¿Puede una serie de Fourier ser discontinua?

Sí, en algunos casos cuando sea una serie infinita.

Evidentemente, una suma finita de senos y/o cosenos (funciones continuas ambas) nunca será discontinua.
En algunos casos de series infinitas sigue siendo continua pero en otros no.

Por ejemplo, una función escalonada como esta:

g(x) = signo(cos(2*PI/T*x))

es periódica porque coseno es periódica…
La función signo(x) devuelve:
+1 si x > 0
0 si x = 0
-1 si x < 0

El periodo de g(x) es T

La función g(x) es discontinua porque el límite por la derecha de T/4 es -1 porque (2*PI/T*x) serán valores ligeramente mayores que PI/2 donde el coseno es negativo,
pero el límite por la izquierda de T/4 es +1 porque (2*PI/T*x) serán valores ligeramente menores que PI/2 donde el coseno es positivo.

Una función muy parecida es la que aparece como ejemplo en la Wikipedia:
Serie de Fourier - Wikipedia, la enciclopedia libre

..
Como se puede observar en la imagen, dicha función escalón se puede aproximar tanto como se quiera sumando senos y cosenos, mediante una Serie de Fourier.

El ejemplo que puse yo y el que da la Wikipedia no es casual, no es "un ejemplo cualquiera".
La función escalonada es bastante importante, ya que, por un lado un filtro ideal se define como función escalón, es decir, mantiene fijas las componentes de frecuencias donde el escalón vale 1 y anula las componentes donde el escalón vale 0.
Y, por otro lado, la electrónica digital se basa en valores que cambian abruptamente, como "ceros" y "unos" que corresponden a valores de voltajes diferentes… y, por tanto, discontinuidades (al menos en teoría). Por ejemplo, en circuitos digitales TTL [1] el "uno" serían +5 Voltios, o más de 2 Voltios, mientras que el "cero" serían 0 Voltios o menos de 0.8 Voltios.

Al hablar de funciones periódicas tenemos la Serie de Fourier, pero para funciones cualesquiera, sin necesidad de que sean periódicas, ni continuas, existe la Transformada de Fourier

Transformada de Fourier - Wikipedia, la enciclopedia libre

Y en la tabla de transformadas que aparece ahí se puede ver que la transformada de una función rectangular es una función de tipo "sinc" [2] , que es el "seno de x dividido por x" (la función cuya transformada es la "sinc" aparece en la tabla como "rect", una función escalón rectangular).
Y, por las propiedades "simétricas" de la transformada, del mismo modo que la transformada de un escalón en el tiempo produce una función "sinc" en frecuencias, también una señal de tipo "sinc" en el tiempo producirá un escalón en frecuencias… lo cual explica lo que decía antes de los filtros rectangulares.
Por eso en la ingeniería de teleco aparece la función "sinc" muy a menudo.
Un filtro rectangular paso bajo equivale a eliminar ciertas frecuencias altas y eso es multiplicar por "un escalón de frecuencias"… y una multiplicación en el dominio de la frecuencia equivale a una convolución en el dominio del tiempo. Así que al pasar una señal por ese filtro sufrirá una convolución con una "sinc".
Este tipo de filtrado de frecuencias, se puede hacer antes de un muestreo, por ejemplo… Sería lo que se conoce como "filtro antialiasing" [3]

En esa imagen se ve arriba un escalón no periódico y su transformada de Fourier, que es una "sinc" continua.
Y abajo un escalón periódico y su transformada de Fourier… que aparece como un tren de deltas… donde la altura o 'amplitud' de cada una de esas deltas coincidiría con los coeficientes de la serie de Fourier. Y también coinciden con la altura de la "sinc". En otras palabras, podemos saber los coeficientes mediante la "sinc".

Una diferencia entre mi ejemplo y este es que en el mio la función oscila entre +1 y -1 (teniendo media igual a cero) y en este oscila entre 0 y 1. Así que en mi ejemplo la componente constante es 0, que corresponde a frecuencia 0, sería como una "sinc" sin la delta de w=0.

El caso es que los coeficientes serían infinitos… y, por tanto, una serie de Fourier infinita, que como dije al principio son las únicas que permiten conseguir una función discontinua, como la función escalón de mi ejemplo.
(si el número de coeficientes, y de senos y cosenos, fuese finito como 10, 40 o 1000 sumandos, la suma sería siempre una función continua… para "llegar" a la discontinuidad necesitas infinitos)

Notas al pie