ÁLGEBRA-5TO-

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Álgebra
Quinto Año
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Índice
ÁLGEBRA
QUINTO AÑO DE SECUNDARIA
 ● Ecuaciones y Sistemas Lineales.. ........................................................... 7
 ● Leyes de Exponentes ............................................................................... 14
 ● Polinomios.............................................................................................. 22
 ● Productos notables ................................................................................. 30
 ● División algebraica .................................................................................... 38
 ● Factorización .. ........................................................................................ 45
 ● Números Complejos I: Unidad imaginaria ............................................ 53
 ● Repaso ..................................................................................................... 59
 ● Números complejos II ............................................................................. 63
 ● Ecuaciones cuadráticas ............................................................................ 70
 ● Teoría de ecuaciones ............................................................................... 77
 ● Desigualdades e intervalos ...................................................................... 84
 ● Inecuaciones. ........................................................................................... 91
 ● Relaciones y funciones ............................................................................ 98
 ● Valor absoluto ......................................................................................... 105
 ● Repaso ..................................................................................................... 112
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 ● Funciones II .. .......................................................................................... 113
 ● Funciones III ........................................................................................... 119
 ● Funciones IV .......................................................................................... 126
 ● Funciones V ........................................................................................... 134
 ● Logaritmos I ............................................................................................. 142
 ● Logaritmos II.. ........................................................................................ 149
 ● Función exponencial y logarítmica ........................................................ 155
 ● Repaso ..................................................................................................... 164
 ● Función inversa ....................................................................................... 167
 ● Programación lineal I .............................................................................. 174
 ● Programación lineal II ............................................................................. 183
 ● Matrices I ................................................................................................ 194
 ● Matrices II ............................................................................................... 203
 ● Determinantes ......................................................................................... 211
 ● Matriz inversa .......................................................................................... 218
 ● Repaso ..................................................................................................... 226
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7
 ÁLGEBRA
¿Qué es una ecuación?
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas 
donde se puede reconocer por lo menos una variable, 
por ejemplo:
5x – 4 = 2x + 5
Solución de una ecuación
Es el valor que toma la incógnita y que hace verificar 
la igualdad.
Ejemplo: 5x – 4 = 2x + 5
Si x = 1 5(1) – 4 = 2(1) + 5 .... (F)
Si x = 3 5(3) – 4 = 2(3) + 5 .... (V)
Conjunto solución
Es el conjunto formado por las soluciones de una 
ecuación.
5x – 4 = 2x + 5
Solo se verifica para x = 3
Por lo tanto: C.S. = {3}
ECUACIÓN LINEAL DEL PRIMER GRADO
Clasificación de las ecuaciones lineales
2x – 8 =5
2x = 13
x = 13/2
C.S. = {13/2}
Ecuación compatible 
determinada
5x – 3 = 5x – 3
–3 = –3
(verdad)
C.S. = R
Ecuación compatible 
indeterminada
11x – 1 = 11x + 1
–1 = 1
(absurdo)
C.S. = ∅
Ecuación incompatible o inconcistente
Análisis de compatibilidad
La forma que se busca es: AX = B
Si me dicen que la 
ecuación es compatible 
determinada
Se cumple: 
A ≠ 0 ∧ B ∈ R
Si me dicen que la 
ecuación es compatible 
indeterminada
Se cumple: 
A = 0 ∧ B = 0
Si me dicen que la ecuación es incompatible o 
inconsistente
Se cumple: 
A = 0 ∧ B ≠ 0
Es un conjunto de ecuaciones lineales, con dos o más 
incógnitas que se verifican de manera simultánea 
para un determinado conjunto de valores que toman 
dichas incógnitas.
Ejemplo: x y
x y
2 5 11
3 2 7
+ =
- =
*
Es un sistema lineal que se verifica para:
x = 3 ∧ y = 1
Por lo tanto: C.S. = {(3;1)}
Forma general: Ax + B = 0; A ≠ 0
Donde: x = – A
B ⇒ C.S. = A
B-& 0
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Forma general: 
ax by c
mx ny p
+ =
+ =
*
Análisis de compatibilidad
Sistema compatible 
determinado
m
a
n
b!
Sistema compatible 
indeterminado
m
a
n
b
p
c= =
Sistema incompatible o inconcistente
m
a
n
b
p
c!=
Ecuaciones y Sistemas Lineales
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5TO AÑO
8
Trabajando en clase
Integral
1. Si:
 1 6x x x
x
3
4 2
12
3
4
5 1- - + = +
+_ i
 Halle: x2 – 
4
1
(CEPREPUC 2013)
2. Resuelve:
 10(x - 9) – 8(5 – x) = 2(4x – 1) + 5(1 + 2x)
3. Resuelve:
 3x – (2x – 1) = 7x – (3 + 5x) + (4 – x)
PUCP
4. Resuelve la ecuación lineal:
 (2m + 5)x2 + 3mx – 1 = –x2 + 8
Resolución:
Como nos dan de dato que la ecuación es de pri-
mer grado, entonces se debe cancelar el término 
cuadrático.
Veamos:
(2m + 5)x2 + 3mx – 1 = -x2 + 8
2m + 5 = -1 → m = -3
Pero como resolver significa calcular el valor de 
“x”, entonces reemplazamos el valor de “m” en la 
ecuación:
–x2 – 9x – 1 = –x2 + 8
–9x = 9
∴ x = –1
5. Resuelve la ecuación de primer grado:
 (p – 1)x2 –px + 7 – 3x2 = x2 – 2x + p
6. Calcula “a + b” si la ecuación:
 5ax – 3b = 2x + a
 Es compatible indeterminada.
(CEPREPUC 2013)
7. Si:
 2x + y = 8
 x + 2y = 10
 Halle x2 + y2
UNMSM
8. ¿Para qué valores a y b el sistema tiene infinitas 
soluciones?
8ax y
x by 9
+ =
+ =
*
 Da como respuesta la suma de valores encontrados.
(UNMSM 2004 – I)
Resolución:
Como el sistema de ecuaciones lineales es compa-
tible indeterminado, se cumple:
a
b1
1
9
8= =
 Entonces:
a y b b9
8 1
9
8
8
9
"= = =
 Por lo tanto: 
a + b = 9
8
8
9
72
145+ =
9. Determina el valor de “a . b” de modo que el sistema
6 ( 2) 3
( )
x a y
b x y2 5 2
- - =
- + =
*
 Tenga infinitas soluciones.
10. Si el par (1, a) es solución del sistema
3x y k
x y k5 2
- =
+ = -
*
 Halla el valor de “a”
(UNMSM 2011 – I)
11. En el sistema de ecuaciones
4
( ) ( )
ax by
a b x a b y 11
- =
+ + - =
*
 Halla la suma de valores de a y b para que la solu-
ción sea x = 3 e y = 2
(UNMSM 2010 – I)
UNI
12. ¿Para qué valores de “a” el sistema es incompatible?
(1 2 ) 5 7
( )
a x y
y a x4 2 8
+ + =
+ + =
*
(CEPRE UNI 2012)
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9
 ÁLGEBRA
Resolución:
Ordenando el sistema:
(1 + 2a)x + 5y =7
(2 + a)x + 4y =8
Además el sistema de ecuaciones lineales es in-
compatible. Si se cumple:
a
a
2
1 2
4
5
8
7!
+
+ =
Entonces:4 + 8a = 10 + 5a
3a = 6
∴ a = 2
13. Si el sistema:
( 3) (2 3) 24
( ) ( )
m x m y
m x m y3 1 8
+ + + =
- - - =
*
 No tiene solución, calcula el valor de “m”.
14. Dado el sistema lineal
2 3x y n
x y n2 3
+ = +
+ = -
*
 Halla “n” Para que “x” sea el doble de “y”.
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5TO AÑO
10
1. Resuelve: 
 x x+ − = + −14
1
3
1
9
1
2
 (PUCP)
a) 1 d) –11/5
b) 11/5 e) –2
c) 3 
2. Resuelve:
 6(3x – 1) + 3 (2x + 7) = 24(x – 2)
a) R c) 13 e) 11 
b) ∅ d) 0 
3. Resuelve:
 (x – 1) (x – 2) = x2 – 3(x + 1) + 5
a) { } d) –15
b) {0} e) R
c) –1 
4. Si:
 M P N y A M P
N P
� = = �
+
4 3
 Halle el valor de 2A
 (UNMSM 2011 – I)
a) 32 c) 4 e) 2
b) 16 d) 8
5. Calcula “n–m” si la ecuación:
 nx + (3 – m) = 7x + n + 5
 Tiene infinitas soluciones.
a) –2 d) 14
b) 5 e) 16
c) 6 
6. Si:
 2x + 7y = 24
 8y + 3x = 31
 Halla x2 + y2
 (CEPREPUC 2013)
a) 29 c) 38 e) 18
b) 25 d) 20
SIGO PRACTICANDO
--- -
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11
 ÁLGEBRA
1. d
2. b
3. e
4. d
5. e
6. a
7. c
8. a
9. b
10. e
Claves
7. Si:
 p
p q− =
4
3
 , halla el valor de: p q
p q
2 2−
+
 (PUCP 2013 – I)
a) 5q c) 3q e) -5q
b) 5p d) 3p
8. Resuelva:
 x + 2y = 5
 2y + 4x = 10
a) 53
5
3
; c) ( ; )1 2{ } e) R
b) ( ; ),( ; )3 1 1 2{ } d) ( ; )3 1{ }
9. Si el par (2; m) es solución del sistema
 
x y k
x y k
− =
+ = +



2
7 2 3
Halle el valor de “m”
a) 2 c) 3 e) -1
b) -4 d) 0
10. En el sistema de ecuaciones
 
 
ax by
a b x a b y
� =
+ + � =
7
24( ) ( )
 Halla la suma de valores de a y b para que la sol-
ción sea x = 5 e y = 1
a) 13 c) 10 e) 5
b) 6 d) 4
-
-
-
-
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5TO AÑO
12
Integral PUCP
1. Halla el valor de “x”
 2 1
3
13
24
3 5 1
8
x x x x- - + = + +( )
a) 1
b) 1/5
c) -1
d) -1/2
e) 2
2. Resuelve:
 4(3x-1) + 3(4x+1) = 12(2x-2)
a) R
b) ∅
c) 13
d) 0
e) 11
3. Resuelve:
 (x-3)(x+5) = x2 + 2(x-8)+1
a) { }
b) R
c) -1
d) -15
e) R
4. Resuelve:
 2 7
1 14
7
3x
x x-
+ =
-
+
a) {7}
b) {-7}
c) ∅
d) R
e) R-{7}
Tarea
5. Calcula “m-n” si la ecuación:
 nx - (3 – m) = 4x + 2(n – 1)
 es compatible indeterminada.
a) 13 d) 9
b) 5 e) 0
c) 2
6. Si:
 2x – y = 5
 x + y = 4
 Calcula: x2 + y2
a) 3 d) 7
b) 10 e) 4
c) -2
7. Si: a b a b* = +
2
, además:
 
 
 
x y
z y
x z
*
*
*
=
=
=
7
5
6
 Halle x + y + z
(CEPREPU 2013)
a) 22 d) 24
b) 18 e) 14
c) 16
8. Calcula el valor de m2 – 1 para que el valor de 
“x – 1 = y” en el siguiente sistema:
 6x – 2y = 4m
 3x + y = m + 1
(PUCP 2011 – I)
a) 3
b) 7/9
c) 8
d) 5/4
e) 0
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13
 ÁLGEBRA
UNI
13. Si el sistema:
 
 
( )
( )
k x y
x k y k
- + =
+ + = +




3 4 4
6 2 8
 Es incompatible, calcula el valor de “k”
(CEPREUNI 2012)
a) 5 y 6 d) 3
b) 5 e) 1
c) 6
14. Dado el sistema lineal:
 3x + 3y = n +2
 x + y = 3 – n
 Halla “n” para que “x” sea el triple de “y”.
a) 7/4
b) 1/3
c) 2/3
d) 4/3
e) 2/5
15. Al resolver el sistema:
 
x y x y
x y x y
+ + - - - = -
+ + + - - =




2 2 3 7 3
2 2 3 2 3 7 14
3
3
 Se obtiene que valor de x + y es:
(UNI 2008 – II)
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
UNMSM
9. Si el par (-2, m) es solución del sistema
 
2
7 3 1
x y k
x y k
- =
+ = -




 Halle el valor de “m”
a) 2
b) 10/3
c) -3
d) 3
e) 9/4
10. En el sistema de ecuaciones:
 
ax by
a b x a b
- =
+ + - =




2
13( ) ( )y
 Halla la suma de valores de a y b para que la 
solución sea x = 2 e y = 1
a) 13
b) 6
c) 10
d) 4
e) 7
11. Si:
 
x x
x y
34 34
34 34
30
24
+ =
- =




 Halla el valor de x
x
- 1
(UNMSM 2012 – II)
a) 27/5
b) 9/2
c) 80/9
d) 82/9
e) 82/3
12. Si se verifican simultáneamente las ecuacio-
nes
 3x+y=-4; 3x-z=-2 y 3z-y=-2
 Halla el valor de:
 
