Si el valor de π se deriva de la geometría que describe nuestra realidad, ¿por qué generalmente se define que en otros universos el π sería el...

Pero no es así.

Si ππ hubiera sido derivado de algo relacionado con la “realidad”, lo que sea que eso significa, entonces hubiera sido posible contemplar otras “realidades” (lo que sea que eso signifique) en las cuales es diferente.

Pero ππ no está derivado de descripciones de la realidad. Además, nunca lo estuvo. La geometría puede ser usada para describir nuestra realidad, casualmente de una forma bastante efectiva, pero la geometría abstracta que se usa de esta forma es abstracta. No le importa lo que es la realidad, lo que hace ni lo que dice.

Más aún, ππ ya nunca más se define a través de la geometría. Es muy difícil definir ππ de forma geométrica, y en sentido lógico es poner las cosas al revés. Mira demostraciones de que ππ es irracional, o trascendente: ninguna de ellas hace ningún uso de circunferencias y diámetros. ππ se define ahora mediante la función exponencial, o algo equivalente a eso.

“¡¡Pero Alon!!”

¿Sí?

“¿Cómo puedes decir que es difícil? ¡ππ es el cociente entre la circunferencia de un círculo y su diámetro!”

Muy bonito. ¿Qué es un círculo?

“El conjunto de puntos a una distancia fija de un punto. Esa distancia se llama el radio del círculo, y el diámetro es el doble de eso.”

Muy bonito. ¿Qué es una circunferencia?

“La… bueno, la longitud del círculo.”

¿Longitud? ¿Tienen longitud los círculos?

“Eh, claro.”

¿Cómo lo sabes?

“Bueno, es obvio. Simplemente… ¡míralos!”

¿Todo tiene una longitud?

“¿Qué quieres decir con ‘todo’?”

Bueno, “el conjunto de puntos a una distancia fija de un punto dado” es definitivamente un conjunto de puntos. ¿Tiene todo conjunto de puntos una longitud?

“No, por supuesto que no. Por ejemplo, a único punto no la tiene. Tampoco la tiene una mancha, como el interior de un triángulo.”

Vale, bien. Así que, ¿cómo sabes que un círculo no es una de esas cosas que no tiene longitud?

“Porque… simplemente ¡míralo!”

Sep, puedo imaginar quizá un círculo. No tengo ni idea si es una mancha, o una cosa que tiene longitud. ¿Qué decías que es “longitud”?

“Bueno, si lo envuelves con una cuerda…”

¿¡Una cuerda física ?! ¿Con el grosor y los pelillos revueltos y toda esa cosa?

“No no no, tienes que imaginar una cuerda idealizada…”

¿Quieres que coloque una cuerda idealizada alrededor de un círculo idealizado, y luego mirar lo larga que es, y luego usar eso para definir un número? ¿cómo se supone que yo debo conocer algo sobre ese número?

“Um…”

Espera, todavía no he acabado. ¿Tú quieres decir que ese cociente de la circunferencia entre el diámetro va a ser el mismo, siempre? ¿Sin importar dónde está el círculo, y sin importar el diámetro? ¿Cómo sabes que es así?

“Um… es obvio…”

No, de verdad, ni por asomo es obvio, ni de coña.

De hecho, todas esas personas que te confunden con “universos alternativos” y “espacios curvados” y “geometría hiperbólica” y lo que sea, se están olvidando de decirte que en la mayoría de variedades (o “espacios curvados”), ya sea que tengan curvatura constante o que no la tengan, esto no es cierto. Los círculos no tienen un cociente fijo entre la circunferencia y el diámetro. Sí lo tienen en el plano Euclídeo, pero casi en ningún otro sitio.

Incluso una vez que pasas las dificultades de definir longitudes de curvas y probar que los círculos tienen longitud, en la mayoría de espacios no hay un análogo de ππ. No en el sentido usual de “circunferencia entre diámetro”.

Y, de nuevo, eso está perfectamente bien, porque ππ es un objeto de las matemáticas útil y con significado, sin importar con cuál geometría estás tratando, ni cuáles son las realidades que tienes intención de modelar, o incluso si no estás modelando ninguna geometría ni realidad en absoluto.