Si la derivada es geométricamente una pendiente, y por ende, la tangente de su ángulo, entonces se puede decir que una integral podría ser...

Me parece que hay una confusión entre la noción de función inversa y la afirmación (común, pero poco precisa) de que integrar es lo inverso a derivar.

Es cierto: la derivada de f en un punto x puede ser interpretada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x, f(x)) y entonces el arcotangente te daría el ángulo θ que dicha recta forma con el eje horizontal.

Ahora bien, cuando decimos que, si f(x) = x² entonces f'(x) = 2x, estamos construyendo una nueva función que, en cada punto x, devuelve la pendiente de la recta tangente a x² en el punto (x, x²). En ese sentido, podemos entender la derivada como una función D, que toma una función y le asocia otra función (la que devuelve su derivada en cada punto). Pensando así, la "integral" sería D⁻¹: la inversa de esa función D, y tendría la propiedad de que D⁻¹(f') = f.

También podemos pensar en la siguiente manera: si tenemos la función f, construir la función M que, dado un punto x en el dominio de f, asigna la pendiente:

M(x) = tan(θ)

La inversa de esta función nos diría, dada una pendiente en la gráfica, en qué punto del dominio se obtiene esa pendiente

M⁻¹(tan(θ)) = x

Es decir, M asocia puntos a pendientes, mientras que M⁻¹ asocia pendientes a puntos.

Por otro lado, el arcotangente, es una función toma números y devuelve ángulos, y tiene la propiedad de que tan(arctan(x)) = x. Veamos que

1. El arcotangente no puede ser la función D⁻¹, pues ésta opera sobre funciones, no sobre números, con lo cual no pueden compararse.
2. Si tomamos el arcotangente de M(x) obtendremos el ángulo θ que forma la recta tangente con el eje x, no el punto x en el cual se obtiene la pendiente tan(θ). Esto nos hace ver que el arcotangente tampoco es la inversa de M.

Ahí termina la parte esencial de la respuesta. Sin embargo, me gustaría aclarar algunos puntos sobre lo dicho:

i. La función D puede tomar dos funciones y asociarles el mismo resultado. Por ejemplo f(x) = x y g(x) = x + 2; D envía a ambas a la función h(x) = 1. Eso hace que D⁻¹ no exista estrictamente, habría que eliminar la posibilidad de constantes aditivas, y tomar otras precauciones que salen por mucho del objeto de esta respuesta.

ii. Escribí "integral" entre comillas, pues la acción de "buscar una función de la cual f es derivada" no es integrar f, se llama buscar una primitiva de f. Integrar significa calcular el área bajo la gráfica de una función en un intervalo dado, y es una tarea que se puede simplificar si uno tiene una primitiva previamente calculada y utiliza el teorema fundamental del cálculo. En la gran mayoría de los casos no hemos calculado previamente esa primitiva, sino que es una función nueva, desconocida, y para calcularla, tenemos que hacer muchas integrales (una por cada punto del dominio).

iii. La función M puede asociar a puntos distintos la misma tangente (por ejemplo: en la función sen(x) M(0) = M(π) = 0), con lo cual tampoco existe en general su inversa. Este es un argumento secundario para ver que M⁻¹ no puede coincidir con el arcotangente, que siempre existe.

iv. La derivada de una función es una noción local. Es decir, para una función dada, depende únicamente de lo que pasa alrededor de un punto. La integral depende de lo que pasa en todo un intervalo: es una noción global. El cálculo de la tangente y del arcotangente son nociones puntuales, es decir: para calcular la tangente de un número sólo necesito saber cuál es el número, no necesito saber cuál es el comportamiento de una función alrededor de él, ni mucho menos en todo un intervalo dado. Esta es otro argumento secundario para ver que en general las funciones trigonométricas no nos van a dar integrales.