( ) ( ) ( )x y
z
y z
x
x z
y
+
+
+
+ +
3 3 3
(UNMSM 2013 – I)
a) -27
b) -8
c) 3
d) 24
e) 18
Claves
01. d
02. b
03. e
04. e
05. b
06. b
07. b
08. b
09. e
10. e
11. c
12. d
13. c
14. a
15. b
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5TO AÑO
14
 Exponente
 ↑
52 = 25
	 	 	 	 							↓											↓
Base Potencia
Exponente natural
an = a . a . ... . a, n ∈	N ∧ n ≥ 2
 1442443 n veces
• 37 = 3 . 3 . ... . 3
 1442443
 7 veces
• (x2)5 = x2 . x2 . ... . x2
 1442443
 5 veces
• x5 . x5 . ... . x5 = (x5)2n–3 = x10n–15
 1442443
 (2n–3) veces
• (–3)4 = 81 y (–4)3 = –64
 Observación: (–)PAR = (+)
 (–)IMPAR = (–)
Exponente cero
a0 = 1; ∀ a ≠ 0
• 4689740 = 1
• (–7)0 = 1
• –90 = –1
• (53 – 102 – 52)0 = (125 – 100 – 25)0 = 00
 Observación: “00 es indeterminado”
Exponente negativo
a–n = 
a
1
n
; a ≠ 0
• 3–2 = 
3
1
9
1
2
=
• 5
1 5 125
3 3= =
-
b l
• 3
2
2
3
4
92 2= =
-
b bl l
Propiedades
1. 
am . an = am+n
 • m7. m5 . m–3 = m7+5–3 = m9
 • 72n–5 . 7n+6 = 72n–5+n+6 = 73n+1
 • 2n+6 = 2n . 26
2. 
a
a
n
m
 = am–n
 • 
m
m
9
13
- = m
13–(–9) = m22
 • 
a
a
9
5
-
-
 = a–5+9 = a4
 • 
x
x
n
n
2 3
2 5
-
+
 = x5+3 = x8
 
3. 
(am)n = amn
 • (x4)9 = x36 
 • (x4)–3 = x–12
 • 164 = (24)4 = 216 
 • 9n+5 = (32)n+5 = 32n+10
POTENCIACIÓN
Leyes de Exponentes
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15
 ÁLGEBRA
 Índice raíz
 ↑ ↑
6 64 = 2 ↔ 26 = 64
	 	 						↓				↓
 Símbolo Radicando
 de raíz
Exponente fraccionario
am/n = amn
• x5/2 = x5
• n73 = n7/3
• a1/2 = a ; a1/3 = a3
• 8 8 2/3 1 3
1
= =
-
• 2 2 2 8327 27
3
3
11
= = =
-
Observación:
• NO EXISTEPAR - =_ i en R
• IMPAR - = -_ _i i
Propiedad
1. 
a a.nm m n=
• x x x. .543 52 3 4 524= =
• .8 2 16 4= =
• . .2 2 2 2x xx xx23 13 2 13=+ ++ ++
 2 2xx 33 =++
2. 
. .a b a bn n n=
• . .8 4 2 4 2 2 2= = =
• .9 3 27 33 3 3= =
3. 
, 0b
a
b
a bn
n
n
!=
• 27
125
27
125
3
53
3
3
= =
• 
2
8
2
8 4 2= = =
4. 
. .x x x x x. .23 112 3 2 1112= =
 • 3–5
2
 ≠ 3(–5)
2
 ≠ (3–5)2
 debido a que:
 3–25 ≠ 325 ≠ 3–10
4. 
(a.b)n = an . bn
 • (x2 . y3)6 = x12 . y18
 • 3x . 2x = (2 . 3)x = 6x
5. 
b
a
b
an
n
n
=b l
 • 3
2
5
2
125
83
3
3
= =b l
 • 
4
72
4
72 18
x
x x x= =b l
ECUACIÓN EXPONENCIAL
Teorema 1
ax = ay ⇔ x = y, a > 0 y a ≠ 1
• 35x+3 = 2711 ⇒ 35x + 3 = (33)11
 ⇒	35x+3 = 333
 ∴ x = 6
Teorema 2
ax = bx ⇔ x = 0, 
a ≠ b ∧ a.b ∈	r – {0;1}
• 3x–2 = 11x–2 ⇒ x – 2 = 0
 ∴ x = 2
Ecuaciones trascendentes
xx = yy ⇔ x = y, ∀xy > 0
• xx = 27
 ⇒ xx = 33
 ∴ x = 3
RADICACIÓN
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5TO AÑO
16
Trabajando en clase
Integral
1. Reduce la siguiente expresión:
 
.
. .M
18 27
30 81 15
2 4
2 3 2
=
2. Calcula el valor de:
E
2 2 2
2 2 2
x x x
x x x
3 2 1
1 2 3
=
+ +
+ +
- - -
+ + +
(UNALM 2007 – I)
3. Si 
c
a 58= , determina el valor de la expresión:
. .
. .
c b a
a b c
3 3
3
3 3
3
_
_
i
i
:
:
D
D
(UNAC 2011 – II)
PUCP
4. Si xx = 3, halla el valor de:
K x xx x2
x 1
= -
+
Resolución:
Se busca para reemplazarlo por el valor de 3:
 K x x.x x x 2
x 1
= - _ i
 K x 3x x 2
x1
= - _ i
 K x 9 18x x
x
= - =_ i
 .K 9 2 3 2= =
5. Si xx = 6, calcula: 
E xx x
x1
= +
+
(CEPREPUC 2013)
6. Luego de efectuar
. .x x x5 2 136 -
 Indicar el exponente final de “x”.
7. Al resolver y encontrar el valor de “x” en:
27 33 27
x x1 1
=
+ +
 Calcular el valor de: M = 6x + 10
(PUCP 2010)
UNMSM
8. Si: (2x – 1)2x = 
x2 8
1024
7 3-
 con x ≠ 2
1 , halle x2 53 +
 
Resolución:
Sabemos: x
x
2 1
2 4
1024x2
7 3
2
2
6
10
- =
-
_ i
?
S
 (2x – 1)2x = 
x2 2
2
7 6
10
-
Factorizamos en el denominador el 26
(2x–1)2x = 
x2 2 1
2
6
10
-_ i
 (2x–1)2x . (2x – 1) = 
2
2
6
10
 (2x –1)2x+1 = 24
Por simple comparación:
 2x – 1 = 2 ∧ 2x + 1 = 4
 2x = 3 ∧					 2x = 3∴ x2 5 8 23 3+ = =
9. Si (3x – 1)3x = 34 con x ≠ 3
1 , halle (x – 1)
10. Si aa = 264. Calcula el valor de “3a”.
11. Resuelve la ecuación:
22x+2 – 5(6x) = 32x+2
 Luego calcular el valor de 5x
(UNMSM 2011 – I)
UNI
12. Calcula el valor de “n” en la siguiente expresión:
.
. ;
a b
a b
a
b a b
n
43
1
6
4 25
13
1 6
1
!=
-
-d
d
n
n
Resolución:
Acomodamos la expresión así:
.
.
a b
a b a bn n
43
1
6
4 25
1
3
1 6
1
=
-
-
-
d n
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17
 ÁLGEBRA
Como se puede observar de la expresión el ex-
ponente final de a es –n y de b es “n” para am-
bos; entonces solo bastará con enfocarnos en a o 
en b. Escogeremos trabajar con a, así:
 
a
a
a n
43
1
43
1 6
1
=
-
-
d n
 
a
a
a
a
a
a
a
a a a
.
/
/
n
4
2
3
1
4 1 3
1 6
43
2
4 2
1
2
6
2
8
2/3
4= = = = =
- - - - - -_ _i i
13. Para qué valor de “x” se cumple la siguiente 
igualdad:
( ) . ;
a b
c
ab cb ab a b
x
x
2
43
2 3
9
10
!=
b
_
l
i
(UNI 1993 – II)
14. Calcula el valor de “x” en la expresión:
. .5 2 100 10
1x x x2 2 =-
(UNI 1993)
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5TO AÑO
18
16. Reduce la siguiente expresión: 
P = −
28 50 36
35 7 6 2
5 6 9
12 7 18 15
. .
. . . 
a) 4 c) 1 e) 3
b) 5 d) 2
17. Calcule el valor de “x”, si se cumple:
 3 3
3 3
27
26
4 1
3
n n
n
x+ +
+
−
−




 =
.
 (CEPREPUC 2013)
a) –1 c) 1 e) –2
b) 2 d) 3
18. Si a
c = 2
6 , determina el valor de la expresión:
 [( . ) . ]
[( . ) . ]
a b c
c b a
4 3 2 3
4 3 2 3 
a) 16 c) 128 e) 32
b) 27 d) 64
19. Si 4x – 4x-1 = 24
 Calcula el valor de el valor de ( ) /2 5x x
(UNVF 2009 – I)
a) 5 c) 25 e) 5 5
b) 25 5 d) 125
20. Luego de efectuar:
 x x x. .3 25 − , indica el exponente final de “x”.
a) 1/4 c) 1/10 e) 2/3
b) 1/5 d) 7/10
21. En la expresión exponencial:
 256 4
4 22 2 8 3+ +=
x x
 calcule el valor de “2x”
(CEPREPUC 2013)
a) 1 c) 4 e) 6
b) 2 d) 12
SIGO PRACTICANDO
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19
 ÁLGEBRA
16. d
17. c
18. e
19. a
20. d
21. c
22. c
23. d
24. a
25. b
Claves
22. Cuál de las siguientes afirmaciones son verdade-
ras?
 I. Si n es impar, (-2)n (-1)4 es positivo.
 II. -2n(-5)5 es negativo.
 III. (–3)(–3)(–3)...(–3)
k veces
 k es impar, es igual a -3k.
(CEPREPUC 2013)
a) Solo I y III c) Solo III e) Solo I
b) Solo II d) Solo I y II
23. Simplifique:
 E
n
n n= − + −
( ).
( ) .
4 18
3 6 21 2 1
a) 2n c) 2n+2 e) 2–1
b) 2n+1 d) 2
24. Si aa = 28 y 5 55
50
= ( )b b 
 Calcula el valor de “a-3b”
a) –11 c) 0 e) –2
b) 7 d) 9
25. Resuelve:
 5x
2
 . 3x
2
 . 225–x = 15–1
a) 2/3 c) 1 e) 2
b) 3 d) 1/2
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5TO AÑO
20
Integral PUCP
1. Reduce la siguiente expresión:
 
P = 15 6
9 4 125
3 4
3 2
.
. .
a) 4 d) 2
b) 3 e) 5
c) 19
2. Calcule el valor de B/A si:
A y B
x x
x
x x
x=
− = −
+ + − −
−
2 2
2
7 7
7
3 1 1 3
2
a) 12 d) 8
b) 7/8 e) 8/7
c) 7
3. Sean x e y dos números reales distintos de cero. 
Indica la expresión equivalente de:
 E x y
x y
x y
x y
=
−







 −








3 3
4 2
3 3
2 2
5
(UNAC 2002 – I)
a) y
x
2
2
 d) x
y2
b) x
y
 e) x
y






2
c) y
x
2
4. Si a b a b∇ = +( )2 2 3
 Calcula E = ∇
∇
6 10
3 5 (UNFV 2011)
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
Tarea
5. Luego de efectuar
 x x x. .
2 53 −
 Indicar el exponente final de “x”.
a) 2/5 d) 1/12
b) 1/3 e) 5/12
c) 3/5
6. Resolver y encontrar el valor de 2x” en:
 8 64
2 21 1+ −=
x x
 
a) 3
b) 1
c) 2
d) 9
e) 1/2
7. Si: 2x = 3 y 3y = 2
 Calcula: E = 4x+1 + 9y+2
a) 330 d) 350
b) 340 e) 360
c) 320
8. Halla el valor e “x”, si:
 3x+2 + 3x+1 + 3x + 3x-1 = 120
(PUCP 2009 – I)
a) 1
b) 2
c) 3
d) -1
e) -3
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21
 ÁLGEBRA
UNI
13. Al resolver el sistema:
 xy = yx
 y2 = x3
 calcula el valor de y/x:
(UNI 1989 – I)
a) 3/2 d) 3
b) 2/3 e) 1/2
c) 2
14. Resuelve:
 7 3 441
1
21
2 2x x x. . − =
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
15. Si xx
5
=5, calcula:
 
A x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x= +
+
+
5 52
5 5
(UNI 1990)
a) 55
b) 5
c) 5
d) 1/5
e) 1
UNMSM
9. Si: aa = 318 y 22
16
= bb
 Calcula el valor de “3a – 2b”
a) 2
b) 5
c) 8
d) 19
e) 15
10. Resuelve la ecuación:
 32x+1 – 2(15x) = 52x+1
 Luego calcula el valor de 2-x
a) 1
b) 2
c) 1/2
d) 1/4
e) 4
11. Determine el resultado al simplificar la expre-
sión:
 18 0 36 8 16 0 064
0 1 2 1 3 1 2 2 3− + −−, . ,/ / / /
(UNMSM 2005 – I)
a) 13/5
b) 344/50
c) 344/100
d) 56/25
e) 170/25
12. Si, b, x, r, ∈� y se verifica
 
bb
r r
x x
= + −
− =




 +
9 2 3
4
4 2 2 0
10 2
4
2 1.
 Entonces, se puede afirmar que:
(UNMSM 2008 – I)
a) x – b = 3
b) x + b = 3
c) |b| <|x|
d) x < b
e) xb = 2
Claves
01. b
02. a
03. e
04. c
05. e
06. e
07. b
08. b
09. d
10. b
11. d
12. d
13. a
14. a
15. a
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5TO AÑO
22
Es la expresión que enlaza una combinación finita 
de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y 
potenciaciones en las cuales los exponentes de las 
variables son enteros positivos.
Ejemplo:
• P(x,y) = 25x3y7 – 3x + 7y ⇒ Si es un polinomio
• Q(x) = 7x4y–2 – 3x1/6 + 7y2 ⇒ No es un polinomio
Polinomios de una variable
I. Polinomio lineal: 
 P(x) = ax + b; a ≠ 0
II. Polinomio cuadrático: 
 P(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0
III. Polinomio cúbico: 
 P(x) = ax3 + bx2 + cx + d; a ≠ 0
IV. Polinomio de grado “n” 
 P(x) = a0x
n + a1x
n-1 + a2x
n-1 + ... + an-1x + an; a0 ≠ 0
Donde:
- a0, a1, a2 ... an → coeficientes
- a0 → Coeficiente principal
- an → Término independiente
- n → Grado del polinomio
- n+1 → Número de términos del polinomio
TÉRMINO ALGEBRAICO
T(x,y) = –3a2 . x7 . y5
 123 14243
 variables coeficientes
Nota:
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos términos que tienen las mismas variables elevadas a los mismos 
exponentes.
7x3y8 ∧ 25x3y8
DEFINICIÓN DE POLINOMIO
VALOR NUMÉRICO
Si le agregamos valores a las variables de la expresión matemática y efectuamos las operaciones que se indican, 
el resultado que se obtiene se llama “valor numérico”.
1ER CASO 2DO CASO 3ER CASO
Si P(x) = x2 – 2, halla P(3)
P(x) = P(3)
x = 3
Reemplazamos x = 3
∴ P(3) = 32 – 2 = 7
Si P(2x-1) = x2 – 2, halla P(3)
P(2x–1) = P(3)
 
