05-DESCARGAR-POLINOMIOS-VALOR-NUMÉRICO-Y-GRADOS

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P 
Polinomios, Valor numérico, 
Grados 
 
 
 
Las fórmulas para cada caso, son las siguientes: 
ÁREA LATERAL = 2h . (a + 1) 
ÁREA DE LA BASE = 2 a.l 
 
 
OJO: Observa que estas dos 
fórmulas determinan dos 
monomios cuyas variables 
son: a, l y h. 
 
 
Luego, el área total (A) será obtenida sumando los 
resultados anteriores: 
 
En el anterior capítulo, vimos cómo la fórmula que 
expresa el área de un rectángulo, puede ser un ejemplo de 
monomio. 
 
Te habrás dado cuenta entonces, que dos especialidades 
de la Matemática: Álgebra y Geometría pueden lograr 
A = 2h(a + l ) + 2a . l 
 
Es decir, el área total (A) depende de la altura (h), el 
ancho (a) y el largo (l). Entonces, algebraicamente 
escribimos: 
grandes resultados trabajando juntas. 
A(a; ;l h) = 2h(a+ l ) + 2al 
 
Ahora, hablemos de un sólido geométrico, que puede 
ser visto muchas veces en nuestro entorno. Es un sólido 
que lo puedes ver al observar un edificio, una caja de leche, 
un refrigerador o un ladrillo. 
 
¿Adivinas cuál es? ... pues se trata de un poliedro 
rectangular como el que ves en la figura. Observa sus 
dimensiones: ancho (a), largo (l ) y altura (h). 
 
 
Esto es lo que se denomina POLINOMIO, y es la idea 
principal del tema de hoy. 
 
Parte teórica 
 
Polinomio 
 
Es la suma algebraica de dos o más monomios. 
h 
Ejemplos: 
a Estos son polinomios: 
l 
(x) 
= 5x2 - 7x + 3 
 
7 
Nuestro objetivo es hallar el área total de este poliedro 
y para eso dividiremos el trabajo en dos partes: 
Q
(x; y) 
= 4xy3 + x
8y2 - 1 
2 
 
 
 
 
ÁREA LATERAL 
 
 
 
 
 
 
ÁREA DE LAS BASES 
Valor numérico (V.N.) 
Al igual que en el capítulo anterior, consiste en reemplazar 
las variables por números indicados. 
 
Ejemplos: 
Hallar el V.N. del polinomio: 
 
M
(x; y) 
= x2 + 2xy + y2, para: x = 1, y = 2 
 
Solución: 
Reemplazamos los valores dados: x = 1, y = 2; en el 
polinomio: 
 
M(1; 2)  1
2 
 2(1)(2)  22 
 
2. Si: F 
 
= 3x3 + 2x2 - 1; calcular el valor de: F . 
 
 
 
 
Grados 
 
 1 

4 
 
 4  9 
(x + 7) 
 
Resolución: 
Hacemos : x + 7 = 5 
resolviendo : x = - 2 
(5) 
Un polinomio tiene dos grados: reemplazando en el polinomio: 
F
(- 2 + 7) 
= 3(- 2)3 + 2(- 2)2 - 1 
a. Grado absoluto (G.A.).- Es el mayor de los grados 
absolutos de los monomios que lo conforman.
 F(5) = 3(- 8) + 2(4) - 1 
 
 
Ejemplo: Hallar el grado absoluto del polinomio: 
F
(5) 
= - 24 + 8 - 1 
 F(5) = - 17 
 
5x 2 y 7
 
3x 4 y 2
 
4x 2 y 2
 
3. Hallar el grado del siguiente polinomio:
 
P
(x; y) 
= 


 

 

 
P
(x; y) 
 
= 2,5x16y - 5,2xy15 
G.A. = 9 G.A. = 6 G.A. = 4 
 
Luego el resultado es el mayor G.A. 
 
