Además de decir la hora, ¿cuáles son algunas aplicaciones de la aritmética modula?

Además de decir la hora, ¿cuáles son algunas aplicaciones de la aritmética modular?

Si te gusta el mentalismo y los juegos matemágicos, usando la aritmética modular puedes realizar un número que a mí me parece espectacular. Se lo vi hacer a un tipo que lo dominaba, y con la mayor vehemencia le rogué que me lo contara. Le decían una fecha (año-mes-día) y el tipo miraba al vacío y en unos 3 o 4 segundos decía el día de la semana correcto (lunes-martes-miércoles…etc). Era un calendario perpetuo con piernas…

Hubo una época, queridos chicos y chicas, en que no existía Internet: así, como lo oís. Y quienes la conocimos, no sabemos muy bien porqué, pero la añoramos. Seguramente sea porque cada dato tenía el valor de un lingote de oro, y ahora dejamos los lingotes de oro tirados por el suelo, no los valoramos como entonces, por la facilidad de acceso a casi todo.

Las únicas maneras de averiguar algo eran:

1) Preguntar al que lo sabía, si quería contártelo.

2) Hacer colas interminables en buenas y grandes bibliotecas para descubrir tras varios días o semanas, que no aparecía lo que buscabas por ninguna parte, después de quedar tus dedos llenos de polvo de sabiduría acumulado entre las páginas, procedente de las estanterías; o de las tormentas de polvo que tienen lugar durante la noche, cuando la biblioteca está sumida en la penumbra, y los libros pierden el miedo durante unas horas y bajan de sus anaqueles para jugar entre ellos; ese polvo de sabiduría a veces se había sedimentado durante más de un siglo, si el libro era antiguo.

3) Y la última manera (de averiguar algo), era resolver por ti mismo el problema, si es que era resoluble mediante el razonamiento: por ejemplo, el problema matemático más complejo podrías, tal vez, resolverlo a solas, si te esfuerzas mucho y si te acompaña el talento; pero si quieres determinar cómo se llamaba la madre de Poncio Pilatos, aunque seas un genio absoluto, mientras no veas el dato o te lo cuenten, no lo vas a descubrir por ti mismo…

Así que, después de recibir la negativa -poco amable- del mentalista, que no quiso contármelo (secretos de su oficio), y después de buscar calendarios perpetuos que podían encontrarse en libros, revistas…hasta en librerías, o en agendas personales…consultar la conocida fórmula de Gauss, perfecta pero no aplicable mentalmente, sin papel ni lápiz ni calculadora, llegué a la conclusión de que no era posible memorizar centenares de números de una o dos cifras en varias hileras, puesto que aun consiguiéndolo, es muy posible que la mínima distracción le fuerce al mentalista a cometer un error, o a tardar mucho más de lo esperado y quedar en evidencia, como un vulgar aficionado.

Tuve que recurrir a la tercera vía, dediqué al asunto algunos días libres y encontré que es posible adivinar (en realidad, calcular) mentalmente el día de la semana, tal como figura en el calendario perpetuo, si se tiene capacidad de cálculo mental muy básico, después de un somero entrenamiento, y memoria suficiente como para recordar el equivalente a tres números de teléfono.

La deducción no la desarrollaré aquí por brevedad, aunque si alguien está interesado, no tengo inconveniente en reproducirla en otra respuesta; se basa esencialmente en la aritmética modular (módulo 7) y en propiedades sencillas pero no completamente triviales de la función parte entera:

[x]= mayor entero que no supera x; ejemplo: [2]=2; [2.78]=2; [-4]=-4; [-0.214]=-1. Es una función utilísima, mucho más de lo que puede creer cualquier principiante en matemáticas.

La solución del problema es la siguiente:

Siglos: nos limitamos al XIX, XX y XXI por sencillez, y por interés para el público.

Constante del siglo:

Ksiglo XIX→+2 //Ksiglo XX→+0 //Ksiglo XXI→-1.

Sea N=año (dos últimas cifras; por ejemplo, 1928→N=28)

Constante del mes: Kmes

Enero (0)- Febrero (3) - Marzo (3)

Abril (6) - Mayo (1) - Junio (4)

———————————

Julio (6) - Agosto (2) - Septiembre (5)

Octubre (0) - Noviembre (3)- Diciembre (5).

Por ejemplo, la constante de Agosto es 2, la de Enero es 0, etc.

Se recuerdan mnemotécnicamente los valores de Kmes como si fueran dos números de teléfono:

0 3 3→ invierno

6 1 4 →primavera

———

6 2 5 → verano

0 3 5 → otoño

(en el hemisferio sur las estaciones son las contrarias, claro).

