¿Cómo encuentro las raíces de un polinomio de grado 4?

Aunque no se diga explícitamente, sobrentendemos que se trata de un polinomio de cuarto grado cuyos coeficientes son números complejos cualesquiera (esto incluye el caso en que todos sean reales, por supuesto).

Encontrar las raíces de un polinomio de cuarto grado es equivalente a resolver la ecuación de cuarto grado que se obtiene igualando ese polinomio a cero.

Consideremos, por tanto, la ecuación general de cuarto grado, también llamada ecuación cuártica, en la que hemos dividido ambos miembros por el primer coeficiente, o coeficiente principal del polinomio (que siempre ha de ser no nulo), de modo que la ecuación de cuarto grado adoptará la forma:

x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0 (1)

Aquí, al responder esta pregunta, hay que distinguir claramente cuál es el objetivo que se quiere alcanzar, y podría ser uno de los siguientes:

1) OBJETIVO PRÁCTICO: Resolución numérica automática.

Dados los valores numéricos concretos de a, b, c, d, encontrar los valores numéricos de las raíces del polinomio con suficiente aproximación decimal, en caso de que sus valores (reales o imaginarios) no sean expresables exactamente por números racionales.

En el momento actual esto se puede conseguir con cualquier programa de software en matemáticas; por ejemplo, se puede acudir a Wolfram Alpha que resuelve online muchas de las ecuaciones algebraicas y trascendentes que se pueden presentar entre los cálculos matemáticos usuales, además de otras muchas cosas.

Por ejemplo, sea la ecuación x⁴ - 5x³ - (2/3)x² + 7x - 37 = 0. Véase el enlace:

Vemos que la ecuación tiene dos soluciones reales y dos imaginarias conjugadas; en total, cuatro soluciones, como corresponde a toda ecuación de cuarto grado, puesto que un corolario sencillo del Teorema Fundamental del Álgebra establece que toda ecuación de grado n (con coeficientes complejos cualesquiera) tiene n raíces complejas (algunas o todas pueden ser iguales entre sí, esto es, puede haber raíces múltiples, y aunque ese caso es posible, es muy poco frecuente, si la ecuación no está preparada a propósito, y lo más "frecuente" es que las raíces sean simples).

Así que Wolfram nos da, en este ejemplo, las cuatro raíces:

x₁, x₂, x₃, x₄ ; siendo las raíces reales, redondeadas a cuatro decimales,

x₁ ~ -1.9711 ; x₂ ~ 5.1374 .

Y las raíces imaginarias, también redondeadas sus partes real e imaginaria a cuatro decimales, son:

x₃ ~ 0.9169 - 1. 6772 i ; x₄ ~ 0.9169 + 1. 6772 i .

OBSERVACIÓN LINGÜÍSTICA: Es preferible, o más preciso al menos, llamar a x₃ y x₄ raíces imaginarias que raíces "complejas", puesto que raíces complejas son todas, incluso las reales; ésta es una confusión terminológica frecuente, y Wolfram utiliza esa ambigua expresión, Complex solutions, en lugar de Imaginary solutions.

Si queremos mayor aproximación, podemos pulsar una vez More Digits, y sale:

x₁ ~ -1.97112356779020 ; x₂ ~ 5.13742237029863 .

Y lo mismo con las raíces imaginarias x₃, x₄ : podemos aumentar la precisión pulsando una o más veces la opción More Digits.

Si se pulsa la opción Exact forms, nos aparece la expresión de cada raíz en forma exacta mediante una (monstruosa) combinación de radicales y operaciones racionales (sumas, restas, productos, cocientes, potencias y raíces) en cantidad finita. Esto es posible tan solo para las ecuaciones algebraicas generales de grado menor que 5, y para otras ecuaciones -algebraicas o no-, pero de manera excepcional y solo en casos particulares existe tal solución exacta.

Si cambiamos los valores de los coeficientes de la ecuación, en la opción
MATH INPUT , resolveríamos otras ecuaciones concretas, de cuarto grado o de cualquier otro grado, e incluso muchas clases de ecuaciones trascendentes (esto es, no algebraicas).

Hasta aquí queda cumplidamente respondido el OBJETIVO 1.

OBJETIVO 2 : Resolución numérica manual.

Aquí lo mejor es consultar los modernos tratados sobre análisis numérico y teoría de ecuaciones. Antes de la era cibernética, constituía un grave problema encontrar las raíces de los polinomios de coeficientes complejos cualesquiera.

