¿Cómo la suma de todos los números naturales hasta el infinito puede dar como resultado -1/12?

Si en (n(n+1))/2 que es la fórmula para calcular la suma de todos los números naturales desde 1 hasta el que se desee, por ejemplo 2056:

(2056(2056+1))/2 = (2056 . 2057)/2 = 4229192/2 = 2114596

Sustituimos n por infinito, el resultado es infinito.

Lo de 1+2+3+4+…+n =-1/2, (siendo n = infinito) es un truco matemático.

Pero …

Consideremos la suma S= 1 + 2 + 3 + 4+ ... a continuación multiplicamos esta suma por 4 para obtener la suma

4S= 4 + 8 + 12 + 16 + ... seguidamente restamos a la primera suma la segunda para obtener S - 4S= -3S:

S= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...

4S= 4+ +8 + 12 + ...

-3S= 1 + (2-4) + 3 + (4-8) + 5 + (6-12) + ... = 1 -2 +3 -4 + 5 -6 +...

Hemos obtenido la misma suma pero con los números pares cambiados de signo; pero además hemos obtenido algo mucho más impresionante: la suma -3S es convergente (aunque no lo parezca) y por tanto podemos asignar un valor finito a su suma.

Para ver esto, tomamos la función 1/(1+x)^2 , y la desarrollamos en serie de potencias (serie de Taylor):

1/(1+x)^2 = 1-2x+3x^2-4x^3+5x^4

si asignamos a x el valor 1 entonces obtenemos exactamente la serie -3S anterior.

Entonces tenemos que 1/(1+1)^2 = -3S, por lo tanto tenemos que

S = -1/12.

Pero esto no es correcto, pues no debe ser posible tratar con series divergentes que contienen infinitos números.

El efecto Casimir y la suma de los infinitos números naturales

El Efecto Casimir responde a la fuerza de atracción que experimentan dos placas metálicas cuando se las separa una distancia muy pequeña. Este efecto es una predicción de la mecánica cuántica y recientemente experimentos de gran precisión han confirmado su existencia y han medido su valor. Primero veamos qué es lo que predice la teoría.

"Consideremos dos placas metálicas separadas una pequeña distancia "a". Según la mecánica cuántica, dentro de las placas solo puede haber ondas electromagnéticas cuya longitud de onda sea un múltiplo de a, es decir, ondas de frecuencia w=Π/a*n, donde n va desde 1 hasta infinito. Este hecho produce que en el interior de las placas la cantidad de ondas electromagnéticas sea menor que en el exterior, lo que debería producir una pequeña fuerza atractiva que tendiese a juntar las placas. Para calcular el valor de esta fuerza, consideremos 2 pares de placas una dentro de la otra como se indica en la figura:

La energía total en las placas E(r) será la suma de la energía en el lado derecho r= (L-a) más la del lado izquierdo r=a: Energía total (a)= E (a) + E (L-a) = (1/a+1/(L-a))Π/2*n donde n va desde 1 hasta infinito.

La fuerza Casimir será entonces:

F(a)=-d Energía total/da= (1/a^2 + 1/(L-a)^2)Π/2*n; por tanto tenemos que para L tendiendo a infinito nos queda:

F(a)=Π/2*1/a^2 *(1+2+3+4+...)

Es decir, esta fuerza es proporcional a la suma de los infinitos números naturales, por tanto, deberíamos esperar una "infinita" fuerza repulsiva entre las placas, lo cual, evidentemente no coincide con el resultado experimental.

Pero entonces, ¿Que estamos haciendo mal? ¿Como podemos lidiar con una suma infinita?

Es ahora cuando la magia de la relación entre Física y Matemáticas emerge con todo su esplendor y nos ofrece una respuesta tan ajena a nuestro sentido común que raya lo inverosímil: el resultado medido para la fuerza de Casimir es exactamente el que mediaríamos si la suma de los infinitos números naturales es -1/12.

Cosas de la física.

Para conocer mejor el Efecto Casimir y sus implicaciones, más otras cosas, adjunto un link bastante ilustrativo y curioso:

http://www.ice.csic.es/personal/elizalde/eli/ic03-09_Elizalde.pdf