¿Por qué introdujeron la medida en radianes si es más fácil trabajar con grados o la medida en radianes tienen otras aplicaciones?

Existen tres modos de gradientes en trigonometría: los grados sexagesimales, los radianes y los gradianes. Los tres sirven para realizar cálculos trigonométricos, pero con salvedades como ahora explico.

Cualquiera que haya estudiado matemáticas a un nivel preuniversitario, sabe, o debería saber que los argumentos de las funciones trigonométricas deben expresarse en radianes en lugar de grados. Con toda seguridad, también recordarán aquello de “la derivada del seno es el coseno”, esto es, que si

entonces

Lo que apuesto a que no saben muchos es que esta fórmula no siempre es correcta: sólo es válida si la variable independiente x representa un ángulo medido en radianes. Si el ángulo está medido en grados y derivamos así, lo estaremos haciendo mal. ¿Cómo es esto posible? Vamos a verlo.

Lo primero que haremos será recordar de dónde viene eso de “la derivada del seno es el coseno”. La definición de derivada de una función en un punto nos dice que, si f es una función derivable en un punto a, entonces su derivada en a es:

Haciendo el cambio de variable h=x-a, tenemos una expresión que resulta más manejable para calcular la función derivada de f:

Utilizando la función seno y sustituyendo el valor concreto a por uno genérico x, nos queda:

Observación: h, x y a son, en el caso que nos ocupa, argumentos de razones trigonométricas relacionadas mediante h=x-a, por lo que deben estar medidas en las mismas unidades.

Continuamos utilizando la fórmula de la diferencia de dos ángulos:

Llamando A a x+h y B a x, nos queda:

Este límite lo podemos escribir también así:

Y al sustituir h por 0 tenemos que:

que es una indeterminación. Sabemos que los infinitésimos equivalentes,

y por tanto, debería ser

Hasta aquí hemos reproducido la demostración de la fórmula de la derivada de la función seno que se enseña en los cursos de Bachillerato, en los que no se le da más vueltas al asunto. Pero aquí hay una cosa que estamos pasando por alto. Estamos utilizando el infinitésimo

Pero ¿de dónde viene este infinitésimo? ¿Por qué podemos usarlo aquí?

Si nos preguntamos por la veracidad de la expresión

cuando

la primera idea que nos viene a la cabeza es aplicar la regla de L’Hôpital. Derivamos el numerador y el denominador y obtenemos:

Parece que todo ha salido bien y que la expresión es correcta, pero, en el contexto de lo que estamos intentando demostrar aquí, estamos cometiendo un error grave. Párense un rato a pensar a ver si se dan cuenta de cuál es.

En efecto, estamos intentando demostrar que la derivada de

es

pero al aplicar la regla de L’Hôpital hemos derivado, precisamente,

… ¡Y no hemos probado aún qué es

Estamos usando algo que aún no hemos comprobado que funciona para demostrar que ese algo funciona: está claro que eso no tiene ningún sentido. Debemos, por tanto, tomar otro camino para confirmar que el infinitésimo es válido.

Observemos la siguiente figura:

Los triángulos ABE y ACD están construidos sobre una circunferencia de radio 1, de tal forma que las longitudes de los segmentos AB y AD valen ambas 1. Consideremos que la medida del ángulo A se corresponde con la variable independiente x. En ese caso, sabemos que los catetos opuestos de ambos triángulos miden

y

respectivamente.

La clave está en determinar cuánto vale la longitud a del arco de circunferencia que va de B a D. La fórmula para obtener a es bastante fácil de deducir: el radio de la circunferencia donde se encuentra el arco es 1, luego la longitud de la circunferencia completa será

Si A esta medido en radianes, la longitud del arco se obtiene dividiendo L en

partes iguales (recordemos que un ángulo llano mide

radianes) y tomando x de esas partes, con los que tendríamos que

En este caso, observando la figura podemos afirmar que, si

Dividimos la expresión por

invertimos cada miembro, y tenemos en cuenta que

para obtener:

Finalmente, como

por el “teorema del sándwich” tenemos que:

Ahora sí podemos utilizar el infinitésimo

y afirmar que la derivada de

es, en efecto, la función

Sin embargo, si A estuviese medido en grados, el valor de a sería el resultado de dividir la longitud de la circunferencia en 360 partes iguales y tomar x de esas partes, esto es:

Así,

y, siguiendo los mismos pasos que antes, llegaríamos a que

y por tanto

con lo que la derivada de la función

quedaría:

Pues ahí lo tenemos, por sorprendente que parezca, la derivada del seno es el coseno si el ángulo x está medido en radianes, y no en grados.

Ah, pero la cosa no acaba aquí. Algún avezado lector podría estar cayendo ahora mismo en la cuenta de que esta no es la única manera de encontrar la derivada de la función seno. En efecto, si utilizamos estas maravillosas definiciones que nos dejó Euler:

tenemos que:

Parece que nos hemos quitado el problema de en medio, pero no. Hemos usado que

y eso, amigo mío, hay que demostrarlo también.

Se trata de la derivada de una función de variable compleja, pero por suerte la variable independiente es un número imaginario puro, así que podemos calcular su función derivada mediante el límite

Utilizando que

(de nuevo, Euler) tenemos:

Luego

y esta suma de límites da como resultado

como hemos visto ya, gracias a que h está medido en radianes. Luego, teniendo en cuenta la observación que hicimos anteriormente, x debe estar también medida en radianes.

Así que, ya sabe: si va a derivar, asegúrese de estar midiendo en radianes.