¿Podrían recomendarme algún libro que introduzca a resolver problemas como: "Dado un triángulo ABC, construye, con regla y compás, un punto K de...

El libro de oro sobre todos los problemas de geometría métrica elemental y menos elemental, es un clásico en francés, ya antiguo pero nunca superado:

F.G.M. Exercices de Géométrie, 1912.

Tiene 1302 páginas, y aborda toda clase de construcciones geométricas con regla y compás y muchísimas más cosas. Es la Enciclopedia por excelencia sobre problemas de geometría métrica, algunos de verdadera dificultad e incluso contiene problemas abiertos todavía hoy día, como el de construir (o resolver al menos analíticamente) un triángulo conociendo sus tres bisectrices interiores.

Entre los textos clásicos franceses no puede dejar de citarse a Rouché y Comberusse,

Traité de Géométrie (1922) (tomo primero) y Traité de Géométrie (1891) (tomo segundo). Trata ampliamente la geometría métrica del plano y del espacio a un nivel bastante avanzado. Las construcciones geométricas están allí expuestas con verdadera amplitud y maestría. Sobre todo debe destacarse su tratamiento de la geometría del triángulo, que es toda una sub-especialidad en el contexto de la geometría métrica.

Hay otro libro más reciente bastante elemental y mucho más breve, pero muy bonito y con problemas muy interesantes resueltos o con indicaciones para su resolución.

Se trata del libro de I. Shariguin, Problemas de planimetría, Editorial MIR (1986).

Los libros "modernos" de texto, desde la irrupción del formalismo inspirado en los bourbakistas desterraron toda la geometría elemental, despreciaron la intuición geométrica con descalificaciones gruesas como, por ejemplo, las de Dieudonné, que consideraba un atraso muy perjudicial incluir un solo gráfico en un libro de análisis matemático (!!). La brillantez de este gran investigador no le absuelve de este gran error pedagógico, al fin reconocido por casi todo el mundo académico actual.

Desde los últimos 20 o 30 años ha habido algo más de consideración y reconocimiento al papel esencialmente formativo de la geometría elemental, y se publicaron algunos textos que, en algunos casos tímidamente, trataron de remediar esta carencia formativa en los estudiantes.

Algunos libros actuales, más respetuosos con la intuición geométrica y el valor de las construcciones con regla y compás, exponen elegantemente este tipo de problemas.

Por ejemplo, Matemáticas básicas, de Pablo Serrano Aguilar (2015), es una preciosidad de texto, con un sentido común muy poco frecuente entre los textos didácticos de matemáticas, y con una verdadera dirección pedagógica; un texto que pone la geometría griega clásica en el lugar preeminente de donde nunca debió bajar en el ámbito de la enseñanza de las matemáticas. Ahí puedes ver numerosas construcciones con regla y compás y lo mejor de todo: los razonamientos que conducen a ésas y a muchas otras construcciones.

Además, Pablo Serrano colabora habitualmente en este foro de Quora, y en sus interesantes respuestas que aquí puedes encontrar comprobarás su profundo conocimiento histórico y didáctico de la geometría. Y puedes consultarle cualquier duda: la geometría le apasiona.

Entre los viejos textos de geometría métrica, en castellano, que tratan las construcciones con regla y compás, es muy bueno y conciso el manual de Bruño, Elementos de Geometría, LIBRERÍA DE LA VIUDA DE BOURET, París y México, 1929. (Se encuentra fácilmente en anticuarios o en AbeBooks).

Y entre los autores españoles no puede dejar de citarse la gran obra en dos tomos del excelente e inolvidable profesor Puig Adam, Curso de Geometría Métrica (1986). Ahí se pueden ver construcciones geométricas y multitud de teoremas generales con sus demostraciones y muchas cosas más, incluida toda la trigonometría.