 2x–1 = 3
 x = 2
Reemplazamos x = 2
∴ P(3) = 22 – 2 = 2
Si P(x + 5) = 3x – 2. Halla P(2x + 3)
Cambiamos “x” por “a” ⇒ P(a+5) = 3a-2
P(a+5) = P(2x+3) ⇒ a + 5 = 2x + 3
 a = 2x – 2
Reemplazamos a = 2x – 2
∴ P(2x + 3) = 3(2x – 2) – 2 = 6x – 8
Nota:
• Suma de coeficientes P(1) • Término independiente P(0)
Polinomios
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23
 ÁLGEBRA
GRADOS DE UN POLINOMIO
MONOMIO POLINOMIO
M(x,y)=3x5y7z4 P(x,y)=x2y4-x4y3+2x5z5
GRADO
RELATIVO
Es el valor del exponente de la variable en 
referencia.
GR(x) = 5 ∧ GR(y) = 7
Es el valor del mayor exponente de la 
variable en referencia.
GR(x) = 5 ∧ GR(y) = 4
GRADO
ABSOLUTO
Se obtiene sumando todos los exponentes 
de sus variables.
GA(M) = 5 + 7 = 12
Se obtiene como la mayor suma de los 
exponentes de cada uno de sus términos.
GA(P) = 7
POLINOMIOS ESPECIALES
I. Polinomios idénticos:
 Dos o más polinomios son idénticos si son del mismo grado y si sus términos semejantes tienen los mismos 
coeficientes o cuando tienen los mismos V.N. para cualquier valor que le asignen a sus variables.
Si P(x) ≡ Q(x) y además P(x) = 3x2 – 7x + 2; Q(x) = ax2 + bx + c
• Como son idénticos, entonces:
∴ a = 3; b = –7; c = 2
II. Polinomio idénticamente nulo:
 Es aquel en el que todos sus coeficientes son iguales a cero o cuando sus V.N. para cualquier valor que 
le asignen a sus variables resulta ser cero.
Si P(x) = (a+ 2)x2 + (2c – 6)x – b + 7 es idénticamente nulo.
• Como es nulo, entonces sus coeficientes son ceros
a + 2 = 0; 2c – b = 0; –b + 7 = 0
∴ a = 2; c = 3; b = 7
III. Polinomio homogéneo:
 Se caracteriza por poseer sus términos de igual grado.
M(x,y) = 4x9 . y6 – x7 . y8 + 5x10 . y5
 123 12 3 14243
 15 = 15 = 15
IV. Polinomio ordenado:
 Es cuando sus exponentes solo aumentan o disminuyen.
P(x) = 7 + x – x3, es creciente
Q(x) = x4 – 8x2 + 2x – 1, es decreciente
R(x) = + x2 – 9x + 2y5, es decreciente respecto a “x”
V. Polinomio completo:
 Es cuando existen los términos de todos los grados incluyendo el término independiente, hasta un gra-
do determinado.
P(x) = 4 + 6x3 + x – 3x2, es completo y de grado 3
Q(x, y) = 7x2y + 9x + 11, es completo con respecto a “x” y de grado 2.
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5TO AÑO
24
Trabajando en clase
Integral
1. Si P(x) es un polinomio definido por:
 P(x) = 3x8-n – 5xn-4 + x2 n3
 Calcula “n”
2. Si: f(2x – 1) = x
2 – 3 y g(x) = x
x
4 1
1
+
+
 Halla: f(4) . g(3)
3. En el monomio M(x;y) = 4(m –1)x
n+3y3m el GA 
es 21 y el GR(y) es igual al coeficiente. Halla el 
valor de “m . n”
(UNALM 2009 – I)
PUCP
4. Calcula el término independiente y la suma de 
coeficientes del siguiente polinomio:
 P(x) = (3x –2)5 + (1 – x)n – (x – 3)2 + 7
Resolución:
Sabemos:
Suma de coeficientes ⇒ P(1)
Término independiente ⟹ P(0)
Entonces:
Suma de coef. = P(1) = (3–2)5 + (1–1)n – (1–3)2 
+ 7
 = (1)5 + (0)n – (–2)2 + 7
 = 1 + 0 – 4 + 7 = 4
Térm. Indep. = P(0) = (0–2)5 + (1–0)n – (0–3)2 
+ 7
 = (–2)5 + (1)n – (–3)2 + 7
 = –32 + 1 – 9 + 7 = –33
5. Si: P(x) = (x – 1)2013 + (x + 2)3 + x – 3 + a, y su 
término independiente es –15.
 Calcula la suma de coeficientes de P(x)
(CEPREPUC 2006)
6. Los siguientes monomios:
 axmy3z5 ∧ bxmynza se reduce a 4ax4ynz5.
 Calcula “– a + b + m – n”
7. Si P(2 – x) = x2 + 2x – 2, halla la suma de los 
cuadrados de los coeficientes del polinomio 
P(x).
(PUCP 2011 – II)
UNMSM
8. Halla el valor de a2 + b2 – c2”, si el polinomio:
 P(x) = x2a+1 + 2xb+3 + 3xc+2 + … + 2c
 Es completo y ordenado.
Resolución:
Del polinomio se observa que tiene “2c” térmi-
nos, y es de grado “2c+1”; entonces:
(2a + 1) + 1 = 2c → 2a + 2 = c a + 1 = c
Se sabe que el polinomio es completo y ordena-
do de manera decreciente:
 P(x) = ...x x x c2 3 2a b c2 1 3 2+ + + ++ + +
Entonces:
 • (2a + 1) – 2 = (c + 2)
 → 2a – c = 3, pero c = a + 1
 → 2a – (a + 1) = 3 → a = 4 c = 5
 • (2a + 1) – 1 = (b + 3), pero a = 4
 → 2.4 + 1 – 1 = b + 3 → b = 5
 ∴ a2 + b2 – c2 = 16
9. Si el polinomio:
 P(x) = nxn+5 + (n + 1)xn+6 + (n+2)xn+7 + ...
 Es ordenado y completo, calcula: P(1) – P(–1)
(UNMSM 2009 – II)
10. El polinomio
 P(x;y) = (m + 5)xy4 + (n + 4)x4y – 3xy4 – 5x4y
 es idénticamente nulo. Halla el valor de mn + n–m
(CEPREUNMSM 2011 – I)
11. Halla la suma de coeficientes del polinomio ho-
mogéneo
 P(x,y) = 3axn–5y12 + 2(a–b)xayb + (7b+4)xny3n–14
(CEPREUNMSM 2011 – I)
UNI
12. Sean los polinomios
 L(x) = x5 – 2x + p
 B(x) = mx2 + p
 M(x) = mx + n + p
 Si L(–1) = 7, B(2) = M(1) = 10
 Halla x tal que M(x) = 0
Resolución:
Por dato:
 L(x) = x5 – 2x + p ∧ L(–1) = 7
 → L(–1) = (–1)5 –2(–1) + p
 → 7 = –1 + 2 + p → p = 6
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25
 ÁLGEBRA
Además: 
B(x) = mx2 + p → B(2) = 10
 → B(2) = m . 22 + p
 → 10 = 4m + 6 → m = 1
También: 
 m(x) = mx + n + p ∧ M(1) = 10
 → M(1) = m + n + p
 → 10 = 4m + 6 → m = 1
Reemplazamos en M(x):
M(x) = x + 9
Nos piden hallar x tal que M(x) = 0
M(x) = x + 9 = 0
∴ x = –9
13. Sean los polinomios
 P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
 Q(x) = ax2 + d
 R(x) = ax + b
 Si P(0) = 2, Q(1) = R(2) = 1
 Halla x tal que R(x) = 0
(UNI 2000 – I)
14. Si el polinomio
 P(x) = (ab–ac–n2)x2 + (bc–ba–2n)x + (ca–bc–1)
 Es idénticamente nulo.
 Calcula el valor de: E = a b c
1 2 1+ +
(CEPREUNI 2013 – I)
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5TO AÑO
26
19. Si: P x y x y x y x ya b a b a b( , ) . . .= − ++ − − +3 51 2 1 3, 
 además GR(x) 4 y GA = 11, calcula “a.b”
a) 27 c) 24 e) 16
b) 30 d) 15
20. Si
 P(x,y) = -4mx2m+1 . y3n-5 ⋀ Q(x,y) = 2nxm+3 . y-n+3
 Son términos semejantes, calcula el coeficiente de 
la suma de P + Q
a) 3 c) 5 e) 4
b) –4 d) –6
21. Si f(x – 1) = x2 – x + 1
 Indica la suma de coeficientes de f(x). 
a) 2 c) 1 e) -4
b) 3 d) -3
SIGO PRACTICANDO
16. Si P(x) es un polinomio definido por: 
 
 P x x x x x
n n n n( ) / /= + � +� �28 5 3 115 8
 Calcula “n”
a) 12 c) 30 e) 15 
b) 45 d) 10
17. Si f xx( ) ( )5 3
32− = + y g x
x
x( ) =
+
−
1
1 
 Halle el valor de f(g(3))
a) 8 c) 27 e) 125
b) 1 d) -8
18. En el monomio
 M a x yx y
b a
( ; ) ( )= −
+ +2 3 4 3 1el GA es 23 y el GR(y) 
es igual al coeficiente. Calcula el valor de “ab”.
a) 21 c) 27 e) 36
b) 18 d) 32
-- 1--
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27
 ÁLGEBRA
16. e
17. c
18. a
19. d
20. b
21. b
22. e
23. a
24. c
25. c
Claves
22. Calcule n, si el grado absoluto de E(x) es 4 
P x x x
x
n
( ) .=
+
−
2 3 23
1
(UNMSM 2009 – II) 
a) 9 c) 2 e) 4
b) 7 d) 3
23. El grado de E(x,y) = 16x2m+b = yn+4 con respecto 
a “y” es igual a 12. Si su grado con respecto a x es 
a su grado con respecto a y como 4 es a 3, halla el 
GA(E)
(CEPREPUC 2013)
a) 28 c) 24 e) 26
b) 22 d) 20
24. El polinomio
 P x y a x y b y x c xya( ; ) ) ( ) ( )= − + + − −27 1 7 212 3 2
 Es idénticamente nulo, calcula el valor de “abc”. 
a) 24 c) -9 e) -6
b) -18 d) 9
25. Calcula el grado de homogeneidad de
 P x y x y x y
a b b a b( , ) = ++ + +3 2 8 4 , 
 si GR(y) – GR(x) = 2.
 (CEPREUNI 2012 – II)
a) 24 c) 26 e) 22
b) 20 d) 18
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5TO AÑO
28
1. Si P(x) es un polinomio definido por:
 
