¿Cuál es la solución a la integral ∫(x−1) / (√(2x) +√(x+1))?

No hay ninguna integral porque falta el diferencial de la variable respecto la cual se integra. Pero asumamos que se integra respecto de x:x:

∫x−12x−−√+x+1−−−−−√dx.∫x−12x+x+1dx.

Esta integral parece difícil, pero en realidad es fácil. Si multiplicamos al numerador y al denominador con 2x−−√−x+1−−−−−√2x−x+1 (multiplicamos al numerador y al denominador con esa expresión para no cambiar la integral), obtenemos lo siguiente:

∫x−12x−−√+x+1−−−−−√dx=∫(x−1)(2x−−√−x+1−−−−−√)(2x−−√+x+1−−−−−√)(2x−−√−x+1−−−−−√)dx=∫(x−1)(2x−−√−x+1−−−−−√)(2x−−√)2−(x+1−−−−−√)2dx=∫(x−1)(2x−−√−x+1−−−−−√)2x−(x+1)dx=∫(x−1)(2x−−√−x+1−−−−−√)2x−x−1dx=∫(x−1)(2x−−√−x+1−−−−−√)x−1dx=∫(2x−−√−x+1−−−−−√)dx.∫x−12x+x+1dx=∫(x−1)(2x−x+1)(2x+x+1)(2x−x+1)dx=∫(x−1)(2x−x+1)(2x)2−(x+1)2dx=∫(x−1)(2x−x+1)2x−(x+1)dx=∫(x−1)(2x−x+1)2x−x−1dx=∫(x−1)(2x−x+1)x−1dx=∫(2x−x+1)dx.

La integral de una resta es igual a la resta de la integral de cada término:

∫(2x−−√−x+1−−−−−√)dx=∫(2x−−√)dx−∫(x+1−−−−−√)dx.∫(2x−x+1)dx=∫(2x)dx−∫(x+1)dx.

La raíz cuadrada de 2x2x se puede expresar como el producto de la raíz cuadrada de 22 con la raíz cuadrada de x:x:

∫(2x−−√)dx−∫(x+1−−−−−√)dx=∫(2–√x−−√)dx−∫(x+1−−−−−√)dx.∫(2x)dx−∫(x+1)dx=∫(2x)dx−∫(x+1)dx.

Como 2–√2 es una constante, la podemos sacar de la primera integral, multiplicando a dicha integral:

∫(2–√x−−√)dx−∫(x+1−−−−−√)dx=2–√∫(x−−√)dx−∫(x+1−−−−−√)dx.∫(2x)dx−∫(x+1)dx=2∫(x)dx−∫(x+1)dx.

La primera integral se puede resolver fácilmente reescribiendo la raíz cuadrada de xx como x1/2x1/2 y recordando que

∫xndx=xn+1n+1+C:∫xndx=xn+1n+1+C:

2–√∫(x−−√)dx=2–√∫x1/2dx=2–√(x1/2+11/2+1+C1)=2–√(x3/23/2+C1)=2–√(2x3/23+C1)=2–√(23x3/2+C1)=2–√(23x3−−√+C1)=2–√(23xx−−√+C1)=23x2x−−√+C1.2∫(x)dx=2∫x1/2dx=2(x1/2+11/2+1+C1)=2(x3/23/2+C1)=2(2x3/23+C1)=2(23x3/2+C1)=2(23x3+C1)=2(23xx+C1)=23x2x+C1.

He diluido la 2–√2 en C1,C1, por eso no se observa el producto 2–√C1.2C1.

La segunda integral también se puede resolver fácilmente teniendo en cuenta la información anterior y haciendo los siguientes cambios de variable:

u=x+1⟶dudx=1⟶du=dx:u=x+1⟶dudx=1⟶du=dx:

∫(x+1−−−−−√)dx=∫(u−−√)du=∫u1/2du=23uu−−√+C2.∫(x+1)dx=∫(u)du=∫u1/2du=23uu+C2.

Deshaciendo el cambio de variable:

∫(x+1−−−−−√)dx=23(x+1)x+1−−−−−√+C2.∫(x+1)dx=23(x+1)x+1+C2.

Por tanto, la integral original es

∫x−12x−−√+x+1−−−−−√dx=23x2x−−√+C1−(23(x+1)x+1−−−−−√+C2)=23x2x−−√+C1−23(x+1)x+1−−−−−√−C2.∫x−12x+x+1dx=23x2x+C1−(23(x+1)x+1+C2)=23x2x+C1−23(x+1)x+1−C2.

Llamando a la resta de las constantes C1C1 y C2C2 C:C:

∫x−12x−−√+x+1−−−−−√dx=23x2x−−√+23(x+1)x+1−−−−−√+C.∫x−12x+x+1dx=23x2x+23(x+1)x+1+C.

Sacando 2323 como factor común:

∫x−12x−−√+x+1−−−−−√dx=23(x2x−−√+(x+1)x+1−−−−−√)+C.∫x−12x+x+1dx=23(x2x+(x+1)x+1)+C.