¿Será x= ∛ (1+√5) - ∛ (1-√5) algebraico?

¿Será x= ∛ (1+√5) - ∛ (1-√5) algebraico?

Como bien cuenta Alberto Cid, toda combinación de radicales, con índices naturales y potencias de exponente racional, además de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones (con divisor no nulo), siendo estas operaciones ejecutadas sobre números racionales (siempre en cantidad finita de operaciones, incluyendo una cantidad finita de radicales) es un número algebraico, aunque su grado puede ser inmenso a pesar de la apariencia inofensiva de las operaciones involucradas en la fórmula que define el número en cuestión.

Como me han pedido responder a esta pregunta, intentaré dar una respuesta desde otro ángulo distinto al de calcular explícitamente un polinomio de coeficientes enteros que admita al número dado como una de sus raíces.

Hay tres teoremas muy básicos sobre números algebraicos, y son:

La suma de dos números algebraicos es otro número algebraico.

El producto de dos números algebraicos es otro número algebraico.

El inverso de un número algebraico (no nulo) es otro número algebraico.

Por lo tanto, de estos tres teoremas se desprende que el conjunto de los números algebraicos es un subcuerpo (o subcampo) del cuerpo conmutativo (o campo) de los números complejos.

Hay otro teorema muy sencillo de probar (más sencillo que el primero citado, el de la suma, aunque parezca raro) y es éste:

Si n es un número natural > 1, cualquiera de los n valores distintos de la raíz n-ésima de cualquier número algebraico (no nulo) es otro número algebraico.

Las demostraciones de estos teoremas, especialmente la de los dos primeros, puede basarse sobre la teoría general de la eliminación, cuyo capítulo principal -y el más útil en muchas aplicaciones- es la eliminación de una incógnita en un sistema de dos ecuaciones polinómicas de cualquier grado con dos incógnitas, y coeficientes complejos (se incluye, por supuesto, el caso en que todos sean reales). Por supuesto, la teoría de eliminación se extiende a campos arbitrarios, aunque su parte más práctica se refiere a los campos algebraicamente cerrados, como el campo complejo.

Sin extenderme demasiado, porque es un tema clásico que puede consultarse en muchos de los libros de texto y tratados de álgebra, contaré algunas de las ideas algorítmicas más simples y directas que hay detrás de la teoría de la eliminación en sus aspectos más básicos.

Supongamos dadas dos ecuaciones polinómicas en x cuyos coeficientes son números complejos cualesquiera (en particular, podrían ser todos números racionales, como podría suceder en el caso en que x es algebraico):

a₀ x ᵐ+a₁ x ᵐ⁻¹+…+aₘ = 0

b₀ x ⁿ+b₁ x ⁿ⁻¹+…+bₙ = 0.

La condición necesaria y suficiente para que estas dos ecuaciones polinómicas tengan, al menos, una raíz en común, es la anulación del determinante de Sylvester (llamado también a veces Resultante o Eliminante de Sylvester):

Como se ve, Δ es el determinante de una matriz cuadrada con con m+n filas y m+n columnas. La demostración original de Sylvester no es intrínsecamente difícil y además es sumamente ingeniosa, después de todo era un algebrista realmente brillante, sobre todo en lo relacionado con la combinatoria y la teoría de determinantes (que surgió históricamente como un capítulo de la combinatoria).

Por ejemplo, para las dos ecuaciones:

x³+x-10 = 0

x²-5x+6 = 0 , el determinante de Sylvester sería de quinto orden:

[1| 0| 1|-10| 0 ] (primera fila)

[0| 1 | 0 |1 |-10 ] (segunda fila)

[1|-5 | 6 || 0 || 0 ] (tercera fila)

[0 |1 |-5 |6 || 0 ] (cuarta fila)

[0 | 0 | 1 |-5 | 6 ] (quinta fila)

y calculando este determinante (por ejemplo por los adjuntos de la última columna, que tiene nulos todos los términos salvo dos con valores -10 y 6), obtenemos finalmente 0 como resultado, lo que indica que hay, por lo menos, una raíz común a las dos ecuaciones consideradas.
En efecto, x=2 es raíz de ambas ecuaciones, como puede comprobarse directamente. El método de eliminación de Sylvester (llamado método dialítico, porque separa las potencias de una misma incógnita como si fueran incógnitas independientes, lo que permite tratarlas como si pertenecieran a un sistema lineal) da además todas las raíces comunes entre dos ecuaciones con una misma incógnita y su grado exacto de multiplicidad, empleando para ese fin ciertos menores complementarios del determinante de Sylvester.

Pues bien, supongamos que tenemos dos números algebraicos, α, β, que sean, respectivamente, raíces de los polinomios de coeficientes enteros

p(x) = a₀ x ᵐ+a₁ x ᵐ⁻¹+…+aₘ = 0,

q(y) = b₀ y ⁿ+b₁ y ⁿ⁻¹+…+bₙ = 0 , es decir, p(α)=0, q(β)=0.

Si tomamos z=x+y como una tercera ecuación, tendríamos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas x,y,z. Pero puede reducirse inmediatamente a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas x,z, eliminando, por ejemplo, la incógnita y muy sencillamente por el viejo método de sustitución :

y = z-x, con lo cual el sistema se reduce a:

a₀ x ᵐ+a₁ x ᵐ⁻¹+…+aₘ = 0 (*)

b₀ (z-x) ⁿ+b₁ (z-x) ⁿ⁻¹+…+bₙ = 0 (**)

Evidentemente, los valores posibles para z serán todas las sumas posibles de una raíz x de p(x) = 0, con una raíz y de q(y) =0. De modo que uno de los valores posibles para z será α + β, y eso nos permitirá probar que este último número es algebraico.