P x x x x xn
n n
n( ) = + − −− −7 1
2
3 1
2
11 2 3 4
 Calcula “n”
a) 12 d) 9
b) 4 e) 0
c) 6
2. Si P(2x-2) = (x + 2)
3 + 3(x – 1) + x + 5
 Halla el valor de: P(0)
a) 27
b) 30
c) 33
d) 35
e) 37
3. En el monomio M(x;y) = (2a – 7)x
b+3ya-1 el GA 
es 15 y el GR(y) es igual al coeficiente. Halla el 
valor de “ab”.
a) 20
b) 28
c) 27
d) 42
e) 14
4. Si
P x y xa yb xa yb x yb( , ) = + − + + − − −3 3 5 5 2 3 7 2 4
 Tiene GR(x) = 7 y GA(P) = 10. Calcula: GR(y)
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
Integral PUCP
Tarea
5. Los siguientes monomios:
 3 85 2 9 3x y x ya b+ +∧ − se reducen a (c–7)x9y2. 
 Calcula “a + b + c”
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
6. Si P(x+1) = x3 – 2x2 + 3x – 2. Halla la suma 
de sus coeficientes de P(x).
a) -1
b) 2
c) 4
d) -3
e) -2
7. Calcule el grado absoluto de P(x), si:
 P x x x x x x( ) .( ) . .( ) .
( )= − − −3 3 2 3 3 2 3
2 2 2
(CEPREPUC 2013)
a) 9
b) 18
c) 27
d) 33
e) 36
8. Si el polinomio P(x) = x2 + 6 se puede escri-
bir como a(x + 2)2 + b(x + 2) + c.
 Calcula: “a – b + c”
a) 1
b) 2
c) 3
d) 7
e) 15
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29
 ÁLGEBRA
UNI
13. Sean P,Q dos polinomios dados por
 P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
 Q(x) = 2x3 – x2 + 3x + 1
 Si P(x) ≡ Q(x – 1), determina el valos de 
 “a + b + c + d”
(UNI 2001 – I)
a) 0 d) 3
b) 1 e) 5
c) 2
14. Encuentra el valor de a5 – 15a, si el polinomio 
 P(x)=(a +b–c–10)x +(c–b+a)x
 es idénticamente nulo.
(CEPREUNI 2013 – I)
a) 2 d) 0
b) 1 e) 4
c) 3
15. Si P(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1.
 Determina: [ ( ) ]
[ ( ] [ ( )]
( / ) /
/ /
P x
P x P x
P 1 3 27 8
1 3 1 31 1
−
− + +
 Cuando x = ½
a) 1 d) 8
b) 1/8 e) 4
c) 1/4
UNMSM
9. El polinomio
 P(x)=(aa-12)x4+(b3+8)x2-15x4+3c+6
 Es idénticamente nulo. Halla el valor de “abc”.
a) 4
b) 8
c) 10
d) 11
e) 12
10. Halla P(1; 1), si P(x; y) es un polinomio ho-
mogéneo P(x, y) = bxaya+1 + abxbya + bay3
(CEPREUNI 2013)
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
11. Si f(x) = (3ª)x; a > 0 y f(x – 1) = 9f(x + 1), halla 
el valor de “a”.
(UNMSM2006 – 1)
a) –1
b) 1/3
c) 3
d) 9
e) 1/27
12. Sabiendo que 
 f(x+6) = ax + b, f(2) = -14 y f(-3) = -29
 Halle el valor de “2a – b”
(UNMSM 2010 – II)
a) 8
b) -6
c) 10
d) 4
e) 12
Claves
01. c
02. c
03. d
04. c
05. c
06. e
07. a
08. e
09. e
10. d
11. a
12. a
13. b
14. a
15. b
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5TO AÑO
30
BINOMIO AL CUADRADO
Son resultados de ciertas multiplicaciones algebraicas que se obtienen de forma directa, sin la necesidad de 
aplicar los axiomas de la distribución.
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab
Ejemplos:
• (x+5)2 = x2 + 52 + 2(x)(5) = x2 + 25 + 10x
• (m – 7)2 = m2 + 72 – 2(m)(7) = m2 + 49 – 14m
• (2x2 + 3)2 = (2x2)2 + 32 + 2(2x2)(3) = 4x4 + 9 + 12x2
• 7 2 7 2 2 7 2 9 2 142 2 2- = + - = -_ i
Nota:
1 .x x x x
x x x x
1 2 1 1 2
2 2
2
2
2
+ = + + = + +b l
2 . 2x x x x
x x x x
1 1 1 12 2
2
2
2
- = + - = + -b l
IDENTIDAD DE LEGENDRE
(a + b)2 + (a – b)3 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Ejemplos:
• (x + 3)2 + (x – 3)2 = 2(x2 + 32)
• (m + 3n)2 – (m – 3n)2 = 4(m)(3n)
Nota:
x x x x x x
1 1 2 1
2 2 2
2
+ + - = +b b dl l n
4. . 4x x x x x x
1 1 12 2+ - - = =b bl l
DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Ejemplos:
• (x + 6)(x - 6) = x2 – 62 = x2 – 36
• 5 2 5 2 5 2 5 2 32 2+ - = - = - =_ _i i
• (n2 + 1)(n2 – 1) = (n2)2 – 12 = n4 – 1
• (n4 + 1)(n4 – 1) = (n4)2 – 12 = n8 – 1
BINOMIO AL CUBO
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Forma reducida: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Forma reducida: (a + b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
Ejemplos:
• (x + 1)3 = x3 + 13 + 3(x)(1)(x + 1) • (x – 1)3 = x3 – 13 – 3(x)(1)(x – 1)
• (3m – 2)3 = (3m)3 – (2)3 – 3(3m)(2)(3m – 2)
Nota:
3 . 3x x x x
x x x x x x
x x
1 1 1 1 1 13 3
3
3
3
+ = + + + = + + +b b bl l l
3 . 3x x x x
x x x x x x
x x
1 1 1 1 1 13 3
3
3
3
- = - - - = - - -b b bl l l
Productos notables
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31
 ÁLGEBRA
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
Ejemplos:
• (x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 23 = x3 + 8
• (x – 3) (x2 + 3x + 9) = x3 – 33 = x3 – 27
• (3m + 1) (9m2 – 3m + 1) = (3m)3 + 13 = 27m3 + 1
• 7 2 49 14 4 7 2 7 2 53 3 3 3 3 3 3- + + = - = - =_ _i i
IDENTIDADES DE STEVIN
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ejemplo:
• (x + 6) (x – 9) = x2 + (6 – 9)x + (6) (-9) = x2 – 3x – 54
• (x – 3) ( x – 1) = x2 + (- 3 – 1)x + (-3) (-1) = x2 – 4x + 3
IDENTIDADES ADICIONALES
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b + c)(a + c)
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
Ejemplo:
A = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4) + 64
A = (x2 – 4)(x4 + 4x2 + 16) + 64
A = (x2)3 – 43 + 64 = x6
IDENTIDADES CONDICIONALES
Si a + b + c = 0
• a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac)
• a3 + b3 + c3 = 3abc
Ejemplo:
Si a + b + c = 0, calcula el valor de:
3 2 1M abc
a b c
ab bc ac
a b c3 3 3 2 2 2= + + + + +
+ + = - =
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5TO AÑO
32
Trabajando en clase
Integral
1. Si x + y = 10; xy = 5, calcula x2 + y2
2. Si x – y = 4; xy = 1, calcula x3 + y3
3. Si x + y = 6; x2 + y2 = 15
 Calcula x – y, si x > y
PUCP
4. Si x x
1 4+ = , calcula x2 + 
x
1
2
 + x3 + 
x
1
3
Resolución:
Sabemos que:
 .x x x x
x x
1 1 2 1
2 2
2
+ = + +b l
 → 42 = x2 + 
x
1
2
 + 2
 → x2 + 
x
1
2
 = 14
 También:
 3 .x x x x
x x x x
1 1 1 13 3
3
+ = + + +b bl l
 → 43 = x3 + 
x
1
3
 + 3(4)
 → x3 + 
x
1
3
 = 52
 ∴ x2 + 
x
1
2
 + x3 + 
x
1
3
 = 14 + 52 = 66
5. Si x – x
1 = 3, calcula x2 + 
x
1
2
 +x3 – 
x
1
3
6. Si a = 3 1- , calcula:
E = a a
2 2
1
2 2
12 2+ + -d dn n
(CEPREPUC)
7. Si:
 M = (3b – 2a)(9b2 + 6ab + 4a2)
 N = (2a a2 – 3b)(2a a2 + 3b)
 Calcula: 
b b
M N
9 33 2-
+
(CEPREPUC)
UNMSM
8. Si: a b a b
2 1
2
8+ = +
, a y b números no núlos.
 Calcula E
a b
a b
52
17
6 6
6 6
=
-
+
(UNMSM 2002)
Resolución:
Por dato:
 .a b a b a b
a b
a b
2 1
2
8 2
2
8
"+ = +
+ = +
 → (a + 2b)2 = 8ab → a2 + 4ab + 4b2 = 8ab
 → a2 – 4ab + 4b2 = 0
 → (a – 2b)2 = 0 → a – 2b = 0 → a = 2b
Entonces: a6 = (2b)6 = 64b6
Reemplazando:
 E
a b
a b
b b
b b
b
b
52
17
64 52
64 17
12
81
6 6
6 6
6 6
6 6
6
6
=
-
+ =
-
+ =
 = 4
27
9. Si a b a b
1
3
1
3
4+ = +
, a y b números no nulos. 
 (a ≠ b)
 Calcula E
a b
a ab b
2 2
2 2
=
-
+ +
10. Si x2 + 5x – 3 = 0, calcula el valor de:
 U = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)
11. Suponiendo que a + b + c = 0 y a, b y c no nulo, 
calcula:
 E bc
a
ac
b
ab
c2 2 2= + +
(UNMSM 2004 – II)
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33
 ÁLGEBRA
UNI
12. Si se sabe que: 
x
a
a
x 7
9
9
+ = , ¿cuál es el valor de 
 la expresión 
x
a
a
x
9
4
9
4+ ?
(UNI 1981)
Resolución:
Sea: M
x
a
a
x
9
4
9
4= +
 2M
x
a
x
a
a
x
a
x4 2
9
9
2
9
4
4 94
2
= + +
 M
x
a
a
x22
9
9
= + +
 M
x
a
a
x22 2
9
9 2
- = +_ fi p
 M
x
a
a
x2 22 2
9
9
- = + +_ i
 
 (M2 – 2)2 = 7 + 2
 M2 –2 = 3 → M = 5
13. Si se sabe que: 
x
y
y
x 14
3
3
+ = , ¿cuál es el valor 
 de la expresión 
x
y
y
x
3
4
3
4+
14. Halle el valor numérico de
 
.
P
m n
n m
3 3
3 3 1
= +- -
- - -
f p si ; m n 123+ = ; 
 mn 2 183=
(UNI 2008 – I)
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5TO AÑO
34
16. Si x x+ =
1 3, calcula x
x
2
2
1+ 
a) 1 c) 2 e) 4
b) 7 d) –3
17. Halla x + y, dado:
 xy(x + y) = 420
 x3 + y3 = 468
 (UNFV 2011 – II)
a) 11 c) 24 e) 13
b) 10 d) 12
18. Si a + b = 4ab = 2, calcula a – b, si a > b
a) 4 c) 2 2 e) 6
b) 2 d) 6
19. Reduce:
 (3x+2)(3x–2)(9x2–6x+4)(9x2 + 6x + 4) – (3x)6
a) 0 c) 8 e) 729x6
b) -64 d) x6
20. Si: 3 1+ , calcula:
 E = (a + 1)2 + (a – 1)2
a) 3 2+ c) 3 2− e) 2 3 2−
b) 2 3 2( )+ d) 2 3
21. Reduce:
 M x x
x
x
x x x
= − +
−








+
+ − +








4 2
2 2
2017 3
2
20
2 1
1
8
2 2 4( )
.
( )( )
114
a) –1 c) x2017 e) x3
b) 2 d) 1
SIGO PRACTICANDO
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35
 ÁLGEBRA
16. b
17. d
18. c
19. b
20. b
21. d
22. d
23. d
24. c
25. a
Claves
22. Si ab
b
a a b+ = ↑1 0,( ; ) 
 Determina a b
a b
4 4
2 2
+ 
(PUCP 2009 – I) 
a) 1 c) 3 e) –2
b) 2 d) –1
23. Simplificar:
(x + 1 + 2 x)(x +1 –2 x) + (x + 1)2
2(x + 1 + 2)(x + 1 – 2x)
(PUCP 2009 – II)
a) 3 c) 1 e) 2x – 1
b) 2 d) 4
24. Si xm + 1
xm
 = 2.m∈ + , calcula x3m + x-3m
(UNMSM 2013 – I)
a) 2 c) 6 e) 12
b) 4 d) 8
25. Si a(b + c) = –bc y a + b + c = 2, entonces el 
valor de: a2 + b2 + c2
 (UNMSM 2010 – II)
a) 4 c) 2 2 e) 4 2
b) 2 d) 3
=≠
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5TO AÑO
36
1. Si a – b = 7; ab = 3, calcula a2 + b2
a) 49
b) 14
c) 43
d) 52
e) 55
2. Si la suma de dos números es 10 y la suma de 
sus cubos es 100. El producto de estos núme-
ros es igual a:
(UNAC 2012 – I)
a) 20
b) 40
c) 25
d) 10
e) 30
3. Si a – b = 6; ab = 16, calcula a + b, si a y b son 
números positivos.
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
4. Simplifica:
( )( )( )2 1 8 1 4 2 1 1
64
3 2
6
x x x x
x
− + + + +
a) 0
b) 1
c) 1/2
d) x2
e) x2/2
Integral PUCP
Tarea
5. Si: a = −5 1 , calcula:
 
E a a= +





 + −






2
1
2 2
1
2
2 2
a) 5 d) 5/2
b) 5
2
 e) 1
c) 5
6. Si: M a b a ab b
N a b a b
= + − +
= − +
( )( )
( )( )
2 3 4 6 9
2 27 2 27
2 2
3 3
 Calcula: M N
a a
+
+2 3 2
a) 1 d) 4
b) 2 e) 2a
c) 4a
7. Si (a – b)2 + (b – c)2 = 0
 halla: K a ac bc
ab
= + +
2 3 5
3 
(CEPREPUC 2008)
a) 2 d) 3
b) 3 e) 9
c) 3 3
8. Si (x + y)2 = 4xy, halle R yx= 273
(CEPREPUC 2013)
a) 27
b) 3
c) 3 3
d) 3
e) 9
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37
 ÁLGEBRA
UNI
13. Si ab = 3 ya2 – b2 = 3, ¿cuál es el valor 
 de a
b
b
a





 +






4 4
? 
a) 7
b) 14
c) 23
d) 34
e) 47
14. Si x y− = 2 , x + y = 20; x > 10, calcula el 
 cociente x
y (UNI 1985 – II)
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
15. Si 1 1 4
x y x y
+ =
+
, calcula el valor de
 
