que ar ∈ U ;
44 CAPÍTULO 2. ANILLOS
3) un ideal bilateral de R si U es tanto un ideal izquierdo como un
ideal derecho.
A partir de ahora, diremos simplemente que U es un ideal, si U es un
ideal bilateral.
Ejemplo 2.3.2 Consideremos algunos ejemplos de ideales:
1) Sea (Z, +, •), el anillo de los números enteros, entonces 2Z = {2n :
n ∈ Z} es un ideal de Z
2) Sea (Z, +, •), el anillo de los números enteros, a ∈ Z y 〈a〉 = {na :
n ∈ Z}, entonces el conjunto 〈a〉 es un ideal de Z.
3) Sea fun(X, R) el conjunto de todas las funciones de X en R, definido
en el inciso 9) del Ejemplo 2.1.3. Denotamos por Ix = {f ∈ fun(X, R) :
f(x) = 0}, para una x fija en X. Ahora, escogemos f, g ∈ Ix y
h ∈ fun(X, R). Vemos que (f − g)(x) = f(x) − g(x) = 0 − 0 = 0,
(f ∗ h)(x) = f(x) • h(x) = 0h(x) = 0. Análogamente (h ∗ f)(x) = 0,
de donde tenemos que Ix es un ideal de fun(X, R).
De forma más general. Si S es cualquier subconjunto no vaćıo de X,
entonces
I = {f ∈ fun(X, R) : f(x) = 0, para todax ∈ S},
es un ideal de fun(X, R). Obsérvese que I = ∩x∈SIx.
Definición 2.3.3 Sea R un anillo y U un ideal de R. Decimos que U es
un ideal propio de R si U R. Es decir, U 6= R.
Teorema 2.3.4 Sea R un anillo con identidad. Si U es un ideal propio de
R, entonces ningún elemento de U posee un inverso multiplicativo. Esto es,
U ∩R∗ = ∅.
2.3. IDEALES 45
Prueba: Sea U un ideal propio de R. Si U = {0}, el resultado es trivial,
pues el elemento cero, no es invertible. Si U 6= {0}, entonces supongamos
que existe a ∈ U , tal que a es invertible, de donde sabemos que existe
a−1 ∈ R, tal que a • a−1 = a−1 • a = 1. Como a ∈ U y a−1 ∈ R, entonces
a•a−1 = a−1 •a = 1 ∈ U . De donde si r ∈ R entonces r •1 = 1• r = r ∈ U .
Por tanto R ⊂ U , de donde U = R. Lo cual es una contradicción. Por lo
tanto U ∩R∗ = ∅. �
Corolario 2.3.5 Sea R un anillo con identidad 1R y U un ideal propio de
R. Entonces 1R no pertenece a U .
Prueba: Supongamos que existe un ideal propio U que contiene al elemento
identidad. Para cualquier r ∈ R, r1 ∈ U . Luego R ⊂ U y U ⊂ R. De donde
U = R, lo cual es una contradicción. Por tanto, ningún ideal propio contiene
a la identidad. �
Definición 2.3.6 Sea {0} 6= R un anillo. Decimos que R es un anillo
simple si los únicos ideales bilaterales de R son {0} y R.
Ejemplo 2.3.7 Consideremos algunos ejemplos
1) Sea (R, +, •) el anillo de los números reales y sea {0} 6= U un ideal
de R. Supongamos que 0 6= r ∈ U , de donde r−1 ∈ R. Luego r • r−1 =
r−1 • r = 1R ∈ U . Por tanto R = U , es decir (R, +, •) es un anillo
simple.
2) El anillo de las matrices cuadradas de 3 × 3 con coeficientes en R,
M3×3(R), es un anillo simple. Ver Ejemplo 2 · 3 en [2]
Proposición 2.3.8 Si R es un anillo no trivial, simple, conmutativo y con
elemento identidad, entonces R es campo.
46 CAPÍTULO 2. ANILLOS
Prueba: Lo que necesitamos ver es que para todo a 6= 0 ∈ R, existe
b 6= 0 ∈ R tal que ab = 1. Sea a 6= 0, a ∈ R, consideremos el conjunto
Ra = {xa/x ∈ R}. Veamos que Ra es ideal de R. Ra es distinto del vaćıo,
pues 1 ∈ R, entonces 1a ∈ Ra. Sean u, v ∈ Ra entonces u = r1a, v = r2a,
para ciertos r1, r2 ∈ R. Luego u + v = r1a + r2a = (r1 + r2)a ∈ Ra.
Análogamente tenemos que −u = −r1a = (−r1)a ∈ Ra. Por lo tanto Ra
es un subgrupo aditivo de R. Sean u ∈ Ra, r ∈ R entonces tenemos que
ru = r(r1a) = (rr1)a ∈ Ra, y por ser R anillo conmutativo ur ∈ Ra. Por
lo tanto Ra es un ideal de R. Ahora, por hipotesis, tenemos que Ra = {0}
ó Ra = R. Como 0 6= a = 1a ∈ Ra, pues 1 ∈ R, tenemos que Ra 6= {0},
entonces Ra = R. Es decir todo elemento en R es el producto de a por algún
r ∈ R. En particular 1 ∈ R, y entonces se puede ver como múltiplo de a, es
decir, existe b ∈ R tal que ab = 1 = ba. Por lo tanto Ra = R es un campo. �
La siguiente proposición es el converso de la Proposición anterior.