Se puede eliminar x entre las ecuaciones (*) y (**), una vez ordenada la última según las potencias decrecientes de x, es decir,

B₀ x ⁿ+B₁ x ⁿ⁻¹+…+Bₙ = 0, donde B₀, B₁, …,Bₙ son polinomios en z con coeficientes enteros. Por medio del determinante de Sylvester, obtenemos la ecuación final:

Δ(z)=0, que por la propia definición de determinante, se ve que solo contendrá operaciones de sumas y productos sobre los coeficientes iniciales, esto es,

a₀, a₁, …,aₘ, b₀, b₁,…, bₙ, de modo que serán todos sus coeficientes enteros (bastaría que solo fueran racionales, evidentemente), así que todos los valores posibles para z son números algebraicos: en particular, α + β es algebraico, como queríamos demostrar.

Análogamente se puede probar que αβ es algebraico, tomando el sistema:

p(x) = a₀ x ᵐ+a₁ x ᵐ⁻¹+…+aₘ = 0,

q(y) = b₀ y ⁿ+b₁ y ⁿ⁻¹+…+bₙ = 0

z = xy → y = z / x

y por sustitución se llega al sistema de dos ecuaciones en x, z , cuya resultante de Sylvester da una ecuación en x, z con coeficientes enteros.

En cambio, probar que si α es algebraico → 1/α es algebraico es sorprendentemente simple:

Sea α raíz de p(x) = a₀ x ᵐ+a₁ x ᵐ⁻¹+…+aₘ = 0, suponiendo aₘ≠0, para evitar que una de las raíces posibles de p(x) sea cero, ya que queremos invertir esos valores. Haciendo y = 1 / x → x = 1 / y, tenemos:

a₀ / yᵐ+a₁ / y ᵐ⁻¹+…+aₘ = 0 → aₘy ᵐ + aₘ-₁ y ᵐ⁻¹ +…+ a₀ = 0.

Es decir, la ecuación polinómica cuyas raíces son las inversas (o las recíprocas) de las de p(x) = a₀ x ᵐ+a₁ x ᵐ⁻¹+…+aₘ = 0 es la misma ecuación con todos los coeficientes en orden inverso; propiedad elemental, pero muy notable.

Por ejemplo, las raíces de x⁵-5x⁴+3x³+7x²-11x+1 = 0 tienen, respectivamente, como inversas, las raíces de x⁵-11x⁴+7x³+3x²-5x+1 = 0.

Otro ejemplo: el polinomio cuyas raíces son las inversas de las raíces de

x⁶+2x⁵+3x⁴+4x³+5x²+6x+7 es 7x⁶+6x⁵+5x⁴+4x³+3x²+2x+1.

Por tanto, evidentemente, si α es algebraico por ser raíz del polinomio

a₀ x ᵐ+a₁ x ᵐ⁻¹+…+aₘ,

1/α será algebraico, puesto que es raíz del polinomio del mismo grado

aₘ x ᵐ + aₘ-₁ x ᵐ⁻¹ +…+ a₀ .

Para cualquier valor de la raíz de un número algebraico es sencillo también probar que es algebraico, basta multiplicar cada exponente de la incógnita por el índice de la raíz:

Sea α raíz de la ecuación de coeficientes enteros

a₀ x ᵐ+a₁ x ᵐ⁻¹+…+aₘ = 0

Siendo y = ⁿ√ x → x=yⁿ; luego cualquier valor de y, incluido todo valor de la raíz n-ésima de α, será raíz de la ecuación:

a₀ y ᵐⁿ+a₁ y ⁿ⁽ᵐ⁻¹⁾+…+aₘ = 0, luego todo valor de la raíz n-ésima de α es un número algebraico, como queríamos demostrar.

Regresando a la pregunta aquí planteada, se propone averiguar si es algebraico el número real:

∛(1+√5) + ∛(1-√5). Como 5 es algebraico (todos los números racionales lo son, pues p/q es raíz de qx-p, con coeficientes enteros) entonces cualquier valor de una raíz n-ésima de 5 es algebraico, en particular es algebraico √5 (a simple vista vemos que es raíz del polinomio x²-5, de coeficientes enteros, pero no hace falta fijarse en ello, lo deducimos de las propiedades generales antes demostradas). Además, -√5 = (-1)*√5, producto de dos números algebraicos, luego es algebraico. Por la misma razón, son algebraicos 1+√5 y 1-√5 por ser sumas de números algebraicos. También sirve ver que -√5 es uno de los valores de la raíz cuadrada de 5, luego es algebraico.

Cualquier valor de la raíz n-ésima de un nº algebraico es algebraico, luego el valor real de ∛(1+√5) y el de ∛(1-√5) son algebraicos, como también su suma debe serlo → ∛(1+√5) + ∛(1-√5) es algebraico, como se quería probar.

Así es claro que toda combinación finita de operaciones racionales (suma, resta, productos y cocientes por divisores no nulos), junto con una cantidad finita de radicaciones de cualquier índice y tomando cualquier valor posible cada uno de los radicales involucrados, nos aporta otro ejemplo de número algebraico: por ejemplo,

[ ⁵√ (1+√3) + ∛(1+√(2/3)) ] / [ ∛7 + ¹¹√(3/8) ] es algebraico, por los teoremas generales ya citados; y no necesitamos encontrar explícitamente un polinomio de coeficientes enteros que lo admita como raíz para asegurar que, efectivamente, es algebraico. El grado de este polinomio, aunque fuera el del mínimo grado posible, por cierto, sería apabullantemente grande (bastante mayor que 1000), un verdadero "polinomio mayor de edad".