A x y
xy
x y
x
y
x y
=
+
+
+
+
+
2 2 2
2
2
3
(UNI 1985)
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
UNMSM
9. Si x2 – x + 3 = 0, calcula el valor de:
 P = (x + 1)(x – 2)(x + 3)(x – 4)
a) 36
b) 45
c) 54
d) 65
e) 75
10. Si a + b + c = 0, calcula el valor de:
 M
a b c b a c c a b
abc
= + + + + +( ) ( ) ( )
2 2 2
a) 3abc
b) a
c) bc
d) 1
e) 3
11. Si la diferencia de dos números es 4 y la suma 
de sus cuadrados es 24, ¿cuál es la diferencia 
de sus cubos?
(UNMSM 1997)
a) 102
b) 72
c) 94
d) 112
e) 128
12. Sean a y b números reales positivos, si:
 a
b
b
a





 +





 =
2 2
2 , calcula:
 a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
+ + + + + + + +
2
2
2
2
3
3
3
3
50
50
50
50...
(UNMSM 2012 – I)
a) 150
b) 200
c) 175
d) 100
e) 120
Claves
01. e
02. e
03. d
04. b
05. a
06. d
07. b
08. b
09. e
10. e
11. d
12. d
13. c
14. e
15. d
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5TO AÑO
38
Sean D(x) y d(x) dos polinomios, tales que el grado 
de D(x) es mayor o igual que el grado de d(x).
La división está denotada por D(x) ÷ d(x) o ( )
( )
d x
D x , y 
consiste en hallar los polinomios q(x) y R(x).
D(x) = d(x) . q(x) + R(x)
Donde:
 D(x): Dividendo
 d(x): Divisor
 q(x): Cociente
 R(x): Residuo o resto
Además: GA(D) ≥ GA(d) y GA(d) > GA(R)
CLASES DE DIVISIÓN
De acuerdo a su resto, se puede clasificar en:
I. División exacta: 
 La división es exacta si y solo si R(x) ≡ 0
D(x) = d(x) . q(x)
II. División inexacta: 
 La división es inexacta si y solo si R(x) ≠ 0
D(x) = d(x) . q(x) + R(x)
PROPIEDADES DE GRADOS DE LA DIVISIÓN
I. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
GA(q) = GA(D) – GA(d)
II. El máximo grado que puede alcanzar el residuo, es igual al grado del divisor menos uno.
GAmax(R) = GA(d) – 1
MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
I. Método de Horner
 Se utiliza para dividir polinomios de cualquier 
grado.
 Procedimiento
 Paso 1: Los polinomios dividendo D(x) y el di-
visor d(x) deben estar completos, y si falta algún 
término, en su lugar se reemplazará con un coefi-
ciente cero.
 Paso 2: Armar el esquema de Horner, donde los 
coeficientes del divisor van con signo cambiado. 
Además de trazar una línea vertical que separe los 
coef. del q(x) de los coef. del R(x).
Coeficientes del dividendo D(x)
Coeficientes del
cociente q(x)
Coeficientes del
resto R(x)
Coef. del
d(x) con
signo
cambiado
Coef. principal
del d(x)
 Paso 3: El esquema se completa haciendo las si-
guientes operaciones aritméticas:
 ÷ × +
División algebraica
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39
 ÁLGEBRA
Trabajando en clase
Integral
1. Al dividir 
x x
x x x
2 1
2 3 3
2
4 2 3
+ -
+ - + , calcula el q(x) y 
R(x)
2. Calcula a – b, si la división:
 
x x
x x x ax b
3
3 4
2
4 3 2
+ +
- + - + es exacta.
(CEPREUNAC)
3. Si el polinomio P(x) = x3 + 3x2 + ax + b es divisible 
por x2 + 2x – 8; entonces, halla el valor de “a – b”
(UNFV 2007)
PUCP
4. En la división 
x x
x x mx n
3 2 1
9 6
2
4 3
+ -
+ + + , el resto de la 
 división es 3x + 7. Calcula el valor de m + n.
Resolución:
3 9 6 0 m n
–2 –6 3
1 0 0
–2 1
3 0 1 3 7
÷
÷
÷
1444442444443 144424443
coef q(x) coef R(x)
II. Método de Ruffini
 Se considera un caso particular del método de 
Horner, puesto que este método se utiliza cuando 
el divisor es de primer grado o adopta la forma 
lineal: d(x) = ax + b; a ≠ 0.
 Procedimiento
 Paso 1: El polinomio dividiendo D(x) y el divisor 
d(x) deben estar completos, y si falta algún térmi-
no, en su lugar se reemplazará con un coeficiente 
cero.
 Paso 2: Armar el esquema de Ruffini, los coefi-
cientes del dividendo van con su respectivo sig-
no. Además trazar una línea vertical en el último 
término, de tal manera que separe los coef. q(x) 
de R(x).
 Nota: Si a ≠ 1, se realiza una división adicional 
solo a los coeficientes del coeficiente q(x).
TEOREMA DEL RESTO
Este teorema se aplica en divisiones de la forma:
( )
ax b
P x
+
En este tipo de divisores, el resto se obtiene calculando 
el valor numérico del dividendo, cuando x = –b/a. 
Entonces:
R(x) = P a
b-d n
Ejemplo: Calcula el resto de dividir
x
x x x
4
5 2 725 2
+
+ + + - -_ _i i
1º paso: d(x) = x + 4 = 0 → x= –4
2º paso: Reemplazamos este valor en el dividendo:
 R(x) = D(–4) = (–4 + 5)25 + (2 + –4)2 – (–4) – 7
 R(x) = 125 + (–2)2 + 4 – 7 = 1 + 4 – 3 = 2
Ejemplo: Calcula el resto de dividir
x
x x x
1
3 5
2
10 8 4
+
+ + -
1º paso: d(x) = x2 + 1 = 0 → x2 = –1
 El dividendo se puede expresar como:
 D(x) = (x2)5 + 3(x2)4 + (x2)2 – 7
2º paso: Reemplazamos x2 = –1 en el dividendo D(x):
 R(x) = (–1)5 + 3(–1)4 + (–1)2 –7
 R(x) = –1 + 3(1) + 1 – 7 = –1 + 3 – 6 = –4
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5TO AÑO
40
Entonces:
 R(x) = 3x + 7 = (m – 2)x + (n + 1)
 m – 2 = 3 ∧ 7 = n + 1
 m = 5 ∧ n = 6
 ∴ m + n = 11
5. Si el resto de dividir 
x x
x x mx nx p
2 3
8 4
3 2
5 3 2
+ +
+ - + +
 es 5x2 – 3x + 7, halla el valor de “m+n+p”.
6. Calcula suma de coeficientes del cociente
 x
x x x x
2 5
6 13 2 174 3 2
-
- - - -
7. El polinomio por el cual hay que dividir x3 – 2 
para obtener x – 3 como cociente y 8x + 1 como 
residuo, es:
(PUCP 2008 – II)
UNMSM
8. Halla el resto de dividir:
 ( )x
x x x x
2
16 2 3 7 92012014 0 50
-
- + - - +
Resolución:
Por el teorema del resto:
d(x) = x – 2 = 0
 x = 2
 R(x) = 22014 – 16.22010 + (2(2) – 3)50 –7.2 + 9
 R(x) = 22014 – 24.22010 + 1 – 14 + 9
 R(x) = 42 22014 2014- -
 R(x) = –4
9. Halla el resto de dividir:
 ( ) ( )x
x x
3
4 7 3 5 88 5
-
- - - +
(UNMSM 2005 – I)
10. Se divide el polinomio x3 + 2ax2 – 7ax2 + 2a3 entre 
x – a ¿cuál debe ser el valor de a2 de modo que el 
residuo sea 1?
(UNMSM 2011 – I)
11. Calcula el resto al dividir:
 
x
x x x x
1
1
2
100 15 8 5
+
- + + -
UNI
12. Halla el resto al dividir:
 ( ) ( )
( )
x x
x x
3 1
2 2 106 3
+ +
+ + +
(CEPREUNI 2013 – I)
Resolución:
Sabemos que si el d(x) es de 2do grado, entonces: 
R(x) es de grado uno.
R(x) = ax + b
Por el algoritmo de la división:
D(x) = d(x) . q(x) + R(x)
(x+2)6 + 2x3 + 10 = (x+3)(x+2)q(x)+ ax + b
 
 –2a = –52
 a = 26 ∧ b = 35
 R(x) = 26x + 35
13. Determina el resto que se obtiene al dividir:
 ( ) ( )
( ) ( )
x x
x x
3 4
3 4 711 11
- -
- + - +
(CEPREUNI 2013 – I)
14. Determina el residuo de dividir:
 x300 + x3 + 1 entre x2 + x + 1
(CEPREUNI 2008)
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41
 ÁLGEBRA
1. Divide: 5 11 7 6
5 2
4 3
2
x x x
x x
− − +
− −
, e indica la suma de 
 coeficientes del residuo. 
a) –3 c) –1 e) –5
b) 2 d) 6
2. Calcula “a + b” si la división:
 3 5
1
4 3
2
x x ax b
x x
− + +
+ −
es exacta
a) –6 c) 12 e) 8
b) –9 d) 3
3. Si el polinomio P(x) = 5x5 + 2x3 + 4x2 + ax + b, es 
divisible por x2 + x – 2, entonces, halle el valor de 
“a + b”
a) –6 c) 57 e) − 4657b) –3 d) 46
4. Sea el polinomio
 P(x) = 2n – 1)x16n – (5n – 3)x8n + (3n – 15)x12 + 7 
halla el resto de la división: P x
x
( )
+1
 
a) –11 c) –6 e) 6
b) 0 d) –3
5. Calcula la suma de coeficientes del cociente
 
10 23 44 2
2 7
3 2x x x
x
− − +
−
a) 6 c) 5 e) 10
b) –1 d) –4
6. El polinomio por el cual hay que dividir x4 – x2 – 4 
para obtener x – 3 como cociente y 7x2 + 5 como 
residuo, es:
a) x3 – 3x + 2
b) x3 + 3
c) x3 + x + 3
d) x3 + 2x + 3
e) x3 + 3x2 + x + 3
SIGO PRACTICANDO
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5TO AÑO
42
1. e
2. e
3. c
4. c
5. e
6. e
7. d
8. d
9. c
10. d
Claves7. Calcula la suma de coeficientes del cociente en el 
siguiente esquema de Ruffini: 
 
2
3 5 0 2
10
− −
 
a) 9 c) 11 e) 13
b) 10 d) 12
8. Calcula la suma de coeficientes del cociente que 
se obtiene al dividir:
 6 3 1
1
70 69x x x
x
− − +
−
a) 214 c) 234 e) 244
b) 254 d) 212
9. Si “α” es un número real tal que α3 = α – 1 enton-
ces el valor de 1 + α + α2 + α3 ... + α7 es:
 (UNMSM 2009 – I)
a) α – 1 c) 2α – 1 e) 2α – 2
b) α + 1 d) α – 2
10. Calcula el resto de la siguiente división:
 x x x x
x
2016 2008 8 7
2
81 80
3
− − + +
−
a) X + 27 c) -2x + 19 e) X + 27
b) –x + 20 d) 27x - 1
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43
 ÁLGEBRA
1. Divide: 3 18 7 2
6
5 2 3
3
x x x x
x x
+ − + +
+ +
, y calcula el 
R(x)
a) 10x + 60
b) 10 x + 62
c) -11x + 62
d) x2 + 62
e) 11x + 62
2. Calcula “ab” si la división:
 
 6 5 2
3 4
4 3 2
2
x x x ax b
x x
+ + + −
+ −
 es exacta.
a) 6
b) -9
c) 12
d) -12
e) 15
3. Si el polinomio P(x) = 3x3 + x2 + ax + b es 
divisible por x2 + 2x – 2; entonces halle el valor 
de “a/b”.
a) -2
b) -4
c) 1/2
d) -1/4
e) -8/5
4. Halla el residuo de la siguiente división:
 
x
x
4
2
81
9
−
+ (UNALM 2007 – I)
a) x2 + 9
b) 0
c) x2 + 9
d) x2 + 3
e) x2 + 3
Integral PUCP
Tarea
5. Calcula la suma de coeficientes del cociente
 
21 38 26
7 5
3 2x x x
x
− − +
−
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
6. El polinomio por el cual hay que dividir x3 + 
3 para obtener x – 2 como cociente y 7x – 3 
como residuo, es:
a) x2 – 3x + 20
b) x2 – 2x + 2
c) x2 + 2x + 3
d) x2 – 2x - 3
e) x2 – 3x - 2
7. Calcula la suma de coeficientes del cociente 
en el siguiente esquema del Ruffini:
a) -4
b) -2
c) 0
d) 2
e) 4
8. Calcula la suma de coeficientes del cociente 
que se obtiene al dividir:
 
