¿Cómo establecer que n^2+(n+1) ^2 es un cuadrado perfecto, para un número infinito de números naturales?

n² + (n + 1)² = y² → si resolvemos esta ecuación diofántica cuadrática, con dos incógnitas, o demostramos tan solo que admite infinitas soluciones en números naturales, habremos demostrado lo que pide la pregunta.

n² + (n + 1)² = y² → n² + n² + 2n + 1 = y² → 2n² + 2n + 1 = y² → 4n² + 4n + 2 = 2y² →

(2n + 1)² + 1 = 2y² → sea 2n + 1 = x →

Obtenemos así una de las ecuaciones de primera especie de Fermat:

x² - 2y² = - 1 (&)

A la ecuación diofántica cuadrática x² - Dy² = 1, donde D es un entero positivo no cuadrado perfecto, en toda la bibliografía matemática, se la llama ecuación de Pell , debido a un error de atribución, porque Pell no contribuyó en nada a la teoría de esta ecuación diofántica; al parecer, todo se debió a una cita errónea de Euler, que la atribuyó a Pell, y este nombre se extendió en la literatura matemática, ocultando de manera injusta el gran papel de Fermat, el primer europeo del siglo XVII que se ocupó del estudio sistemático de su solución general (antes habían estudiado esa ecuación Diofanto -siglo IV-, y luego los hindúes Brahmagupta -siglo VII y Bhaskara II -siglo XII- ). Fermat señaló su importancia fundamental en la teoría de ecuaciones diofánticas cuadráticas con dos incógnitas.

Mollin y Srinivasan (especialistas en la ecuación de Pell) en un interesante artículo de 2010, para el International Journal of Algebra, Vol. 4, titulado A Note on the Negative Pell Equation, se refieren a la ecuación x² - Dy² = - 1, intrínsecamente relacionada con la ecuación de Pell, como figura en el título: la ecuación de Pell negativa.

Así como la ecuación de Pell, x² - Dy² = 1 (D entero positivo no cuadrado) siempre admite infinitas soluciones enteras y positivas, la ecuación de Pell negativa, x² - Dy² = - 1, o bien tiene infinitas soluciones o bien no tiene solución alguna.

Cuando D = 2, como en (&), la ecuación de Pell negativa es x² - 2y² = - 1 .

Una solución no trivial (o sea, con x, y enteros positivos), precisamente la que da el menor valor para las dos incógnitas, llamada solución fundamental, es

x = 1, y = 1.

Podríamos emplear la teoría general de la ecuación de Pell, pero para lectores poco versados en este capítulo esencial para la teoría de números, hay una manera más simple y directa de demostrar que (&) admite infinitas soluciones enteras y positivas, mediante una ley recurrente.

En primer lugar, observemos que si los enteros positivos x, y son una solución válida de la ecuación

x² - 2y² = - 1 → x² = 2y² - 1 → x² = par - impar = impar; si x fuera par, su cuadrado también lo sería; pero como x² es impar, x debe ser forzosamente impar. Esto nos viene muy bien, puesto que en nuestro problema actual habíamos representado con x al entero impar 2n + 1 → 2n + 1 = x .

Así que si x, y es cualquier solución en enteros positivos de x² - 2y² = - 1, podremos calcular n

como n = (x - 1) / 2, operación que, por ser x impar, siempre nos dará un número natural para n.

Nos basta pues con demostrar -directamente- que x² - 2y² = - 1 admite infinitas soluciones enteras y positivas.

Una de las características más sorprendentes en la teoría de números es que se puedan emplear números irracionales para calcular soluciones enteras de las ecuaciones diofánticas.

En este caso, por ser x = 1, y = 1 la solución fundamental de x² - 2y² = - 1 →

1² - 2 * 1² = - 1 → (1 + √2) (1 - √2) = - 1 .

Elevando ambos miembros a un exponente entero positivo impar cualquiera, tal como 2k + 1,

donde k es cualquier entero tal que k ≥ 0, tendremos:

(1 + √2)²ᵏ⁺¹ (1 - √2)²ᵏ⁺¹ = (- 1)²ᵏ⁺¹ → (1 + √2)²ᵏ⁺¹ (1 - √2)²ᵏ⁺¹ = - 1 (*) ; del mismo modo,

si los enteros positivos xₖ, yₖ verifican xₖ² - 2yₖ² = - 1 → (xₖ + yₖ√2) (xₖ - yₖ√2) = - 1 (**).

Podemos igualar el primer y segundo factor paréntesis en (**) con el primero y segundo en (*) ;

esto no se deduce de (*) y (**) : es al contrario, si se dan esas igualdades primero = primero y segundo = segundo entonces tendremos una solución de (**) , y por tanto, de la ecuación de Pell negativa. Así pues,

xₖ + yₖ√2 = (1 + √2)²ᵏ⁺¹

xₖ - yₖ√2 = (1 - √2)²ᵏ⁺¹ (&&)

Sumando y restando miembro a miembro ambas ecuaciones,

2 xₖ = (1 + √2)²ᵏ⁺¹ + (1 - √2)²ᵏ⁺¹

(2√2) yₖ = (1 + √2)²ᵏ⁺¹ - (1 - √2)²ᵏ⁺¹. De manera que:

xₖ = { (1 + √2)²ᵏ⁺¹ + (1 - √2)²ᵏ⁺¹ } / 2

yₖ = { (1 + √2)²ᵏ⁺¹ - (1 - √2)²ᵏ⁺¹ } / (2√2)

Aunque parezca increíble a primera vista, estos valores de xₖ, yₖ son enteros y positivos.

