sin usar una calculadora?

Haces n=500n=500, reescribes todo algebraicamente y lo organizas para que quede bonito. ("Bonito" significa fácil de simplificar).

Examina la expresión bajo el radical. Es el producto de cuatro números enteros consecutivos más uno. Lo que voy a hacer es desarrollar el producto de nn con n+3n+3 y el de n+1n+1 con n+2n+2:

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1

Ahora rompo el segundo paréntesis en una expresión con n2+3nn2+3n y otra con el 22:

=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1

Y finalmente factorizo como un trinomio cuadrado perfecto:

=(n2+3n+1)2.=(n2+3n+1)2.

Aplicando raíz cuadrada se obtiene que la expresión original vale n2+3n+1n2+3n+1, que es 5002+3⋅500+15002+3⋅500+1, o más explícitamente, 251501251501.