Resolución: 
Calculando el grado absoluto de cada uno de los 
términos: 
 
P
(x; y) 
= 
 
2,5x16 y  5,2xy15 
 G.A.(P(x;y) ) = 9 

G.A.  16  1 

G.A.  1  15 
 
b. Grado relativo (G.R.).- Es el mayor de los grados 
relativos de los monomios que lo conforman. 
 Grado = grado absoluto = 16 + 1 = 17 
 
Ejemplo: 
Hallar el grado relativo de “x” e “y” del polinomio: 
4. El polinomio P
(x)
 es de cuarto grado. Hallar “m”. 
P
(x; y) 
= 5x2y7 - 3x4y2 + 4x2y2 P(x) = 7 x
1 + m
 + 6 x
2 + m
 + 5 x3 + m 
 
Solución: 
Hallamos el grado relativo para cada término: 
Resolución: 
Datos del problema: Grado = 4 (mayor exponente de “x”) 
 
5x 2 y 7 

 
 3x 4 y 2 

 
 4x 2 y 2 

 
 
resolviendo: m = 1 
3 + m = 4 
G.R.
(x) 
= 2 G.R.
(x) 
= 4 G.R.
(x) 
= 2 
G.R.
(y) 
= 7 G.R.
(y) 
= 2 G.R.
(y) 
= 2 
 
Luego, cogemos el mayor en cada caso; así: 
 
 G.R.
(x) 
= 4 ; G.R.
(y) 
= 7 
 
 
Problemas resueltos 
 
 
1. Si: x = 2; y = 3; z = 6; hallar el valor de: 
 
 
5. Si: P
(x) 
= x3 - 3x2 + 3x - 1 
Determine: P
(- 2) 
 
Resolución: 
Reemplazando: x = - 2 se tiene: 
 
P
(- 2) 
= (- 2)3 - 3(- 2)2 + 3(- 2) - 1 
P
(- 2) 
= - 8 - 3(4) - 6 - 1 
P
(- 2) 
= - 8 - 12 - 6 - 1 
P(- 2) = - 27 
 
E = 
3(x  y) 
 
xy 
 
xz 
 
yz 
 xyz  x2  y2  z2  27 
4(x  y) z y x 
 
Resolución: 
Sustituyendo valores: 
 
E = 
3(2  3) 
 
(2)(3) 
 
(2)(6) 
 
(3)(6) 
+ (2)(3)(6) - 
 
Problemas para la clase 
 
Bloque I 
 
1. Hallar el valor numérico de: P
(x) 
= x2 + 2x + 1 
4(2  3) 6 3 2 
(2)2 - (3)2 - (6)2 + 27 
 
 
15 
para: x = 2 
 
a) 4 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 1 
Efectuando: E = - 
4 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
(x) (P 
2 
2 
2 2 3 3 
2 
) 
 
2. Calcular el V.N. de: Q
(x) 
= 3x2 + 7; 
para: x = 4 
 
a) 55 b) 48 c) 16 
d) 91 e) 151 
 
3. Si: P
(x) 
= 2x3 + x + 7; 
calcular el valor de “P
(1)
”. 
 
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 10 
a) 11 b) 9 c) 12 
d) 4 e) 10 
 
10.Indicar el G.R.
(x) 
del polinomio: P
(x; y) 
= 2xy2 + 7x3y 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 7 e) 0 
 
Bloque II 
 
 
3 1 3 
 2 2 
 
 
4. Sabiendo que: M
(x) 
= x2 + x + 1 
1. Si: P
(x; y) 
= 
2 
xy
 
+ x y - 
4 2 
hallar el valor de “M
(5)
”. 
 
a) 25 b) 31 c) 30 
d) 1 e) 5 
calcular: P 1 
(8; ) 
4 
 
 
1 
a) 
4 
 
 
 
