¿Cómo demuestras de que pi no puede graficarse con regla y compas, sin mencionar que es irracional? Porque si se puede graficar raíz de 2, de 3, de...

El número PI no puede obtenerse con regla y compás porque es trascendente.

Y trascendente es lo mismo que “no algebraico”.

Los números algebraicos son aquellos que son solución a una ecuación polinómica con coeficientes enteros.
Es decir, algo de este estilo:

an∗xn+an−1∗xn−1+...a2∗x2+a1∗x+a0=0an∗xn+an−1∗xn−1+...a2∗x2+a1∗x+a0=0

Donde los coeficientes aiai son números enteros, para todo i, donde i va desde 0 hasta n.

Toda raíz cuadrada de un número natural es algebraica, ya que es solución de la siguiente ecuación:

1∗x2−N=01∗x2−N=0

La raíz cuadrada de N al elevarla al cuadrado da N y al restarle N da 0.

Puedes ver en Wikipedia que:“ En particular cualquier punto o longitud construible es un número algebraico, sin embargo no cualquier número algebraico puede ser construido.”

Regla y compás - Wikipedia, la enciclopedia libre

Y, por tanto, si PI es trascendente, no es algebraico, y si no es algebraico no es construible con regla y compás.

La demostración de que PI es trascendente es algo complicada, pero puedes ver alguna como la del siguiente enlace:

Cómo demostrar que π (pi) es trascendente

¿Ganaría algo el que llegue a graficar pi con regla y compas?

Como ya dije antes, es imposible…
Así que no. No se establecen premios para quien logre algo imposible. Entre otras cosas, porque si es imposible nadie lo va a conseguir.

En todo caso ganaría dos premios: el primero sería el premio a la ignorancia, porque en un mundo con Internet y Wikipedia no saber algo que se busca en 2 minutos en Google y dedicar tiempo a intentar algo imposible, por no saber que no se puede, es un monumento a la ignorancia… y, en segundo lugar, si cree que consiguió haberlo resuelto, pues sabiendo que es imposible es obvio que se ha equivocado, así que tendrá otro premio al despiste o a la torpeza, por no ser cuidadoso en lo que hace y cometer errores.
Sin embargo, a veces las matemáticas son generosas y, aunque se intente algo imposible, por el camino puedes encontrar valiosos regalos.