¿Son las ecuaciones diferenciales la herramienta adecuada para describir la realidad?

Bueno, tanto como para describir la realidad, no creo. Yo más bien diría para facilitarnos la vida, o lo que es similar, dar respuesta a problemas que se nos presentan en la vida.

La realidad es algo bastante subjetivo. Es una cuestión bastante personal y depende, desde mi punto de vista, de qué posición ocupa uno en el escenario y del papel que le toque representar.

Sin embargo los problemas que se presentan en la vida, esos sí son reales para todos, aunque lamentablemente no todos los resuelven de igual forma, incluso hay quienes ni se preocupan en resolverlos. Pero así somos y la vida es como es.

Aclarado este punto de vista, necesario para mí si quiero responder a lo que se pregunta, he de manifestar afirmativamente que muchos problemas se resuelven o son susceptibles de resolver gracias a las ecuaciones diferenciales (en adelante mencionaré ED, para no teclear tanto).

Tendremos que definir qué es una ED.

Una ED es una ecuación que relaciona una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la desconocida depende de una sola variable la ED se llama ordinaria. Si depende de más de una variable, la llamamos parcial.

Estas ecuaciones las encontramos en ingeniería, por supuesto, pero también en otras muchas áreas laborales o de estudio: ciencia, informática, economía, administración, biología, medicina, etc. Mayormente tienen un campo de aplicación en la ingeniería.

Un ejemplo de ED ordinaria es:

La variable independiente (v. i) es x

La variable dependiente (v. d) es y

Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:

La variable independiente (v. i) es "x" y "y"

La variable dependiente (v. d) es V

ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El orden de una ED viene dado por el orden mayor de su derivada.

Ejemplo

GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El grado de una ED está dado por el exponente del mayor orden de su derivada.

Ejemplos

Para determinar el orden y grado de las siguientes ED’s ordinarias, procedemos:

Solución de una ecuación diferencial

Una función que cuando se remplaza en la ED da una igualdad, se llama una solución de la ED, por lo tanto, resolver una ED es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ED se obtiene una igualdad.

2.1) FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es una expresión equivalente a la ED que carece de derivadas.

Ejemplo:

Para resolver la ED siguiente se hace así:

La expresión es una "función primitiva" de la ED.

Verificación

Observación: al derivar la función primitiva se reproduce exactamente la ED.

2.2) PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ED sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ED sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

Ejemplo ilustrativo

Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto (x, y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5)

Solución:

Modelados matemáticos

Hay que describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real, sea físico, sociológico o económico, en términos matemáticos. Esto se llama modelado matemático y se construye con ciertos objetivos.

Construcción de un modelado matemático

1. Identificación de las variables a las que se atribuyen cambios en el sistema. Aquí se especifica el nivel de resolución del modelo.

2. Elaborar un conjunto de suposiciones razonables o hipótesis acerca del sistema que se intenta describir.

En un modelado suele intervenir la variable tiempo (t); entonces una solución del modelado da el estado del sistema. Es decir, los valores de la variable dependiente (o variables) para valores de t describen al sistema en el pasado, en el presente y en el futuro.

Las ED se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones cotidianas o menos.

Dinámica de población: la suposición de que la rapidez a la que crece una población de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese momento. La ED para este modelado es:

Problemas aplicados a ED

Una ciudad tenía una población de 25 000 habitantes en 1960 y en 1970 es de 30 000. Suponiendo que esa población continúe creciendo exponencialmente con un índice constante, ¿qué población tendrá en el año 2011?

Separando variables:

Aplicando propiedades de logaritmos quedaría de esta forma:

Se toma t0 en 1960 de modo que 25 000 = x(0)

Sustituyendo se obtiene

Sustituyendo

De 1970 a 1960 han transcurrido 10 años y la población ha aumentado 30 000

x(10) = 30 000

Al sustituir se obtiene la fórmula que nos permite calcular el tamaño de la población en función del tiempo donde

x(10) = e^0.018232

Del año 1960 al 2010 han transcurrido 51, entonces la población debe tener:

Áreas o campos de la ciencia donde se aplican

En la Ingeniería, porque muchas leyes y relaciones físicas se expresan utilizando este tipo de ecuaciones. Podemos probar teorías y sustentar experimentos, tales como el cambio de movimientos, crecimiento o decrecimiento de cualquier agente que se investigue y fenómenos físicos en general. Por ejemplo, ED que permiten conocer la dinámica poblacional, la estabilidad de la órbita de un satélite, etc.

En las Ciencias

Las ciencias se deducen de hechos observados. Las leyes son ED, por ejemplo, la ecuación del calor, la de ondas, etc.

Química

Las ED son útiles donde podemos verlas respondiendo a la transitoriedad de un reactor. También se usan en balances de masas de una dimensión para un segmento determinado de una longitud de ondas delta.

Física

Variación de la presión barométrica con la altitud.

Ley de Hooke para aquellos casos de estiramiento longitudinal, para obtener el de un material elástico directamente proporcional a la fuerza aplicada:

Movimientos vibratorios de sistemas mecánicos, donde nos encontremos con un resorte vibrante, el resorte amortiguado, el resorte con fuerzas externas y la resonancia mecánica.

En el movimiento ondulatorio unidimensional, donde se requiere de tres variables, dos independientes y una dependiente.

En circuitos eléctricos para obtener datos, como los RCL en serie. Un circuito RCL consiste en una resistencia (R), un inductor (L) y un condensador (C) conectados en serie o en paralelo. El circuito forma un oscilador armónico para la corriente y resuena de manera similar a un circuito LC (resonante). Los RCL tienen muchas y variadas aplicaciones: receptores de radio y televisores los utilizan para sintonizar y seleccionar un rango de frecuencias.

Informática

Desarrollo del software, pues mejora la lógica para realizar algoritmos o métodos que resuelvan complejidades. Cálculos matemáticos de ED, estructuras de datos, criptografía, teoría de la computación e AI.

Administración y Economía

Se utiliza para determinar el beneficio o las ganancias netas, costos, interés compuesto, utilidad, costo manufacturero, etc.

En el crecimiento de la población también son muy utilizadas las ED.

En Medicina

Dejo un link: http://diarium.usal.es/delrey/files/2013/12/Matematicas-y-Medicina-presentacion.pdf

En Biología

Dejo otro link: http://departamento.us.es/edan/php/asig/LICBIO/LBII/Teoria2BIOII0910.pdf