4 2 1
1
80 79x x x
x
− + +
−
a) 165
b) 164
c) 163
d) 162
e) 161
4 6
4 15
8
16
− −
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5TO AÑO
44
UNI
13. Determina el resto que se obtiene al dividir
3 5 4 4 7
5 4
3 6( ) ( )
( )( )
x x
x x
− + − +
− −
a) 7x – 24
b) x + 9
c) 9 – x
d) 3x – 1
e) x + 3
14. Determina el residuo de dividir:
 x160 + x2 – 5 entre x2 – x + 1
(CEPREUNI 2008)
a) -6 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
15. Calcula el valor de K a c
a c
= + −
−
5 si la 
 división x ax c
x x
21
2 1
− +
− +
 es exacta.
(UNI 2003 – I)
a) 10
b) 8
c) 2
d) 6
e) 4
UNMSM
9. ¿Qué condición debe cumplir los números 
reales b y c para que el polinomio x2 + bx + c 
sea divisible por x – 1?
(UNMSM 2010 – II)
a) b - c = 1
b) b + c = -1
c) c – b = 2
d) b – c = - 1
e) b + c = -1
10. Calcula el resto de la siguiente división:
x x x x
x
30 13 8 3
2
2 2 4
1
+ − + +
+
a) x - 2
b) – x + 2
c) – x + 1
d) x
e) x – 3
11. Calcula el resto de:
 ( ) ( )x x x x x x
x x
4 2014 4 13 4
4
3 6 3 4 2 6 1
3 5
− + + − + − + −
− +
a) – 4
b) 9
c) 4
d) 5
e) 10
12. Si el polinomio p(x) se divide por (x – 2), el 
cociente es x2 + 2x + 1 y el residuo es r. Pero si 
P(x) se divide entre (x – 4), el residuo es (-r), 
¿cuál es el valor de r?
(UNMSM 2004 – II)
a) 25
b) -25
c) 20
d) -20
e) 0
Claves
01. e
02. d
03. e
04. b
05. b
06. c
07. d
08. d
09. b
10. c
11. b
12. b
13. a
14. a
15. c
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45
 ÁLGEBRA
Es la transformación de un polinomio, en una multiplicación indicada de sus factores primos, sobre un campo 
numérico.
Factorización
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Multiplicación
Polinomio irreductible
Es aquel que no puede ser expresado como la multiplicación de dos o más factores sobre el mismo campo 
numérico.
Factor primo
Es un factor irreductible de un polinomio que aparece como factor en una multiplicación indicada.
P(x,y) = –3a3y7(3y – 7)4(2x2 + 1)8
• Factores primos: x ; y ; 3y – 7; 2x2 + 1
• Factores primos lineales: x ; y ; 3y – 7
• Factores primos cuadráticos: 2x2 + 1
MÉTODOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS
Existen diversos métodos de factorización. Veremos 
los más utilizados.
1. Método del factor común
 Se aplica cuando todos los términos de un poli-
nomio tienen variables y/o constantes comunes.
• R(x) = 7x5 + x3, se observa que todos los tér-
minos tienen en común a “x2”, entonces lo ex-
traemos:
R(x) = x3 (7x2 + 1)
 0 14243
 F.P. 1 F.P.2
• S(m;n) = 6m2n – 3mn2 + 12mn, extraemos el 
factor común “3mn”, asi:
S(m,n) = 3 m . n . (2m – n + 4)
 0 0 1442443
 F.P. 1 F.P.2 F.P.3
2. Método de agrupación
 Se aplica cuando todos los términos de un poli-
nomio no tienen factor común, por lo que agru-
pamos convenientemente aquellos que si lo tie-
nen, para finalmente sacar el factor común.
• T(a;b) = 3a2 + 3a – 2ab – 2b, agrupamos de 2 
en 2
 T(a;b.) = 3a(a + 1) – 2b(a + 1), extraemos el 
factor a + 1
 T(a;b) = (a + 1)(3a – 2b)
 14243 14243
 F.P.1 F.P.2
3. Método de identidades
 Usaremos las identidades de los productos nota-
bles para factorizar
(a + b)(a – b) = a2 – b2
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
• P(x) = 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3)
 0 0 14243 14243
 F.P.1 F.P.2
 0 0 
 2x 3
Factorización
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5TO AÑO
46
• P(x) = x4 – 1 = (x2 + 3)(x2 – 1)
 0 0 0 0 
 
 0 0 0 0 
 x2 1 x 1
 = (x2 + 1)(x + 1)(x – 1)
 14243 14243 14243
 F.P.1 F.P.2 F.P.3
• P(x) = x3 – 8 = (x – 2)(x2 + 2x + 4)
 0 0 1 2 3 1442443
 3 3 F.P.1 F.P.2
 123123
 x 2
4. Método del aspa simple
 Se aplica cuando los polinomios a factorizar son 
de la forma:
P(x) = ax2n + bxn + c
 ó 
P(x;y) = ax2n + bxmyn + cy2n
 Procedimiento:
1. Se descomponen adecuadamente los extre-
mos del trinomio.
2. Se comprueba que el término central es igual 
a la suma de los productos en aspa.
3. El trinomio es expresado como la multiplica-
ción de factores que se toman en forma hori-
zontal.
• P(x;y) = 12x2 + 7xy – 10y2 =
 4x –3y → 15x +
 3x +2y → –8x
 7x
 P(x;y) = (4x + 5y)(3x – 2y)
 14243 14243
 F.P.1 F.P.2
5. Método del aspa doble
 Se aplica cuando los polinomios a factorizar son 
de la forma:
P(;y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f
 Procedimiento:
1. Se adecua el polinomio a la forma general y, 
en caso falten términos, se completan con ce-
ros.
2. A los tres primeros términos se les aplica aspa 
simple, y también a los términos 3º, 5º y 6º.
3. Se aplica un aspa simple de comprobación a 
los términos 1º, 4º y 6º.
4. El trinomio es expresado como la multiplica-
ción de factores que se toman en forma hori-
zontal.
• P(x;y) = x2 – xy – 6y2 + 7x – 11y + 10
 x –3y + 2
 x +2y + 5
 P(x;y) = (x – 3y + 2)(x + 2y + 5)
 1442443 1442443
 F.P.1 F.P.2
6. Método del aspa doble especial
 Se aplica cuando los polinomios a factorizar son 
de la forma:
P(;y) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
 Procedimiento:
1. Se adecua el polinomio a la forma general y, 
en caso falten términos, se completan con ce-
ros.
2. Se descomponen convenientemente los ex-
tremos, se multiplican en aspa y se suman los 
productos obtenidos.
3. El resultado anterior se compara con el tér-
mino central y lo que falta para que sea igual 
a este es la expresión a descomponer en las 
partes centrales de los nuevos factores.
4. Se verifica en aspa simple en cada lado. Los 
factores se toman en forma horizontal, y si 
estos no son primos, se factorizan por aspa 
simple
 • P(x) = x4 – 6x3 + 7x2 – 6x + 1
 x2 –5x + 1
 x2 –1x +1
 Se debe tener: 7x2
 Se tiene: 2x2Falta: +5x2
 P(x) = (x2 – 5x + 1)(x2 – x + 1)
 1442443 1442443
 F.P.1 F.P.2
7. Método de los divisores binómicos
 Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier 
grado, generalmente de una sola variable y que 
admitan factores lineales:
ax ± b ó x ± a
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47
 ÁLGEBRA
Trabajando en clase
Integral
1. Indica la cantidad de factores primos de los si-
guientes polinomios:
 P(x; y; z) = –3ª2x3y5(2x – 7)2
 P(m;n) = 2 m3n2(m–1)7(m–n)9(p–5)10
2. Factoriza:
 a) P(x;y) = 3y(x–7) + (7–x) + 5y(x–7)
 b) S(x) = x3 + y2 + 2x + 2
3. Factoriza:
 a) P(x) = 4x2 – 25
 b) Q(y) = 8y3 + 1
PUCP
4. Factoriza: 6x2 – 13x – 15
 Calcula
 a) La cantidad de factores primos.
 b) La suma de factores primos
Resolución:
El método a emplear para factorizar es el de “sapa 
simple”.
 La expresión factorizada será:
 
 6x2 – 13x – 15
 6x + 5 = + 5x
 x – 3 = –18x
 – 13x 
 La expresión factorizada será:
 (6x + 5)(x – 3)
 1424314243
 F.P.1 F.P.2
 ΣCoef1 = 11 ΣCoef2 = –2
 ∴ a) La cantidad de FP es 2
 b) La suma de FP es 7x + 2
5. Factoriza: 2x2 – x – 3
 Y da como respuesta la suma de los coeficientes 
de uno de dichos factores.
(CEPREPUC 2013)
6. Factoriza: x4 – 41x2 + 400
 la suma de factores primos obtenidos.
(CEPREPUC 2013)
7. Al factorizar 12x2 – 8x – 15, se obtuvo (Ax ↓ B)
(Cx ↑ D), donde A, B, C y D son números enteros 
positivos. Calcula el valor de: 
 (A ↑ B) ↓ (C ↑ D) con A > C
UNMSM
8. Factoriza y señala la suma de los factores primos 
del siguiente polinomio
 P(x;y) = 3x2 + 8y2 – 14x + 22y + 15 – 10xy
RAÍZ DE UN POLINOMIO
Dado un polinomio P(x) no constante, es una raíz del 
polinomio P(x), si y solo si P(a) = 0
Ejemplo:
 P(x) = x3 + 3x – 4
 Si x = 1, P(1) = 13 + 3 – 4 = 0
 Entonces: x = 1 es una raíz de P(x)
Regla para calcular las posibles raíces racio-
nales de un polinomio
PRR = .
.
Prdivisores de Coef incipal
divisores de Term Independiente
( 2
Ejemplo: P(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21 
PRR = ± ; ; ;1
1 3 7 21
( 2 = ±{1; 3; 7; 21}
Para x = 3, P(x) = 0; entonces un factor será x – 3
1 –11 31 –21
x = 3 3 –24 +21
1 –8 7 0
P(x) = (x2 – 8x + 7)(x – 3)
 x –7
 x –1
P(x) = (x – 7)(x – 1)(x – 3)
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5TO AÑO
48
Resolución:
Adecuamos el polinomio a la forma general:
 P(x;y) = 3x2 – 10xy + 8y2 – 14x + 22y + 15
 3x –4y – 5
 x –2y – 3
Luego: P(x;y) = (3x – 4y – 5)(x – 2y – 3)
∴	La ∑ factores primos es: 
 3x – 4y – 5 + x – 2y – 3 = 4x – 6y – 8
9. Factoriza y señala la suma de los factores primos:
 12x2 + 5xy + 14x + 17y – 3y2 – 10
10. Se descompone: a3 – ab2 + a2b – b3 + a2 – b2 en 
factores lineales. Halla la suma de dichos factores.
(UNMSM 2004 – II)
11. Halla el número de factores primos del polino-
mio:
 P(x) = x5 + x4 + x3 – x2 – x – 1
UNI
12. Luego de factorizar:
 P(x) = 3x3 + 11y2 + 17x + 6
 Indica la cantidad de factores primos lineales.
(CEPREIUNI)
Resolución:
Por divisores binómicos 
Coef. princ. = 2
 ;
; ; ; ; ; ; ; ;PC 1 2
1 2 3 6 1 2 3 6 2
1
2
3! != =) '3 1
Tenemos
 
2 11 17 6
X = –2 –4 –14 –6
2 7 3 0
P(x) = (x + 2) (2x2 + 7x + 3)
Observa que: 
 2x2 + 7x + 3
 2x + 1
 x + 3
se puede seguir factorizando
Entonces: 
 ( ) ( )( )( )P x x x x2 2 1 3
FP FP FP1 2 3
= + + +
SSS
∴	La cantidad de FP lineales es 3.
13. Factoriza:
 2x3 – 3x2 – 11x + 6
 Y señala cantidad de factores primos lineales.
14. Calcula la suma de los términos independientes 
de todos los factores primos del polinomio:
 P(x) = 6x4 + 5x3 + 6x2 + 5x + 6
(CEPREUNI)
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49
 ÁLGEBRA
1. Indica la cantidad de factores primos del siguien-
te polinomio:
 P(x; y) = –8x10y2 (x – 1)3
a) 0 c) 2 e) 4
b) 1 d) 3
2. Un factor primo de:
 P(a; b; x) = ax2 + bx – a2x – ab es:
(UNAC 2001 – I)
a) x – ab c) x + ab e) bx + a
b) ax + b d) abx + 1
3. Halla el factor común de
 B(x) = x2 – 16y2
 C(x) = x3 – 64y3
a) x – 4y c) y – 4x e) (x3 – 4y)2
b) 2x + 3y d) x – 3y
SIGO PRACTICANDO
4. Factoriza: 
x8 – 1
 Señala el número de factores primos
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
5. ¿Cuántos factores primos de primer grado ad-
mite x4 – 10x2 + 9?
a) 5 c) 12 e) 4
b) 13 d) 9
6. Al factorizar 10x2 – x – 21 se obtuvo
 ( )( )AX B CX D↑ ↓ , donde A, B, C y D son nú-
meros enteros positivos con A > C. Calcula el 
valor de ( )( )A B C D↑ ↓ 
a) –10 c) –12 e) –14
b) –11 d) –13
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5TO AÑO
50
1. d
2. b
3. a
4. c
5. e
6. d
7. c
8. d
9. c
10. a
Claves
7. Al factorizar: 81x4 + 126x2y2 + 48y4 uno de 
sus factores primos es:
(CEPREPUC 2013)
a) 9x2 + 3y2 d) 9x2 + 16y2
b) 9x2 + 3y2 e) 9x2 + 12y2
c) 9x2 + 8y2
 
8. Factoriza ax(ax – 2) – (x2 – 1) + a(2x – a) y 
señala la suma algebraica de sus factores pri-
mos.
a) 2a c) a + x e) a - x
b) 2x d) 2(a + x)
9. Factoriza: A(x) = x3 – 3x2 – x + 3 y señala uno de 
sus factores primos.
a) x2 + 1 c) x – 1 e) x2 + 3
b) x + 3 d) x2 – 3
10. Calcula la suma de los factores primos del si-
guiente polinomio.
 P(a;b) = a2 + 4ab + 4b2 + 7a + 14b + 10
a) 2a + 4b + 7 d) 2a + 4b + 5
b) a + 2b + 5 e) a + b + 3
c) a + 2b + 2
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51
 ÁLGEBRA
1. Indica la cantidad de factores primos del si-
guiente polinomio.
 
