¿Qué infinito es mas grande, la cantidad de números primos o la cantidad de números naturales?

Argumento de la diagonal de Cantor - Wikipedia, la enciclopedia libre

un ejemplo de como funciona el argumento diagonal de Cantor para probar la existencia de un conjunto no numerable . Dada la lista inicial, formada por números con alguna cifra marcada en rojo, puede probarse que ningún elemento de la lista coincide con el número cuya expresión tiene las cifras marcadas en azul, ya que dicho número difiere de todos y cada uno de los anteriores. El argumento de la diagonal de Cantor , también conocido como método de la diagonal , es una argumentación o demostración matemática vislumbrada por Georg Cantor hacia 1891 para demostrar que el conjunto de los números reales no es numerable . Esta demostración de la imposibilidad de contar o enumerar los números reales no fue la primera, pero sí la más sencilla y elegante. Posteriormente, esta demostración inspiró otras demostraciones, conocidas como argumento diagonal por la analogía con esta demostración. Números reales [ editar ] La prueba original de Cantor demuestra que el intervalo [0,1] no es numerable, es decir, no podemos enumerar la lista de todos los reales dentro del intervalo (siempre habrá más). Se extiende a todos los reales, ya que es posible equipotenciar estos al intervalo. Podemos demostrar que lo que es válido para el intervalo [0,1] lo es para cualquier otro, por grande que sea (exceptuando el intervalo [0,0] que tiene un solo valor el cero). La demostración es por reducción al absurdo : Se supone que el intervalo [0,1] es infinito numerable. En ese caso se podría elaborar una secuencia de los números, ( r 1 , r 2 , r 3 ,... ). Se sabe que los reales entre 0 y 1 pueden ser representados solamente escribiendo sus decimales. Se colocan los números en la lista (no necesariamente en orden). Considerando los decimales periódicos, como 0.499... = 0.500..., como los que tienen infinitos nueves. La secuencia podría tener un aspecto similar a: r 1 = 0. 5 1 0 5 1 1 0... r 2 = 0. 4 1 3 2 0 4 3... r 3 = 0. 8 2 4 5 0 2 6... r 4 = 0. 2 3 3 0 1 2 6... r 5 = 0. 4 1 0 7 2 4 6... r 6 = 0. 9 9 3 7 8 3 8... r 7 = 0. 0 1 0 5 1 3 5... ... Dada la primera premisa dicha lista contiene todos los números reales entre 0 y 1. Con esto, se puede construir un número x que debería estar en la lista. Para eso usamos los números de la diagonal. r 1 = 0. 5 1 0 5 1 1 0... r 2 = 0. 4 1 3 2 0 4 3... r 3 = 0. 8 2 4 5 0 2 6... r 4 = 0. 2 3 3 0 1 2 6... r 5 = 0. 4 1 0 7 2 4 6... r 6 = 0. 9 9 3 7 8 3 8... r 7 = 0. 0 1 0 5 1 3 5 ... ... El número x está definido así: al k-ésimo dígito decimal de x le corresponde el k-ésimo dígito decimal de r k más 1 (en caso de que fuera un nueve, se le asigna el dígito cero) Entonces x = 0.6251346.... El número x es claramente un real. Pero... ¿Dónde está x? Si yo quisiera decir que x está en el enésimo lugar de mi lista, no sería cierto, ya que el enésimo dígito de r n es distinto al de x . Entonces esta no es una lista completa de los reales en el intervalo [0,1]. Existe una contradicción, que nace de la premisa de suponer que estos números son infinitos

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ - Wikipedia, la enciclopedia libre

Prueba animada de la fórmula que da la suma de los n primeros números enteros 1 + 2 + ⋯ + n . Las primeras cuatro sumas parciales de la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ . La parábola es su asíntota "suavizada"; su cruce con el eje y es infinito. [ 1 ] ​ La suma infinita cuyos términos son los números naturales 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ es una serie divergente . La n -ésima suma parcial de la serie es el número triangular ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}},} que incrementa sin límite mientras n tiende al infinito . Ya que la sucesión de sumas parciales no converge a un límite finito , la serie no tiene una suma. Aunque a primera vista parece que la serie no tiene ningún valor significativo, puede ser manipulada para producir varios resultados matemáticamente interesantes, algunos de los cuales tienen aplicaciones en otras áreas como el análisis complejo , la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas . Varios métodos de suma se usan en matemáticas para asignarle valores numéricos a series divergentes. En particular, los métodos de regularización de la función zeta y el sumatorio de Ramanujan le asignan un valor de - 1 / 12 , que está expresado por una fórmula famosa: [ 2 ] ​ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1 12 {\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}} En una monografía acerca de Monstrous moonshine , Terry Gannon llama a esta ecuación "una de las fórmulas más notables en las ciencias". [ 3 ] ​(-4,3) y (-1,2). Sumas parciales [ editar ] Los primeros seis números triangulares Las sumas parciales de la serie 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ son 1, 3, 6, 10, 15 , etc. La n -ésima suma parcial está dada por una fórmula simple: ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.} Esta ecuación ya era conocida por los Pitagóricos desde al menos el siglo VI a. C. . [ 4 ] ​ Los números que cumplen esta forma se llaman números triangulares porque pueden ser acomodados para formar un triángulo equilátero. La sucesión infinita de números triangulares diverge hacia +∞, así que por definición la serie infinita 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ también diverge a +∞. La divergencia es una simple consecuencia de la forma de la serie: los términos no se acercan a cero, así que la serie diverge por el test del término . Sumabilidad [ editar ] Entre las series clásicas divergentes, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ es relativamente difícil de manipular hacia un valor finito. Muchos métodos de suma se usan para asignar valores numéricos a las series divergentes, algunos son más poderosos que otros. Por ejemplo, la sumación de Cesàro es un método reconocido que suma la serie de Grandi , la serie levemente divergente 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ , a 1 / 2 . La suma de Abel es un método más poderoso que no solo suma la serie de Grandia a 1 / 2 , sino que también suma la serie más compleja 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ a 1 / 4 . A diferencia de las series anteriores, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ no se puede sumar a través de la sumación de Cesàro ni la de Abel. Esos métodos funcionan