Si x^x = x^2, ¿cuál es el valor de x?

Es una pregunta interesante que a simple vista podríamos afirmar que la solución única es x=2 pero analicemos un poco más.

Si tenemos que

entonces, asegurando que x es diferente de cero, podríamos pasar a dividir el segundo miembro al primero, quedando

Por teoría de leyes de exponentes esta expresión nos quedaría

Ahora, tomando logaritmo natural la expresión nos queda

Se sabe que al tomar logaritmo natural, el exponente pasa multiplicando y además el logaritmo natural de uno es igual a cero, por lo tanto

Bien, ya casi hemos terminado, basta recordar que si un producto nos resulta cero entonces uno de los factores debe ser cero, por lo tanto

Finalmente, las soluciones de cada ecuación serían: x=2 o x=1.

Podríamos también verificar dichas raíces graficando cada función por separado y encontrando sus intersecciones. Me he apoyado en la calculadora gráfica Desmos (Desmos graph).

Comprobando así la existencia de dos soluciones.