¿Un polinomio de grado 3 siempre tiene al menos una raíz real?

Si los coeficientes son números reales, la respuesta es sí.

No solo los de grado 3, esa propiedad la tienen todos los polinomios de grado impar con coeficientes reales.

Se demuestra fácilmente este teorema como consecuencia del teorema de Bolzano para funciones continuas:

Si a y b son números reales con a < b, f: [a , b] → R es una función continua en todo punto del intervalo [a, b], y es f(a) < 0, f(b) > 0, existe cierto X1 € [a, b]

tal que f(X1)=0. Es decir, la ecuación f(X)=0 tiene al menos una solución en [a , b].

Sea P(x) = A0 + A1 * X + A2 * x² +…+An * X^n, con el coeficiente principal An real > 0, n impar > 1 (con n=1 también es cierta la propiedad, evidentemente, pues la ecuación A0 + A1 X=0 tiene la raíz real, única por cierto, x= -A0/A1)

y todos los demás coeficientes no principales sean números reales cualesquiera;

PRIMER CASO: A0 = 0 → La ecuación tiene la raíz X=0, que es real, y queda demostrado el teorema.

SEGUNDO CASO: A0 < 0.

Sacando factor común la potencia principal, x^n, se tiene:

P(x)=(X^n) [A0/X^n +A1/X^(n-1) + A2/X^(n-2) +…+An]; representando el corchete por Q(X),

P(x) = (X^n)* Q(X).

Si X>0, entonces Q(X) > 0 → P(X) > 0, y Q(X)< 0 → P(X) < 0; mientras que si X<0, entonces, por el contrario, Q(X) > 0 → P(X) < 0, y Q(X) < 0 → P(X) > 0.

Pero Lím Q(X) = An, cuando X tiende a + infinito y cuando X tiende a - infinito. Así, dado el nº real (1/2) An, por la definición de límite de una función real para X→+infinito, existe cierto M>0, tal que si X >= M,

|Q(X) - An| < (1/2) An; pero |G| < H si y solo si Gy -G

de modo que la anterior desigualdad implica, en particular, An - Q(X)< (1/2) An, es decir, Q(X) > (1/2) An > 0. Así que, en resumen, X >= M > 0 → Q(X) > 0 → P(x) > 0

Pero como A0 < 0 por hipótesis, P(0) = A0 < 0. Ahora bien, P(X), por ser un polinomio, es una función continua (los polinomios son sumas de términos monomios, cada uno producto de funciones continuas, luego su suma es continua).

Como P(0) < 0 y P(M) > 0 → (Teorema de Bolzano) existe cierto X1 real,

0 < X1 < M, tal que P(X1)=0, y la ecuación tiene una raíz real (en este caso positiva), como queríamos demostrar.

TERCER CASO: A0 > 0.

Definimos R(X) = -P(-X); luego R(X) = -A0 + A1 * X - A2 * X² + A3 * X³ - ….+An * X^n.

En R(X) los coeficientes de grado impar son los mismos que sus homólogos en P(X), y los de grado par son los opuestos de sus homólogos en P(X).

Ahora, por el segundo caso que acabamos de probar, como el término independiente es -A0 < 0, existe un X1 real, tal que X1>0 y R(X1)=0. Sea X2= - X1 < 0.

Pero entonces -P(-X1) = 0 → P(-X1) = 0 → P(X2) = 0 con X2 real (en este caso negativa), luego la ecuación tiene una solución real (al menos), como queríamos demostrar.

No hay más casos posibles, de modo que el teorema queda rigurosamente demostrado.

Si el término independiente no es cero, podemos asegurar siempre que la ecuación P(X) = 0, de grado impar, tiene al menos una raíz real de signo contrario al término independiente, o constante.