¿Hay algún entero positivo n>1 tal que la suma de los primeros n cuadrados perfectos 1²+2²+…+n² sea otro cuadrado perfecto?

Sí, desde luego. La suma de los primeros 2424 cuadrados es 49004900, que es 702702.

No sabría decirte cómo encontrar todos los enteros positivos nn que satisfacen la condición deseada. Ese ejemplo en particular lo encontré considerando la fórmula cerrada para la suma de los primeros nn cuadrados,

12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.

Lo que pides es encontrar nn y mm tales que

n(n+1)(2n+1)=6m2.n(n+1)(2n+1)=6m2.

Ahora bien, los tres números nn, n+1n+1 y 2n+12n+1 son primos relativos dos a dos, lo cual permite únicamente dos casos:

• dos de ellos son cuadrados y el otro es seis veces un cuadrado,
• uno de ellos es cuadrado, otro es el doble de un cuadrado y otro es el triple de un cuadrado.

Enseguida reparé en que 2424 es seis veces un cuadrado, 24+124+1 es cuadrado y, para mi fortuna, 2⋅24+12⋅24+1 es también un cuadrado, lo cual produjo la solución que buscaba.