¿Cuántos números primos hay más pequeños que un googol?

aproximadamente 4.36 ⋅ 10^97

….con la función Li(x), la integral logarítmica desplazada de x

Li(x)=∫x2dyln(y)Li(x)=∫2xdyln⁡(y)

calculada desde 2 hasta 10^100, on line aquí: Calculadora de Integrales

se puede obtener una aproximación

4.361971987140703⋅10974.361971987140703⋅1097 …(4.362 decenas de hexadecillones)

43 hexadecillones 619 mil 719 pentadecillones 871 mil … etc etc aproximadamente,

….de números primos. Donde el primero de ellos es 2 y el ultimo es 9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999203 - el cual es el mayor numero primo de 100 digitos y por lo tanto el mayor de los primos menores* (*primos de 100 digitos), del gugol.

(el menor de sus primitos menores seria: 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000289 que a su vez es el primo de 100 digitos mas pequeño)

recordemos que

Un Gúgol = 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 = diez mil hexadecillones. (y es el primer numero de 101 digitos).

un hexadecillon = 10^96 = un octillón de octillones
un octillón = 10^48 = un cuatrillón de cuatrillones
un cuatrillón = 10^24 = un billón de billones.
un billón = 10^12 = un millón de millones
un millón = 10^6 = 1´000.000

todo en notación numérica larga)

,, y como se calcula dicha integral?

según la pagina

Li(x)=∫x2dyln(y)Li(x)=∫2xdyln⁡(y) …es igual a…

= Γ[0, −ln(2)] − Γ[0, −ln(10^100)]

donde Γ es la Función Gamma Incompleta definida como

Γ(a,x)=∫∞xta−1e−tdtΓ(a,x)=∫x∞ta−1e−tdt

donde x es una variable real mayor o igual que cero, y a es una variable compleja, cuya parte real es positiva

…….aaaaaaaaaaaahhhhhhh ya!

Aparte. Los primos mayores, (primos de 101 digitos) del googol, son:

el menor: 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000267 - 101 digitos

y el mayor:

99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999797 - 101 digitos.

Links :

Generador y checker de números primos

Teorema de los números primos - Wikipedia, la enciclopedia libre

Calculadora de Integrales

postdata 27/08/2019 basada en los siguientes puntos…

• La función li(x)li(x) aproxima mejor a π(x),π(x), aquí te dejo el link donde aparece una tabla con la diferencia de estas aproximaciones: Prime-counting function - Wikipedia.
• Regresando a la hipótesis de Riemann, si ésta fuera cierta, entonces la diferencia entre li(x)li(x) y π(x)π(x) sería de x−−√⋅ln(x),x⋅ln(x), es una gran diferencia, pero matemáticamente hablando ¡tenemos una cota!
• La cantidad de números primos menores a un googol seguramente se aproxima mediante li(x)li(x), pero tomando en cuanta lo anterior, el error entre ésta y la función contadora de primos también debe ser muy grande, pues la diferencia para x=1027x=1027 ya es de 508,666,658,006508,666,658,006, no me imagino la diferencia para x=10100x=10100, pero de seguro que es un número muy grande (si quieres calcula (10100)12⋅ln(10100)(10100)12⋅ln(10100)).

…de la

calculemos esa máxima diferencia li(x)li(x) y π(x)π(x)

=(10100)12⋅ln(10100)(max)=(10100)12⋅ln(10100)(max)

da aproximadamente, (aproximandolo al entero mas cercano):

23025850929940456840179914546843642076011014886287730

el cual es un numero EXTREMADAMENTE GRANDE! [23 mil 025 octillones 850 mil 929 septillones 940 mil 456 sextillones 840 mil 179 quintillones 914 mil 546 cuatrillones etc], (…de 53 digitos).

…………..Ahora comparemoslo con el 4.36 * 10^97 de la respuesta:………………

23025850929940456840179914546843642076011014886287730 =

= 2.302585… * 10^52 =

= 0.0000000000000000000000000000000000000000000023… * 10^97

……..son 44 ceros después del punto y antes del primer dígito significativo !…….

un numero EXTREMADAMENTE PEQUEÑO! o sea que la respuesta original 4.361971987140703 * 10^97 es exacta* en 44 decimales !

CONCLUSIÓN: la magia de las comparaciones.

*exactitud eso si, sujeta a la exactitud del calculo de la integral ( Li(x) ).