¿Cómo se plantea la ecuación diferencial del decaimiento radiactivo?

La vida media de un elemento radiactivo es el tiempo que tarda en perder el 50% de los átomos radiactivos de dicho material. Si tenemos, por ejemplo, 1000 àtomos de Carbono 14, cuya vida media es unos 5.730 años, pasados esos años tendremos 500 átomos de C14CC14C, pasados otros tantos, tendremos 250 átomos de C14CC14C., etc.

Los otros 500 átomos de C14CC14C no se han volatilizado: se habrán convertido en N14NN14N, más una fracción de masa que, ésta sí, se habrá perdido realmente en forma de radiación radiactivaα,β o γα,β o γ

Si llamamos NN a la cantidad inicial de átomos del elemento radiactivo y N(t)N(t) a la cantidad presente en un determinado momento, tendremos que la tasa de variación de número de átomos en un intervalo de tiempo será proporcional a la cantidad de átomos presentes en ese momento. Ante una diferencial de tiempo dtdt, un átomo concreto tiene una probabilidad determinada (la que sea) de decaer, y eso ocurre con la totalidad de átomos presentes de manera independiente, de ahí que la cantidad decaída será proporcional a la cantidad de átomos presentes, no hay mayor misterio.

Así pues:

dNdt=−λNdNdt=−λN

Donde λλ es la constante de proporcionalidad que dependerá de la radiactividad del elemento considerado; y el signo negativo indica que se pierden átomos del elemento, no se ganan.

Se trata de integrar esta ecuación tan sencilla, lo cual es inmediato separando las variables e integrando cada miembro por su lado (ojalá todas las ecuaciones diferenciales fueran así):

dNN=−λdtdNN=−λdt

∫dNN=−λ∫dt∫dNN=−λ∫dt

Y entonces:

lnN=−λt+CN(t)=e−λt+C=eC⋅e−λt=Ke−λtln⁡N=−λt+CN(t)=e−λt+C=eC·e−λt=Ke−λt

donde he llamado KK a la constante eCeC. Esta constante equivale a la cantidad de partículas que teníamos en el momento inicial, lo cual se demuestra de modo tan sencillo como hacer t=0t=0 en la ecuación anterior. Así pues, al final nos queda:

N(t)=N0e−λtN(t)=N0e−λt

Conociendo la vida media de un elemento radiactivo es muy sencillo hallar la constante λλ . Por ejemplo, con el C14 (recordemos, vida media de 5730 años, lo que significa que si teníamos 1000 átomos, tras una vida media tendremos 500). Tendremos:

N(0)=1000N(0)=1000

N(5730)=500=1000⋅e−5730λC14N(5730)=500=1000·e−5730λC14

12=e−5730λC1412=e−5730λC14

ln12=−5730λC14ln12=−5730λC14

λC14=ln(1/2)5730=−1.2⋅10−4a−1λC14=ln⁡(1/2)5730=−1.2·10−4a−1

Las unidades de la constante λλ son de inversos de años, o años elevado a la menos uno.