P a b m a b a b( ; ) ( ) ( ) ( )= + − +7 1 22 2 2 7
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
2. Factoriza e indica un factor primo:
 P(m) = m3 + 5m2 + 2m + 10
a) m - 1
b) m + 5
c) m - 2
d) m - 3
e) m + 4
3. factoriza cada polinomio e indica un factor 
primo.
 P(x) = 4x2 - 9
a) 2x - 9
b) 2x + 9
c) 4x + 9
d) 2x + 3
e) 4x + 3
4. Factoriza: (a – 3)2 – (b + 2)2
 Indica un factor primo.
a) a – b - 1
b) a – b + 5
c) a – b + 1
d) a + b - 5
e) a + b - 1
Integral PUCP
Tarea
5. Factoriza: x4 – 61x2 + 900
 Calcula la suma de sus factores primos.
a) 4x
b) 4x - 11
c) 4x - 22
d) 4x + 11
e) 0
6. Al factorizar: 6x2 – 5x – 6 se obtuvo 
 ( )( )Ax B Cx D↓ ↑ donde A, B, C y D son 
números enteros positivos A > C. calcula el 
valor de: ( ) ( )A B C D↑ ↓ ↓
a) 4 d) 9
b) 6 e) 10
c) 7
7. Al factorizar P(x) = x3 – 5x2 + 6x, la expre-
sión puede escribirse de la siguiente manera: 
(x + a)(x + b)(x + c). calcula “a + b + c”
(CEPREPUC 2008)
a) 3 d) 5
b) 6 e) -6
c) -5
8. Al finalizar el polinomio mediante el método 
del aspa simple, se observó lo siguiente:
 
6x + bx - (4d + 3)
cx 5
2x - d
a b
2
2 
 Señala el valor de “a + b + c + d”
a) 7 d) 10
b) 9 e) 11
c) 8
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5TO AÑO
52
UNI
13. Factoriza y luego señala la suma de factores 
primos de:
 x2 – 3x2 + 4
a) 9x – 2
b) 2x – 1
c) 3x – 1
d) 2x – 2
e) 3x – 1
14. Calcula la suma de los coeficientes de uno de 
los factores primos del polinomio:
 P(x) = x4 + 2x3 – 3x2 – 4x – 12
a) 2
b) -3
c) 4
d) -1
e) 3x – 3
15. Factoriza: x4 + 4 e indica un factor primo
a) x2 + 2x + 2
b) x2 + 1
c) x2 + 4x + 1
d) x2 + 2
e) x2 + 2x + 4
UNMSM
9. Al factorizar la expresión:
 x4 + 2x+3 - x – 2
 Indica un factor primo.
a) 2
b) x + 2
c) -2
d) -2x
e) 2(x-1)
10. Indica el número de factores primos del poli-
nomio:
 P(x) = x5 + x4 – x3 – x2
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 5
11. Si (x + 1) es un factor de x2 + cx – 2 y (2x – 1) 
es un factor de dx2 + 5x – 4, entonces el valor 
de d/c es: 
(UNMSM 1996)
a) 1/2
b) 4
c) -1/2
d) -6
e) 6
12. La suma de coeficientes de uno de los factores 
primos es:
 P(x) = 2x4 + 5x3 + x2 + 5x + 2
(CEPRE UNALM)
a) -2
b) -4
c) -1
d) 2
e) 3
Claves
01. c
02. b
03. d
04. e
05. a
06. b
07. c
08. e
09. b
10. b
11. d
12. e
13. e
14. e
15. a
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53
 ÁLGEBRASon aquellos números que resultan de extraer una 
raíz de índice par a un número real negativo.
Ejemplos: – ; ;3 17 5124 8- -
Unidad imaginaria
Es la cantidad imaginaria más importante: 1-
Notación: 
i = 1-
Potencias de la unidad imaginaria
Estudiaremos el comportamiento de in, n ∈ z+
i1 = i i5 = i i9 = i
i2 = –1 i6 = –1 i10 = –1
i3 = –i i7 = –i i11 = –i
i4 = 1 i8 = 1 i12 = 1
Se observa que cada grupo de cuatro potencias de i, se 
repiten los mismos valores: i, –1, –i, 1.
Propiedades
En el desarrollo de las potencias de la unidad 
imaginaria, se nota:
i4 = i8 = i12 = … = i4n = 1
Esto implica que la unidad imaginaria elevada a un 
múltiplo de cuatro es igual a la unidad.
i4n = 1; ∀ n ∈ z
Ejemplos:
i100 = 1 i720 = 1 i123456 = 1
Además: 
i4+k = i4 . ik = ik
Ejemplos:
 Z i41 = i4+1 = i1 = i
 Z i98 = i4+2 = i2 = –1
 Z i123 = i4+3 = i3 = –i
 Z i97531, para números grandes se recomienda veri-
ficar si las dos últimas cifras de 97531 son múlti-
plos de 4, entonces:
i97531 = i31 = i4+3 = i3 = –i
CANTIDADES IMAGINARIAS
Teorema
i–k = (–1)k . ik; ∀ n ∈ z
Ejemplos:
 Z i–33 = (–1)33. i33 = –i33 = –i4
° +1 = –i1 = –i
 Z i–50 = (–1)50 = i50 = i2 = i4
° +2 = i2 = –1
 Z i–20 = (–1)20 . i20 = i20 = i4
°
 = 1
Propiedades
I. 
i + i2 + i3 + i4 = 0
II. 
i + i2 + i3 + i4 + ... + i4n= 0
III. 
in + in+1 + in+2 + in+3 = 0
Ejemplos:
 Z i + i2 + i3 + i4 + … i2016 = 0
 Z i41 + i42 + i43 + i44 = 0
Resultados notables
(1 + i)2 = 2i
(1 + i)3 = –2(i – 1)
(1 + i)4 = –4
i
i i1
1
-
+ =
(1 – i)2 = 2i
(1 – i)3 = –2(1 + i)
(1 – i)4 = –4
i
i i1
1
+
- =-
i
1 = i–1 = –i
Números Complejos I: 
Unidad imaginaria
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5TO AÑO
54
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula el valor de:
. . .S 8 2 11 11 169 1= - - + - - - - -
2. Calcula:
 M = 4i36 – 7i1071 + 2i22 – 7i81
3. Calcula el valor de:
...A
i i i
i i i i
2 2 3
2 3 2015
=
- + -
+ + + +
PUCP
4. Reduce:
( ) ( )Z i i i
i1 1 2 1
12 4= + - - -
+
-
d n
(k)
Resolución:
Sabemos por los resultados notables que:
 ( ) ; ( )i i i i
i i1 2 1 4 1
12 4 /+ = + =- +
- =-
Entonces: Z = (2i) – (–4) – 2(–i)
 Z = 2i + 4 + 2i = 4 + 4i = 4(1+i)
5. Reduce:
( ) ( )Z i i
i i i1 1
1 3 12
4
2014 4= - -
+
- + - +d n
6. Calcula:
...M i i i i i
1 1 1 1 1
2 3 4 19
= + + + + +
7. Reduce:
N i
i
i
i
1
1
1
1 i
i
i
i
i
1
1
1
1
=
+
- -
-
+ -
+
-
+
-
d
d
n
n> H
UNMSM
8. El equivalente de:
i
i
1
213
+
-
Resolución:
Si:
 . . ( )i i i i i i i i i1 2 112 13 13 2& /= = = = - = -
Reemplazando:
1
1( )i i
i i i
i
i
i
i
i i1
2
1
2
1
2
1
1 213 13 13
+
- = +
- = +
- = +
- = +
- =-
9. Reduce:
 Z i
i
1
5 25=
-
10. Si: Z = 1 + i
 Calcula: E Z
Z
14
4
= +
(UNAML 2013 – I)
11. Si: i2 = –1, el número complejo
 Z i
i i
1
2003
=
-
-
(UNAC 2011 – II)
UNI
12. Calcula:
E = i
2
1
2
k8
-d n ; K ∈ Z+
Resolución:
E = i i
i
2
1
2 2
1
2
1k k
k
8 8
2
2 4
- = - =
-
d d
_
n n
i> H
E = . .i i i2
2 1 1 1 1
k k k k4 4 4 4- = - = - = =b _ _l i i
13. Si: 8n k k Z/ != + , calcule el valor de R:
 
2
1
2
1
2
1
2
1R i i
n n
= + + - +d dn n
(UNI 2007–I)
14. Halla la suma A de número complejos
A = (1 + i) + (2 + u2) + (3 + i3) + … + (4n + i4n)
(UNI 2004 – I)
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55
 ÁLGEBRA
16. Calcula el valor de:
E = − − + − −
− + −
4 9 25 1
49 16
. .
( ) −1
a) 1 d) –11
b) 11 e) –11i
c) 11i 
17. Calcula:
P i i i i i= + + + = −53 24 34 27 1;
a) 1 d) –2
b) –1 e) I
c) 0
18. Si: P(x) = 1 + x + x2 + x3 + … + x2014
 Calcula el valor de P(i), donde i = −1
a) i d) 1
b) –i e) –1
c) 0
 
19. Reduce:
Z i
i
i
i
= +
− +
− +−














1
1 1
1 11
2
a) i c) –i e) 0
b) 1 d) –1
20. Reduce:
Z i i ii= − + − +
−
+



( ) ( )1 1
1
1
2 4
6
a) 3 – 2i d) –3
b) 3 + 2i e) –5 – 2i
c) –2i 
21. Calcula:
E = i-1 + i-2 + i-3 + … + i-99
a) –i c) 1 e) i 
b) –1 d) 0
SIGO PRACTICANDO
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5TO AÑO
56
16. a
17. c
18. a
19. d
20. e
21. b
22. d
23. c
24. d
25. a
Claves
22. Reduce:
 
M i
i
i
i
i
i
i
= +− −
−
+














−
+1
1
1
1
1
1
2
a) –2i c) –2 e) –4i
b) 2i d) –4
23. El equivalente de:
Z i i= −2 29
a) c) 2i e) i
b) 2 d) (1 + i)2 
24. Si: Z = 1 – i
 Calcula: A z
z
= −4 4
1 
a) 4/15 c) –4 e) 4
b) 15/4 d) –15/4
25. Efectúa: F = (1 – i)6 + (1 + i)2
a) 10i c) 6i e) 2i
b) 8i d) 4i
 
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57
 ÁLGEBRA
1. Calcula el valor de:
 V = − ⋅ − + − − − − ⋅ −3 3 7 7 400 1.
a) 10
b) -4
c) 4i
d) -4i
e) -10
2. Calcula:
 N = 5i40 – 3i75 + 4i1222 – 3i98761
a) 1
b) -i
c) 9
d) 1 – 6i
e) 1 + 6i
3. Si:
 S = i + i2 + i3 + … + i2011
 Donde i2 = -1, entonces S es igual a:
(UNAC 2010 – II)
a) i
b) i - 1
c) - i
d) 0
e) - 1
4. Halla el complejo Z
 Z = i = i3 + i5 + … + i101
a) 0
b) -1
c) 1
d) -i
e) 1
Integral PUCP
Tarea
5. Calcula el valor de la expresión:
 F = i-1 + i-2 + i-3 + i-4 + i-5 + … + i-12
a) 0
b) -1
c) 1
d) i
e) -i
6. Si: a + bi = (1 + i)2 + (1 + i)4 + i2017
 Calcula: “ab”
a) -12
b) 21
c) 18
d) 9
e) 16
7. Reducir:
 A i i i
i
i
= + + − − + + −
+





( ) ( ) ( )1 1 1 10
1
1
2 4 6
a) -4
b) 10i
c) -4 + 10i
d) 4 – 10i
e) 4
8. M
i i i i i
= + + + + +1 1 1 1 12 3 4 59...
a) -1
b) 0
c) 1
d) -i
e) i
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5TO AÑO
58
UNI
13. Calcula: 
E i= +






1
2
1
2
50
a) –i d) -1
b) i e) 225
c) -225
14. Halla la suma:
 B = (1+i) + (2+i2) + (3+i3) + (4+i4) + … + (20 + i20)
a) 210
b) 420
c) 20i20
d) 420i20
e) 210210
15. Si se sabe que: Z i
i
i
= − −
+ +
−
1 1
1 1
1 
 Calcula el valor de W = Z4 + Z2
a) -4 – 2i
b) 2 + 4i
c) 2 – 4i
d) 4 – 2i
e) -4 + 2i
UNMSM
9. Si: Z = 1 + i
 Calcula: Z
Z
50
1−
a) -225
b) 225i
c) -225
d) 250
e) 225
10. Si: i2 = -1, el número complejo
 
Z i i
i
= +
+
−
2017
1
1
a) i
b) 2 - i
c) - i
d) 1 + i
e) 1 – i
11. Reduce:
 Z
i
i i i
= −
+ + +
2 1
19 5 2( )
a) 1
b) 4i
c) i/4
d) 4
e) 1/4
12. Calcula el valor de:
 K i
i
= +
−
( )
( )
1
32 1
11
; donde i = −1
a) 1
b) -1
c) 2
d) -2
e) 4
Claves
01. a
02. a
03. e
04. c
05. a
06. a
07. a
08. a
09. e
10. a
11. e
12. b
13. b
14. a
15. e
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59
 ÁLGEBRA
1. 26. Si i2 = –1; el número complejo 
Z i i
i
= −+ +




