¿Cuál es la diferencia entre los números irracionales y trascendentales?

Los irracionales y los trascendentales comparten el hecho de que ambos están definidos por lo que no son. Los irracionales son los no-racionales; los trascendentales son los no-algebraicos.

Vamos a ver qué implica esto sobre la relación entre ellos. A las definiciones.

Irracionales

Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como la razón de dos enteros. Es decir, son todos aquellos de la forma p/qp/q donde pp y qq viven en {0,1,−1,2,−2,3,−3,...}{0,1,−1,2,−2,3,−3,...}. Ah, y qq no puede ser 00.

Los irracionales son aquellos números reales que no se pueden expresar de esta forma.

Vamos a ver el ejemplo por excelencia de un número irracional: 2–√2. La estrategia es sencilla; vamos a suponer que 2–√2 es racional y utilizaremos ese supuesto para concluir algo que sabemos es falso. La única escapatoria de esta contradicción es sencilla: 2–√2 no es la razón de dos racionales.

Voy a depender en lo que sigue del siguiente hecho, cuyo nombre muy apropiado es el Teorema Fundamental de la Aritmética: todo entero se puede escribir como un producto único de números primos. Es decir, para todo natural nn existen primos p1,p2,...,pkp1,p2,...,pk, no necesariamente todos distintos, tales que n=p1p2...pkn=p1p2...pk.

Sean m,nm,n enteros tales que 2–√=m/n⇒n2–√=m2=m/n⇒n2=m. Ahora, vamos a escribir mm y nn como productos de primos, m=p1...pk,n=q1...qlm=p1...pk,n=q1...ql, y vamos a cuadrar ambos lados de la ecuación:

2(q1...ql)(q1...ql)=(p1...pk)(p1...pk)2(q1...ql)(q1...ql)=(p1...pk)(p1...pk).

Fíjate que por lo menos uno de los pipi tiene que ser 22 (que es primo) por el Teorema Fundamental, y que este pipi aparece dos veces en la ecuación, por lo que tenemos que 22 aparece una cantidad par de veces en la derecha. Pero en la izquierda, el 22 tiene que aparecer un cantidad impar de veces por ese 22 que surgió cuando cuadramos 2–√2. Tenemos una verdadera contradicción: una expresión que contiene 22 una cantidad impar de veces igual a otra que contiene a 22 una cantidad par de veces. No hay de otra: 2–√2 es irracional.

Trascendentales

El concepto de número algebraico depende de la noción de polinomio: una expresión de la forma anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0 donde las aiai, los coeficientes, son números reales y nn puede ser 0,1,2,3...0,1,2,3.... Puedes ver las xixi como “dimensiones”: “la 0-ésima dimensión, la primera dimensión….”

Una raiz de un polinomio es un número que, cuando se sustituye por la xx, hace que la expresión sea equivalente a 00. Por ejemplo, la raiz del polinomio x−1x−1 es 11.

Pues, un número real es algebraico si es una raiz de algún polinomio cuyos coeficientes son racionales. Ejemplo: −1/2−1/2 es algebraico, pues es raiz del polinomio 2x+12x+1 cuyos coeficientes, dos y uno, son números racionales.

Un número es trascendental si no es algebraico. Es decir, si no es la raiz de ningún polinomio con coeficientes racionales.

ππ es el ejemplo por excelencia de un número trascendental.

Entonces, ¿cuál es la relación entre estas?

Teorema Todo número trascendental es irracional, pero no todo irracional es trascendental.

Demostración: Para probar que todo trascendental es irracional, demostramos que cualquier racional p/qp/q es algebraico. Es decir, demostramos que existe un polinomio con coeficientes racionales tal que p/qp/q es raiz de ese polinomio. Pues, el polinomio qx−pqx−p es el que es: q(p/q)−p=p−p=0q(p/q)−p=p−p=0.

Para demostrar que no todo irracional es trascendental, demostramos que 2–√2 es algebraico. Es decir, demostramos que existe un polinomio con coeficientes racionales que tiene a 2–√2 de raiz. Pues, el polinomio x2−2x2−2 es el que es: (2–√)2−2=2−2=0(2)2−2=2−2=0.

Entonces ahí está: el mundo de los irracionales contiene al mundo de los trascendentales, pero no son mundos iguales.