¿Cómo se puede entender bien el concepto de cohomología y por qué es fundamental para la topología algebraica moderna?

A2A*. Esto necesita una larga respuesta, pero es interesante. Vamos a descomponer la explicación en una serie creciente de ejemplos de lo más sencillo, la geometría euclídea a la topología algebraica.

Paso I. Geometría euclídea. En geometría euclídea la forma se define a partir de las distancias, si tomas un cubo o una esfera de goma y te sientas sobre ellas se aplasta algunas distancias varías y entonces dices que la forma ha cambiado. La geometría euclídea se fundamenta en estudiar qué operaciones o transformaciones hacen que una forma o estructura no altere sus distancias (así el área, el longitud, los ángulos se mantienen constantes si mueves o desplazas una figura geométrica por el plano o el espacio pero sin cambiar sus distancias). En geometría euclídea cualquier operación que deja invariantes las medidas basadas en la distancia (áreas, longitudes, ángulos) se llama transformación de isometría (iso- ‘igual’, metría ‘distancia’), no es complicado ver que una rotación, una traslación, una reflexión especular o una inversión (reflexión respecto a un punto) son isometrías. De hecho, cualquier combinación de ellas es también una isometría. Si piensas en diferentes transformaciones de isometría T1,T2,…,TnT1,T2,…,Tn puedes construir un grupo matemático con la operación Ti∘TjTi∘Tj = “aplicar Ti después de Tj” pensándolo en coordenadas me refiero a que dado un punto de una figura geométrica antes hagas Ti∘Tj(P)=Ti(Tj(P))Ti∘Tj(P)=Ti(Tj(P)), donde Ti(P)Ti(P) se interpreta como la posición del punto P después de aplicar la transformación, es decir, después de girar la figura, trasladarla, reflejarla, etc. Pues bien el conjunto de las infinitas isometrías del espacio euclídeo forman un grupo matemático llamado grupo de isometría, matemáticamente cada elemento de ese grupo se puede representar por una matriz de 4x4 (es decir un puñado finito de números), de hecho este grupo tiene dimensión finita, para el espacio euclídeo es 6. ESta figura muestra algunas transformaciones de isometría de una letra F:

Paso II. Topología. Si en geometría euclídea nos importaban las distancias para definir la forma, en topología se consideran transformaciones más generales y complicadas. Así sentarse sobre un cubo o hexaedro de goma lo deforma y deja de ser un cubo, pero de alguna manera cada punto original del cubo se ha desplazado a otro punto del espacio euclídeo mediante una transformación continua es decir una aplicación f:R3→R3f:R3→R3 donde las tres componentes fx,fy,fzfx,fy,fz de ff son continuas es decir: f(x,y,z)=(fx(x,y,z),fy(x,y,z),fz(x,y,z))f(x,y,z)=(fx(x,y,z),fy(x,y,z),fz(x,y,z)). Si consideramos todas las transformaciones que vienen representadas por funciones continuas que admiten inversa continua tenemos que se pueden componer unas con las otras fi∘fjfi∘fj = “aplicar la deformación fifi después de aplicar la deformación fjfj”. Ahora como existen muchas más transformaciones (las que conservan las distancias, pero también algunas que no), el grupo de transformaciones es más general y es un grupo de homeomorfismos (también infinito, pero si el grupo de isometrías tenía dimensión finita, el grupo de homeomorfismos es de dimensión infinita). En cualquier caso sabemos que si tomamos un elemento del grupo de homeomorfismos al azar el área, el volumen, los ángulos o las distancias ya no serán invariantes. Pero la pregunta legítima sería: un grupo de homeomorfismos tiene “invariantes topológicos” (es decir, algo que no cambie, que quede invariante aunque las distancias varíen). Y la respuesta es claramente sí. Si consideras que tu cubo deformable tenía un cierto número de orificios pasantes aunque los deformes ahi seguirán, si pintas un cierto número de puntos de rojo y azul, tras deformar el número de puntos de cada color seguirá ahí, y existen otros invariantes más abstractos. El caso es que si te planteas si puedes deformar algo inicial en una configuración final, entonces los invariantes de la configuración inicial y final serán iguales, y por tanto no puedes deformar una pieza en otra si no tienen los mismos invariantes, topológicamente no serán equivalentes! Una aplicación clarísima de esas ideas es la teoría de nudos que me dice cuando puedo deformar un nudo en otro y cuantas clases de nudos existirán:

Paso III. Topología algebraica. Las cuestiones topológicas son complicadas y difíciles de visualizar, así que lo que se hace es hacer algún tipo de construcción algebraica sencilla y ver si bajo transformaciones topológicas del grupo de homeomorfismos dicha construcción se mantiene o no. Tal vez la más sencilla de todas sea el llamado “grupo fundamental” o grupo de caminos homotópicamente equivalentes. Si considero un punto fijo de la esfera puedo imaginarme todas las trayectorias que parten de un punto y vuelven al punto de partida (y puedo imaginar que dos caminos son equivalentes si puedo deformar el uno en el otro de manera progresiva y suave). Con la operación de seguir un camino y a continuación el otro puedo construir caminos más y más complicados. Pues bien este conjunto de caminos equivalentes tiene una estructura análoga a la de ciertos grupos matemáticos. Para una esfera cualquier camino cerrado es deformable en el punto de partida por tanto todo camino es homotópicamente equivalente a un punto el grupo fundamental π1π1 de la esfera es trivial π1(esfera)={0}π1(esfera)={0}. Si considero una tubería muy larga o un cilindro infinito habrá dos tipos de caminos: los que rodean el tubo transversalmente y los que no. Los caminos que no lo rodean vuelven a ser homotópicamente equivalentes a un punto, pero los que lo rodean pueden hacerlo una vez, dos veces, tres veces, …. y eso claramente genera un grupo como el de los enteros π1(cilindro)=Zπ1(cilindro)=Z, aquí los números positivos representan caminos que se enrollan en sentido antihorario y los negativos caminos que se enrollan en sentido horario! Para un toro o doughnut el grupo es π1(toro)=Z×Zπ1(toro)=Z×Z y para espacios más complicados tenemos grupos más complejos. El grupo fundamental es siempre conmutativo (abeliano) pero existen otras construcciones de otros tipos que dan lugar a grupos más complejos no abelianos. Es ahí donde entre la cohomología que es una sucesión de grupos asociados a propiedades topológicas más complicadas. Resulta que muchas cuestiones complicadas de topología se pueden reducir a cuestiones algebraicas. Por ejemplo el teorema del punto fijo de Brouwer establece que cualquier función de un conjunto acotado en sí mismo tendrá siempre al menos un punto fijo. También sabemos que en la superficie de la Tierra siempre habrá dos puntos antipodales con la misma temperatura, es más sobre un meridiano o un paralelo siempre habrá dos puntos con la misma presión y se pueden decir un montón de cosas así que son propiedades topológicas. Se tiene igualmente el teorema e la bola peluda que dice que es totalmente imposible peinar perfectamente una cabeza, o equivalentemente cualquier campo vectorial sobre la esfera necesariamente se anulará en algún punto (es decir, siempre habrá un punto de la Tierra donde no sople el viento en algún momento!). Algunos de los grupos más sencillos para algunos espacios topológicos son:

Describir los grupos de cohomología en detalle en el contexto de la topología algebraica me llevaría dos o tres pasos más, mucho más abstractos, creo que con lo dicho hasta aquí todo el mundo se hace una idea aproximada de como la cohomología permite construir grupos algebraicos que son invariantes bajo ciertas transformaciones topológicas generales.