2016 2
1
1
a) –1 c) –2i e) 1 – i
b) 2i d) 1 + i
2. La expresión: ( ) ( )1 1 3
3
2+ +
−
i i
i
, donde i = −1, es 
igual a: 
a) 1 – 3i c) 2 e) 10
b) –10 d) –2
3. Si k es un entero no negativo, entonces el valor de:
1
2
1
2
8 2
+




+
i
k
a) –ik c) (–1)ki e) 2i
b) i d) (–1)k+1
4. Efectúa:
3 5i i i− + –10iA =
a) –8i c) –7i e) 15i
b) 8i d) –15i
5. Calcula:
A =
1 + (1 + i)2 + (1 + i)4 + (1 + i)6
1 + 2i
a) 3 c) 7 e) 4
b) –2 d) –2i
 e) –2
6. Factoriza
a) 4x2 – 49y2 
b) m3 + 125
c) ab – b + a2 – a – x + ax
d) 14x2 – 29x – 15
e) 3x2 – 7xy + 2y2 – 7x + 4y + 2
7. Reduce:
( )G i
i i i i i i1
1 1 4
4
2 3 4 2015 12348= -
+ - + + + + +d n
a) 0 b) –1 c) 2
d) 4 e) –2
Repaso
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5TO AÑO
60
Sigo practicando
1. Resuelve:
 
E = − − + − −
− + −
4 9 25 1
49 16
. .
( ) −1
a) 10 c) 9 e) 7
b) 8 d) 11
2. En el sistema de ecuaciones
 
P i i i i i= + + + = −53 24 34 27 1;
 Es un sistema que tiene por conjunto solución 
 (2; 3). Calcula a + b
a) 5 c) 1 e) 0
b) 3 d) -1
3. Luego de efectuar x x x
2 5 543 . . − , 
 se obtiene x n3 140 − 
 Calcula el valor de “n”
a) 9 c) 11 e) 13
b) 10 d) 12
4. Si b, x, r ∈R y se verifica
 
 
yy
r r
x x
= + −
− =




 − +
8 3 2
9
9 3 3 0
9 3
3
2 1.
a) -1 c) 4 e) -5
b) 3 d) 6
5. Si P(x) esun polinomio definido por:
 P x x x x x
n
n n
n( ) = + − −− −23 3 4 113 8≠ 
 Calcula “n”
a) 14 c) 12 e) 8
b) 10 d) 9
6. Si P(x) = (x – 1)2015 – (x + 3)2 + 7x + a, y su térmi-
no independiente es -1. Calcula la suma de coefi-
cientes de p(X).
a) 2 c) 0 e) 1
b) -2 d) 3
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61
 ÁLGEBRA
7. Si x x
+ =1 4, calcula x
x
x
x
2
2
3
3
1 1+ + + 
 
(UNMSM 2002)
a) 76 c) 66 e) 102
b) 80 d) 90
8. Si yx
x
y+ = 2 , calcula el valor de 
A xy
x y
=
+
9
3 2 2
a) 1 c) 2 e) 3
b) 9/4 d) 3/2
9. Calcula el resto de la siguiente división:
 
 x x x x
x
50 21 10 3
2
2 3 2
1
+ − + −
+
a) –x – 2 c) –x + 1 e) x - 3
b) x – 2 d) x
10. Halla a + b, si al dividir 2x4 + 3x2 + x3 + ax + b 
entre x2 – 2x + 1 el resto es 2x + 3
a) 0 c) 2 e) -2
b) 1 d) -1
 
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63
 ÁLGEBRA
Números complejos II
Todo número complejo z de define como el par 
ordenado (a; b) de componente reales.
z = (a;b) o z = a + bi
Donde
a: parte real de z, se denota Re(z) = a
b: parte imaginaria de z, de denota Im(z) = b
Tipos de números complejos
Complejo real Complejo imaginario puro
Es aquel complejo 
que carece de la parte 
imaginaria.
z = a + 0i = a
Es aquel complejo que 
carece de la parte real.
z = 0 + bi = bi
Complejo nulo
Es aquel complejo cuyas partes real e imaginaria son cero.
z = 0 + 0i = 0
Definiciones
Dado el complejo z = a + bi
Complejo conjugado de z (z)
z = a – bi
Complejo opuesto de z (z*)
z* = –a – bi
Operaciones con números complejos
 Z Adición
z = 3 + 5i y w = 1 – 2i
z + w = (3 + 1) + (5 – 2)i = 4 + 3i
 Z Sustracción
z = –4 + 2i y w = 3 + i
z – w = (–4 – 3) – 2 (2 – 1)i = –7 + i
 Z Multiplicación
z = 3 + 2i y w = 2 – i
z . w = (3 + 2i)(2 – i) = 6 – 3i + 4i – 2i2
z . w = 6 – 3i + 4i – 2(–1) = 8 + i
 Z División
z = 3 – i y w = 2 + i
w
z
i
i
i
i
i
i i
2
3
2
2
4
6 5
2
2
#= +
-
-
- =
-
- +
S
 se multiplica
 por su conjugado
⇒ i i5
5 5 1- = -
Representación geométrica de un número 
complejo
La representación se realiza en un plano, al cual 
llamaremos plano complejo o plano de Gauss.
Donde al eje x lo denominaremos eje real y al eje y 
como eje imaginario.
Sea z = a + bi
q
|z|
b
Im
a
Re
 Módulo Argumento
|z| = a b2 2+ arg(z) = q
Forma polar o trigonométrica
Del gráfico se obtiene: a = |z|cosq y b = |z|senq
Por lo tanto:
z = |z|(cosq + isenq)
Observación
cosq + isenq = cisq
Luego: z = |z| cisq
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5TO AÑO
64
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula: 
 Re(z) + Im(z), sabiendo que:
z = (1 + i)2 + i6 – i32
2. Calcula ab, si:
a bi i i
i2 1
12+ = - + +
-
_ i
3. Calcula z y z*, en :
z = 6 + (3 – i)(–2 + 5i)*
PUCP
4. Reduce w = i i
i
1 2
5
1 4
4
+ + -
+
Resolución
Reuerda i 12 = -
. ( )
( ) . ( )
( )w i i
i
i
i
i
i
1 2
5
1 2
1 2
1 4
4
1 4
1 4= + -
- + -
+
+
+
( ) ( )
w
i
i
i
i i i
1 2
5 10
1 4
4 16 4
2 2
2
=
-
- +
-
+ + +
w
i
i
i
i
1 4
5 10
1 16
4 17 4
2 2= -
- +
-
+ -
w i i1 4
5 10
1 16
17= +
- + +
w i i i i i5
5 10
17
17 1 2 1= - + = - + = -
5. Calcula el módulo de:
w = i i
i
1
2
1 3
3
- + -
+
6. Calcula el valor de «m» si el siguiente complejo es 
imaginario puro 
z = i
mi
1 5
3 2
+
-
7. Calcula el valor de «a», si se tiene el complejo real:
Z = ai
i
2
1 3
-
+
UNMSM
8. Calcula el módulo y el argumento de:
z = (3 + 2i)2 – (1 + i)2 + (1 – i)2 – i666
Resolución:
Recuerda 
(1+i)2 = 2i (1–i)
2 = 2i i
4+k = ik
z = (3 + 2i)2 – (1 + i)2 + (1 – i)2 – i666
z = 9 + 12i + 4i2 – 2i + (–2i) – i2
z = 5 + 12i – 2i – 2i + 1
z = 6 + 8i → |z| = 6 8 1002 2+ = = 10
Módulo de z: |z| = 10
Gráfica de z = 6 + 8i 
Teoremas
Dados los complejos
z = |z|(cosa + isena)
w = |w|(cosb + isenb)
Entonces:
zw = |z||w|(cos(a + b) + isen(a + b))
w
z = w
z
(cos(a – b) + isen(a – b))
arg(zw) = arg(z) + arg(w)
arg w
z
b l = arg(z) – arg(w)
Teorema de Moivre
Si z = |z|(cosq + isen nq), entonces:
zn = |z|n(cos nq + isen nq) , para todo n ∈ Z
Teorema de Euler
eiq = cosq + isenq
Donde:
• e es la base del logaritmo neperiano
• q es el argumento en radianes
Forma exponencial de un número complejo:
z = |z|eiq
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65
 ÁLGEBRA
q
8
Im
6
Re
Se observa que q = 53°, por lo tanto:
Argumento de z: arg(z) = 53°:
9. Calcula el módulo y el argumento de:
z = (1 + 2i)2 – 4i2018 + 3 i
i
1
1
+
-
d n
10. Calcula |A + B| y el arg (A) + arg (B)
Im
A(4;3)
B(–1;1)
Re
11. La forma binomial del complejo:
( ) ( )
( ) ( )
cos cos
cos cosz
isen isen
isen isen
6 17 17 6 13 13
3 2 35 35 2 2 55 55=
+ +
+ +
c c c c
c c c c
UNI
12. Si |z| + z = 3 – 3 i; (z = a + bi)
Halle z
UNALM 2010-II
Resolución
Por dato:
|z| + z = 3 – 3 i y z = a + bi
Entonces:
3a b a bi i32 2+ + + = -
Por igualdad de complejos:
;a b a b3 32 2+ + = =-
Remplazando:
( )a a3 32 2+ - + =
,a a3 32 + = - elevando al cuadrado 
a2 + 3 = 9 – 6a + a2
a = 1
Por lo que z = 1 – 3 i → |z| = 2
\ z 2=
13. Si el número complejo z = a + bi, con a y b núme-
ros reales, cumple |z| + z = 2 + 8i, entonces |z|2 es 
igual a :
UNAC 2012-I
14. Al resolver el sistema 2z i
y x
3
12
- =
- =
*
 Donde z = x + iy es un numero complejo; la suma 
de las ordenadas de los puntos solución es: 
UNI 2011-II
Esquema formulario
Números Complejos
Si: z = a + bi
 Z Re(z) = a ∧ Im(z) = b
 Z z = a – bi ∧ z* = –a – bi
 Z |z| = a b2 2+
Representación gráfica
q
|z|
b
Im
a
R2
Forma polar: z = |z|(cosq + isenq)
 z = |z| cisq
 Z z = |z|cisq ∨ w = |w|cisa
 Z zw = |z||w|cis(q + a))
 Z w
z = w
z
(cos(q – a) + isen(q – a))
 Z Complejo real: z = a
 Z Complejo imaginario puro: z = ki
 Z Complejo nulo: z = 0
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5TO AÑO
66
Sigo practicando
16. Calcula: Re (z) –Im(z), sabiendo que:
Z = (1 + i)2 + i17 – i2016
a) –5 b) 0 c) –4
d) 1 e) 3
17. Calcula ab si:
a + bi = (3 + i)2 + i
i
1
1 5
-
+
b l
a) 28 b) 16 c) 48
d) 56 e) 36
18. Calcula z y z*, en:
z = 4i + (5 + i)(1 – 2i)* 
a) z = 8 + 7i b) z = 6 – 2i
 z* = –8 + 7i z* = –6 – 2i
c) z = 5 + i d) z = 7 – 3i
 z* = 5 + i z* = –7 – 3i
e) z = –3 – 15i
 z* = 3 – 15i
19. Si z1 = 5 + i; z2 = 5 – 2i; w = z1 + z2
 Determina el valor de verdad de las siguientes 
afirmaciones:
 I. Re(w)= 10
 II. lm(w)= 3
 III. w.w = 109
a) VVV b) FVV c) VFF
d) VFV e) FFF
20. Calcula el valor de «m», si el siguiente complejo 
es imaginario puro:
z = i
m i
2
3
+
-
a) –2/3 b) 5/3 c) 1/2
d) 1/3 e) 3/2
21. Calcula el valor de «a», si se sabe que el complejo 
real:
z = ai
i
1
2 4
+
+
a) 1/4 b) –4 c) –1/2
d) 1/2 e) 2
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67
 ÁLGEBRA
16. C
17. D
18. E
19. D
20. E
21. E
22. E
23. E
24. D
25. C
Claves
22. Calcula F = 
a
b m
ab
n
2
2 2+ + , sabiendo que:
(a+bi)2 = m2 + 2ni
a) 6 b) 4 c) 5
d) 3 e) 2
23. Calcula:
L = i i7 24 7 24+ + -
a) 6 b) 4 c) 74
d) 8i e) 8
24. Calcula |A + B| y el arg(A) + arg(B)
lm
Re
A(4;3)
B(–1;–7)
a) 5 ; 53 b) –5; 241º c) 5; 135º
d) 5; 299º e) –5; 315º
25. La forma binomial del complejo:
z = ( )
( ) ( )
cos
cos cos
isen
isen isen
2 53 53
4 2 82 82 2 16 16
+
+ +
c c
c c c c
a) 2(1+i) b) 2 3 +2i c) 2 2 (1+i)
d) 3+4i e) 1+7i
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5TO AÑO
68
Integral
1. Calcula Re (z) + Im(z), sabien-
do que: 
Z = (1–i)2 + i9+ i20 
a) –3 b) –1 c) 0
d) 1 e) –2
2. Calcula ab si:
a + bi = (2 – i)2 + i
i
1
1 6
+
-
d n
a) –8 b) 6 c) 4
d) –2 e) 16
3. Calcula z y z* en:
z = – 3 + (1 – i) (– 3 + 2i)*
a) Z i
Z i
8 4
8 4*
= +
= - +
b) Z i
Z i