Proposición 2.3.9 Si R es un campo, entonces los únicos ideales de R son
R mismo y el {0}.
Prueba: Recordemos que si R es campo, entonces R es anillo conmutativo
con elemento unidad, tal que para todo elemento a ∈ A, existe a−1 ∈ A, tal
que aa−1 = 1. Es claro que R y {0} son ideales de R. Veamos que estos son
los únicos dos ideales de R. Sea U 6= {0} un ideal de R. Como U 6= {0},
existe u 6= 0 ∈ U , como R es campo existe u−1 ∈ R, entonces u−1u = 1 ∈ U .
Por tanto 1 ∈ U , de donde R ⊂ U . Por lo tanto R = U . �
Los resultados que enunciaremos a continuación establecen mecanismos
para obtener ideales.
Teorema 2.3.10 Sea {Ui}i∈I una colección arbitraria de ideales de un anil-
lo R. Entonces ∩i∈IUi es también un ideal.
Prueba: Como el elemento cero es un elemento que pertenece a cada uno
de los ideales Ui, entonces el 0 ∈ ∩i∈IUi, luego la intersección es distinta
del vaćıo. Ahora supongamos que a, b ∈ ∩i∈IUi y r ∈ R. De aqúı tenemos
2.3. IDEALES 47
que a, b ∈ Ui, para toda i. Como Ui es un ideal entonces a − b ∈ Ui y ar,
ra ∈ Ui, para toda i. Por tanto a− b ∈ ∩i∈IUi y ar, ra ∈ ∩i∈IUi, para toda
i, Por tanto ∩i∈IUi es un ideal de R. �
Consideremos ahora un anillo arbitrario R y S un subconjunto de R
distinto del vaćıo. Por el śımbolo 〈S〉, denotaremos al conjunto 〈S〉 = ∩{U :
S ⊂ U ; Ues un ideal de R}. Esto es la intersección de todos los ideales U
que contienen a S, la cual es no vaćıa ya que S ⊂ R y R es un ideal de R.
De donde el conjunto 〈S〉 satisface que S ⊂ 〈S〉 y por el Teorema 2.3.10,
〈S〉 es un ideal de R. Al ideal 〈S〉 se le conoce como el ideal generado por
S. Además como para cada ideal U de R, con S ⊂ U , se tiene que 〈S〉 ⊂ U ,
entonces el ideal 〈S〉 es el ideal más pequeño de R que contiene a S; con
respecto al orden dado por la contención.
Si S consiste de un número finito de elementos, digamos a1, a2, ..., an, en-
tonces decimos que el ideal generado por S, denotado por 〈{a1, a2, ..., an}〉,
es un ideal finitamente generado, o bien un ideal generado por los ele-
mentos a1, ..., an.
Algunas veces escribiremos 〈a1, ..., an〉 en lugar de 〈{a1, ..., an}〉.
Definición 2.3.11 Sea R un anillo. Decimos que un ideal U de R es un
ideal principal, si U es generado por un sólo elemento del anillo. Es decir
U = 〈a〉 = 〈{a}〉.
Denotaremos por 〈a〉r, al ideal principal derecho de R generado por a,
dado por 〈a〉r = {ar + na : r ∈ R, n ∈ Z}. De aqúı, podemos escribir al
elemento a, como a = a(0)+1a ∈ 〈a〉r . Si 1 ∈ R, entonces el término na, ya
no lo necesitamos pues la expresión ar + na = ar + a(n1) = a(r + n1) = ar′
donde r′ = r + n1 es un elemento del anillo R. Aśı que el conjunto 〈a〉r
consiste de todos los elementos ar′ con r′ ∈ R, esto es 〈a〉r = {ar : r ∈ R}.
Caractericemos ahora el ideal bilateral de R generado por a, 〈a〉 en el caso de
que 1 no está en R. En este caso tenemos que ras, sa, ar, na deben pertenecer
a 〈a〉 y también las sumas finitas de la forma
∑
riasi donde ri, si ∈ R.
48 CAPÍTULO 2. ANILLOS
Aśı que
〈a〉 = {na + sa + ar +
∑
finitas
riasi : r, s, ri, si ∈ R, n ∈ Z}.
Ahora, si R tiene identidad, entonces
〈a〉 = {
∑
finitas
riasi : ri, si ∈ R}.
Definición 2.3.12 Sea R un anillo. Decimos que R es un anillo de ide-
ales principales, si cada ideal U de R, es de la forma U = 〈a〉 para algún
a ∈ R.
Ejemplo 2.3.13 El anillo Z de los números enteros es un anillo de ideales
principales. Más aún, si U es un ideal de Z, entonces U = 〈n〉, para algún
entero no negativo n. En efecto, si U = {0}, es trivial. Supongamos que
U 6= {0}. Si m ∈ U , entonces −m ∈ U , aśı que el ideal U contiene enteros
positivos. Sea n el menor entero positivo de U . Como U es un ideal, en-
tonces 〈n〉 ⊆ U . Veamos que U ⊆ 〈n〉. Sea k ∈ U . Por el algoritmo de la
división existen enteros q y r para los cuales k = nq+r con 0 6 r < n, como
k y nq son ambos miembros de U , entonces r ∈ U . Si r > 0 tendŕıamos
una contradicción al hecho de que n es el menor entero positivo en U . De
donde, r = 0 y U ⊂ 〈n〉.
Definición 2.3.14 Sea R un anillo y U1, U2,