 
13 3 
b) 
8 
c) 
4 
2 1 1 
 5. Calcular el V.N. de: J
(x) 
= 
7 
x
 
para: x = 1 
- 
5 
x + 
2 13 3 
d) e) 
4 16 
 
 
39 41 70 4 2 1 
 
a) 
35 
b) 
35 
c) 
39 
2. Si: M(x; y) = 7 
x .y
 
- 
343 
x .y + 
4 
 
41 39 
 
hallar: M 1 
d) 
70 
e) 
41 
(7; ) 
2 
 
3 1 a) 
1 
b) 
3 
c) 
1 
6. Calcular el V.N. de: Q
(x) 
= 
2 
x
 
para: x = 2 
- x - 2 
4 2 
 
3 
d) 
8 
4 8 
 
e) 7 
a) 5 b) 6 c) 8 
 
1 7 
d) e) 
4 2 
 
3. Si: P = x2 + x + 1; calcular: P 
(P(0) ) 
 
7. Calcular el V.N. de: P
(x; y) 
= 5x2y3 - x3y2 
1 
a) 3 b) 1 c) 13 
d) 0 e) 11 
para: x = 2; y = 
2 
1 1 
 
1 5 2 
a) b) c) 
4. Calcular el V.N. de: Q
(a; b; c; d) 
= 
4 
a + 5bc - 
6 
d
 
2 2 3 
 
para: a = 12; b = 2; c = 
1 
; d = 12 
d) 2 e) 1 10 
 
8. Indicar el G.A. del polinomio: 
 
1 
P
(x; y) 
= 3x2y7 - 
 
 
 
x4y3 + 8x6y4 
 
 
 
 
 
5. Calcular el valor numérico de: 
a) 11 b) 9 c) 7 
d) 10 e) 8 
 
para: x = - 1 
F
(x; y) = - 12x - 8y + 6x + 8y 
 
9. Cuál es el G.A. del polinomio: a) - 6 b) 6 c) - 1 
5 
7 4
 2 
 2 2 12 
d) 1 e) 0 
M
(x; y) 
= 
2 
x y
 
+ 
3 
x y
 
-3x 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 0 e) -1 
 
a) 0 b) 4 c) 2 
d) - 2 e) - 4 
 
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 10 
 
a) 6 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 10 
 
2 
 
6. Cuál es el valor numérico de: 
J
(x; y; z) 
= 8(x + y + 3z) - 6(x + y + 2z) - 2(x + y + z) 
1 
para: z = 
10 
3. Si: P(2) = 4, determine “m”, si: 
P
(x) 
= (m - 1)x2 + mx + m + 1 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
7. Determinar el grado del polinomio: 
P
(x; y) 
= 2x5y7 + x2y10 + xy11 
 
a) 10 b) 12 c) 11 
d) 15 e) 16 
 
8. Hallar la suma de coeficientes de P
(x)
, si el polinomio: 
P
(x) 
= 3mxm + xm + 2 - xm + 4 
es de grado 7. 
 
a) 7 b) 3 c) 9 
d) 5 e) 11 
 
9. Calcular “a”, si en el polinomio: 
P(x ; y) = 5x3y4 - 7xa + 3y8 + 2xa + 1y11 
se cumple que: G.R.
(x) 
= 8 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
4. H a l l a r “ m ”  IN, sabiendo que el polinomio “P
(x)
” es de 
grado 36. 
P
(x) 
= 0,2[x5m + 3]2 + 7 [xm + 1]3 ; ( m  lN ) 
 
a) 2 b) 3 c) 5 
d) 6 e) 8 
 
5. Calcular el valor numérico de la expresión: 
(2 - x - x2)1 - x ; para: x = - 2 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
6. Encuentre el grado absoluto de: 
F
(x; y) 
= 3xn + 4 . yn + 5 + xn + 1 . yn + 7; ( n  lN ) 
si: G.R.
(x) 
= 10 
 
a) 17 b) 18 c) 19 
d) 20 e) 21 
 
7. Indicar la suma de coeficientes del polinomio: 
d) 4 e) 5 P(x; y) = ax
a - 2 yb - 3 + bxa + 1 yb - 5xa - 3 yb + 3 
 
10.Cuál es el mínimo valor que puede tomar “n”, si en el 
 
siendo: G.R.(x) = 10 y G.A. = 16 
7 
4 n + 6
 
3 n + 4 4
 
polinomio: J
(x; y) 
= 
2 
x y
 
se cumple que: G.R.
(y) 
= 4 
- 5x y + xy a) 6 b) 10 c) 18 
d) 24 e) 32 
 
8. Si el grado absoluto del polinomio: 
 
P(x; y) 
 