El único interés que puede tener esto, y lo tiene efectivamente, es conocer la teoría sobre la que se pueden asentar las aplicaciones de software como las que usa Wolfram u otros programas de matemáticas. Si quisiéramos programar un ordenador para resolver ecuaciones algebraicas deberíamos conocer por lo menos el eficiente Método de Gräffe, cuyas complicaciones teóricas y prácticas no permiten tratarlo aquí.

Véase al respecto, como introducción básica, y muy clara, por ejemplo,

Teoría de Ecuaciones, de J.V.Uspensky, Editorial Limusa (traducción española)

o bien la versión original,

Theory of equations, J. V. Uspensky, New York : McGraw-Hill Book Co (1948).

OBJETIVO 3 : Resolución algebraica de la ecuación general de cuarto grado.

Véase mi anterior respuesta, en la que explico el método de Descartes para la resolución algebraica de la ecuación cuártica. Esta clase de resolución admite que algunos o todos los coeficientes sean literales o numéricos, indistintamente.

Hay muchos otros métodos para resolver algebraicamente la ecuación general de cuarto grado, algunos realmente ingeniosos, y el interés de esta resolución algebraica es teórico, de ninguna manera práctico, salvo casos muy, muy excepcionales.

Sin embargo, con bastante trabajo y ayuda de una calculadora científica se puede encontrar el valor numérico de las raíces, cuando todos los coeficientes son números conocidos, a partir de la resolución algebraica; aunque casi siempre es más recomendable para este fin la resolución numérica de la ecuación.

OBJETIVO 4 : Encontrar las raíces de un polinomio de cuarto grado en bachillerato.

Aquí considero esencial advertir al lector de un grave error didáctico, que es hacer creer a los alumnos que es posible encontrar las raíces de un polinomio de cuarto grado empleando la Regla de Ruffini.

Esto es posible tan solo en casos muy, muy, muy preparados a propósito.

En cualquier caso elegido al azar será inútil ese método, pero pondré un ejemplo, para que se entienda mejor este engaño anti-pedagógico.

Problema extraído de un texto de bachillerato :

Encontrar las raíces del polinomio x⁴-3x³+x²+3x-2.

REGLA "INFALIBLE" (es broma, pero basada en hechos reales…): el autor del libro de texto o el profesor de la asignatura han preparado el polinomio de modo que SIEMPRE (bueno, o casi siempre…) una de las raíces es 1.

Probamos la división del polinomio dado por los binomios x-a, donde a debe ser un entero divisor del término independiente (-2), luego hay que probar los valores ±1, ±2.

"Probamos" a dividir por la Regla de Ruffini, x⁴-3x³+x²+3x-2 entre x-1

¡Y justo! sale división exacta → x⁴-3x³+x²+3x-2 ≡ (x-1) * (x³-2x²-x+2).

Volvemos a probar 1, por si acaso es raíz múltiple (doble, triple…) →

¡Justo, qué gran suerte! → x³-2x²-x+2 ≡ (x-1) * (x²-x-2)

Podríamos seguir probando -1, 2, ó -2, pero como ya el trinomio x²-x-2 es cuadrático podemos resolver la ecuación de segundo grado:

x²-x-2 = 0 → x = 2 , y x = 1 → factores correspondientes (x-2) * (x+1).

Luego, finalmente, hemos "encontrado" las raíces del polinomio de cuarto grado propuesto:

x⁴-3x³+x²+3x-2 ≡ (x-1)² * (x-2) * (x+1).

CONCLUSIÓN:

Esto es mentir al alumno.

Si queremos que no se enzarce en difíciles cálculos, entonces de acuerdo, pero es mejor no hacerle creer que sabe descomponer polinomios de cuarto grado en factores. Dejemos ese tema para más adelante, y expliquémosle al alumno que se trata de una tarea complejísima, en general; factible -de manera exacta- para polinomios de grado menor que 5, aunque la solución puede ser muy, muy, complicada, y factible -de manera exacta- para algunos polinomios de grado 5 o mayor, tan solo en casos muy raros y minoritarios, también con complicaciones formidables e intervención de números imaginarios y funciones trigonométricas, cuando no otras funciones trascendentes más espinosas, como las funciones elípticas, y siempre de escasísimo valor práctico.

También expliquémosle que gracias a los avances en computación automática hemos logrado vencer este escollo en la práctica, y esperemos a que tenga un mayor nivel para afrontar los legítimos objetivos 1, 2 y 3 que aquí hemos expuesto.

Pero nunca le engañemos persuadiéndole para lograr el FALSO objetivo 4.