Años bisiestos: Son los múltiplos de 4 que no terminen en dos ceros, y también los que terminen en dos ceros pero suprimiéndolos se obtenga un múltiplo de 4. Recordemos que un entero es múltiplo de 4 si sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4.

Ejemplos:

1900 no es bisiesto, pues 19 no es múlt. 4

1600 sí es bisiesto (16=múlt.4)

2000 sí es bisiesto (20 = múlt. 4)

1844 sí es bisiesto (pues 44 = múlt. 4)

1946 no es bisiesto (pues 46 no es múlt. 4), etc.

Constante del año:

Kaño: [N/4]+N (mód 7)

Ejemplos:

Si N=37, Kaño ≡ [37/4]+37 = 9+37=46 ≡ 4 (mód. 7) (vale igual -3 como +4)

Si N=63, Kaño ≡ [63/4]+63 ≡ 15+0=15 ≡ 1 (mód. 7)

Si N=72, Kaño ≡ [72/4]+72 ≡ 18+2=20 ≡ -1 (mód. 7) etc.

Fórmula del día de la semana de la fecha elegida:

F ≡ Kaño+Kmes+día+Ksiglo (mód 7)

{-1 solo en Enero o Febrero de año bisiesto}

F=0 → Domingo / F=1→ Lunes / F=2 → Martes…F=6→Sábado

Ejemplos:

1) 27 diciembre de 1968. Preguntamos primero el año, para no hacernos un lío y equivocarnos: 1968. El cálculo de Kaño es:

Kaño ≡ [68/4]+68=17+68 ≡ 3+ 68 =71 ≡ 1 (mód 7)

Preguntamos el mes: Diciembre

Kmes=5

Preguntamos el día:

Día = 27.

Ksiglo XX=0

Sumamos módulo 7:

F ≡ Kaño+Kmes+día+Ksiglo (mód 7) → F≡1+5+27+0 ≡ 33 ≡ -2 ≡ 5→Viernes

Con un poco de práctica se realiza el cálculo en segundos, y todo consiste en recordar los múltiplos de 7 entre 1 y 100:

(7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98) así como las divisiones enteras por 4 (sin tomar en cuenta el resto, solo el cociente entero) entrenándose en hacerlo mentalmente. Hay varios trucos, como por ejemplo:

[78/4]=19 (pienso 80/4=20, y es una unidad menos; o divido de memoria = 19, pues sé que el múltiplo de 4 más próximo es 76).

2) Año =1840. Kaño=[40/4]+40=50≡1 (mód 7).

Mes = Febrero→ Kmes=3 (ver tabla anterior, los dos números de teléfono)

Día = 8

Ksiglo=+2

¡PRECAUCIÓN! 1840 es bisiesto,

pues 40=múlt. 4, y el mes es Febrero (en enero y febrero bisiestos se resta 1)

F ≡ Kaño+Kmes+día+Ksiglo-1 (mód 7)

F≡1+3+8+2–1 ≡ 13 ≡ -1 ≡ 6→Sábado

Siempre podemos sumar o restar múltiplos de 7, que son como ceros, pues usamos aritmética módulo 7, porque pasada una semana exacta, la fecha cae en un mismo día de la semana: de ahí que 7 sea como cero; si era lunes, 7 días después será lunes, si era martes, será martes después de 7 días, etc.

El efecto de este cálculo rápido será espectacular, evidentemente, si la "víctima" no conoce el truco, principio esencial de toda la magia, incluido el mentalismo; y aunque sospeche que calculamos algo, no puede creer que llevemos centenares de cifras en la memoria, de ahí el efecto.

No se debe repetir más de tres o cuatro veces consecutivas para que no se pierda el efecto sorpresa, y se puede usar este principio como base de juegos mágicos más complejos. Por ejemplo, si sabemos en qué año nació un conocido, podemos llevar ya la constante calculada, lo que aumenta la "aparente" velocidad de respuesta en la "adivinación".

Bastantes juegos mágicos con cartas (Cartomagia) se basan en la teoría de congruencias, y emplean aritmética modular, como el de los cortes de la baraja sin desordenar los ases, doses, treses…

Por supuesto, hay una infinidad de aplicaciones de la aritmética modular, pero he elegido ésta porque es menos conocida por el gran público, y mucha gente no sabe que muchos juegos mágicos extraordinarios tienen una fuerte base matemática; muy a menudo relacionada con propiedades aritméticas y combinatorias sencillas, algunas veces, y otras no tanto.