= x2a yb + 5 + 2xa yb + 3 + 3xayb + 1 ; ( a,b  lN ) 
 
Bloque III 
 
1. Si: P
(x) 
= 5x2 + 7x - 12 
 
es igual a la mitad de la suma delos exponentes de 
todas sus variables, calcular “G.R.
(y)
”. 
calcular: P(1) 
P(1)
 
 
a) 1 b) - 1 c) 2 9. El grado de P(x) es 18. Indique el valor de “m” en: 
d) - 2 e) 0 P(x) = (x
m + 2)(xm - 3) 
 
2. Si: P
(x) 
= x2 - 3x + 1 
P(2)  P(1) 
calcular: E = 
P(4)  P(3) 
 
 
a) 1 b) 2 c) - 2 
d) 4 e) - 4 
 
 
 
 
10.Dado el polinomio: 
 
1 
G
(m;n) 
= 2m4n7 + 
 
 
 
 
 
 
m12 - 
 
 
 
 
 
 
9 
mn10 
5 
calcular: G.R.(m) + G.R.(n) 
 
a) 12 b) 22 c) 7 
d) 1 e) 8 
 
Autoevaluación 
 
 
1. Dado el polinomio: 
P
(x) 
= 5x2y3 - 7xy4 + 6x3y2 
 
entonces, su G.A. es: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
3. Si tenemos el polinomio: 
 
R
(a; b) 
= 7a8b3 - 
calcular: G.R.
(a) 
+ G.R.
(b)
 
 
 
1 
a5b4 + 
2 
 
 
5 
ab9 
3 
d) 5 e) - 4 
 
2. Para el polinomio: 
a) 11 b) 9 c) 8 
d) 17 e) 25 
 
4. Si tenemos el polinomio: 
7 9 1 4 2
 
 4 7 
 
2 5 4 7
 P = x
 
+ x + 1
 
Q
(x; y) 
= 
3 
x y
 
se cumple: 
+ x y 
2 
- 
3 
x y 
 
entonces el valor d 
(x) 
e: P
(- 2) 
 
es: 
 
a) G.A. < G.R.
(x) 
b) G.R.
(x) 
< G.R.
(y) 
c) G.A. < G.R.
(y) 
d) G.R.
(x) 
= G.R.
(y) 
e) G.R.
(y) 
< G.R.
(x)
 
a) 21 b) 18 c) - 19 
d) - 16 e) 0 
 
5. Dado el polinomio: 
 
entonces se cumple: 
P
(x) 
= x2 - 1 
 
a) P
(0) 
= 1 b) P
(2) 
= 5 c) P
(- 2) 
= 3 
d) P
(1) 
= 2 e) P
(- 1) 
= 2 
 
 
 
 
NOTAS CURIOSAS 
 
Como ya se había mencionado, en este capítulo veremos algunas ilusiones ópticas: 
 
¡Observa bien! 
 
Aparentemente las curvas de esta figura 
son espirales, sin embargo son circunferencias. 
Esto puedes comprobarlo con un compás. 
Lo que observas a continuación, es la 
denominada “Ilusión de Hering”. A cierta 
distancia, las dos líneas horizontales aparentan 
es ta r curva s, sin emba rgo no lo es tá n. 
¡Compruébalo con una regla! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora verás que estas curvas aparentan 
ser figuras ovalada s, sin embargo, son 
nuevamente, circunferencias. ¡Compruébalo 
con un compás!