No es difícil demostrarlo directamente; pero encontraremos las fórmulas recurrentes que probarán lo mismo y que están libres de emplear la irracional √2, lo que simplifica el cálculo sucesivo de las soluciones.

Aumentando en la primera ecuación de (&&) el parámetro k (entero no negativo) en una unidad:

xₖ₊₁ + yₖ₊₁√2 = (1 + √2)²ᵏ⁺³ = (1 + √2)² (1 + √2)²ᵏ⁺¹ = (3 + 2√2) (xₖ + yₖ√2) =

= (3xₖ + 4yₖ) + (2xₖ + 3yₖ) √2 ; igualando partes racionales y partes irracionales:

xₖ₊₁ = 3xₖ + 4yₖ

yₖ₊₁ = 2xₖ + 3yₖ .

Por tanto, si (xₖ, yₖ) es una solución en enteros positivos de la ecuación x² - 2y² = - 1 ,

también será solución váilda xₖ₊₁, yₖ₊₁. En efecto, comprobemos: xₖ₊₁² - 2yₖ₊₁² =

(3xₖ + 4yₖ)² - 2 (2xₖ + 3yₖ)² = 9xₖ² + 16yₖ² + 24xₖyₖ - 8xₖ² - 18yₖ² - 24xₖyₖ =

= xₖ² - 2yₖ² = - 1, puesto que suponíamos que (xₖ, yₖ) era una solución.

Pero evidentemente, siendo xₖ ≥ 1, yₖ ≥ 1, será:

xₖ₊₁ = 3xₖ + 4yₖ > xₖ ; yₖ₊₁ = 2xₖ + 3yₖ > yₖ ; de modo que la solución (xₖ₊₁, yₖ₊₁) será distinta de la anterior (xₖ, yₖ) y los valores solución para las incógnitas x, y serán estrictamente mayores que los respectivos valores dados por la solución anterior.

Así, x₀ < x₁ < x₂ < … < xₖ < xₖ₊₁ < … ; y₀ < y₁ < y₂ < … < yₖ < yₖ₊₁ < …etc.

Como pueden asignarse infinitos valores al número natural k, a partir de cero en adelante, y las soluciones obtenidas siempre van creciendo respecto a las anteriores, la ecuación de Pell negativa

x² - 2y² = - 1 admite infinitas soluciones en enteros positivos x, y, como queríamos demostrar; lo cual prueba, a su vez, que existen infinitos valores naturales de n tales que n² + (n+1)² es un cuadrado perfecto, que era lo que pedía demostrar la presente pregunta.

Algunas soluciones particulares.

En la teoría completa sobre la ecuación de Pell se demuestra que todas las soluciones de la ecuación de Pell negativa x² - 2y² = - 1 se encuentran de este modo, y por tanto no falta ninguna.

La relación entre las fracciones continuas infinitas, que desarrollan los irracionales cuadráticos simples y las soluciones de las ecuaciones de Pell (sean o no negativas) es uno de los descubrimientos verdaderamente fascinantes en la teoría de números. Sin embargo, sin entrar en estos complicados terrenos, hemos probado lo que pedía la pregunta.

Asi, será:

xₖ₊₁ = 3xₖ + 4yₖ

yₖ₊₁ = 2xₖ + 3yₖ ; siendo x₀ = 1 ; y₀ = 1 → x₁ = 3 * 1 + 4 * 1 = 7 ; y₁ = 2 * 1 + 3 * 1 = 5 →

x₁ = 7 ; y₁ = 5 ;

x₂ = 41 ; y₂ = 29

x₃ = 239 ; y₃ = 169…etc.

Como era n = (x - 1) / 2, tendremos los valores que hacen cuadrado a n² + (n + 1)² →

Para x₀ = 1 → n = 0 → n² + (n+1)² = y₀² = 1²

Para x₁ = 7 → n = 3 → n² + (n+1)² = y₁² = 5²

Para x₂ = 41 → n = 20 → n² + (n+1)² = y₂² = 29²

Para x₃ = 239 → n = 119 → n² + (n+1)² = y₃ ² = 169²…etc.

En resumen, entre los infinitos ejemplos de cuadrados consecutivos cuya suma es otro cuadrado, los primeros son

0² + 1² = 1² ; 3² + 4² = 5² ; 20² + 21² = 29² ; 119² + 120² = 169²…etc.

Esto resuelve el problema de hallar los infinitos triángulos rectángulos con los tres lados enteros, y los catetos expresados por enteros consecutivos.

El crecimiento de los valores solución para n es muy rápido, puesto que los valores sucesivos de x + y√2 crecen en progresión geométrica (de razón 3 + 2√2).