¿Qué constantes matemáticas importantes se conjeturaron (durante más tiempo) que eran irracionales / trascendentales, pero que en realidad...

No conozco ningún caso así. (* bueno, sí hay un caso que había visto, la constante de Legendre, hablo de esto al final de la respuesta).

Al contrario sí: el número PI en documentos muy antiguos aparecía como racional, como fracción, y quizá en algún caso como el número entero 3. No puedo asegurar completamente que conjeturasen que era racional pero al menos lo trataban como tal aunque fuese para tener una aproximación que pudiesen usar en casos prácticos. Supongo que también ocurriría con alguna raíz, como 2–√2 y otras.

Por un lado, en los tiempos más antiguos las relaciones matemáticas, salvo PI eran principalmente algebraicas y, por tanto, no hablaban apenas de conceptos o cantidades trascendentes. Menos aún conjeturar que cierta cantidad fuese no algebraica (y, por tanto, trascendente), concepto que aparecería con Leibniz en 1682.

Por otro lado, muchas expresiones son trascendentes, digamos que es más común en los números reales que sea trascendente a que sea algebraico. Podríamos decir que sería mucha chiripa que algo que no se sepa si es algebraico resultase serlo, y, más raro aún que fuese racional.

Y, más aún, demostrar que un número es trascendente o no lo es puede llegar a ser extremadamente difícil, hasta el punto de que expresiones aparentemente simples como π+eπ+e no se sabe todavía si lo son o no. Ni siquiera se ha demostrado que sea irracional.

En resumen, para ocurrir lo que dice la pregunta en la parte de conjeturar trascendente y ser algebraico tendría que ocurrir:

• Que se conozca el concepto de trascendente. (desde 1682)
• Que se hable de un número cuya concepción inicial no sea expresable de forma algebraica. Esto implica no hablar de conceptos sencillos.
• Que se haya demostrado qué tipo es, o bien trascendente o bien algebraico. En muchos casos no se llegó a este punto.
• Que una vez demostrado resulte ser algebraico. Muy "improbable" (no creo que sea muy correcto hablar de probabilidad).

Quizá un caso parecido es la construcción del heptadecágono con regla y compás. No se si se conjeturó que era imposible, pero durante mucho tiempo nadie encontró cómo hacerlo hasta que lo encontró Gauss a los 19 años de edad. Pero esto no es exactamente conjeturar que fuese trascendental, ya que hay figuras no construibles que son algebraicas. Todo lo construible es necesariamente algebraico, pero ser algebraico no es suficiente para ser construible.

Pero sí hay un caso que había visto, la constante de Legendre, que imaginó que sería un irracional y resultó ser el número 1 !!!!

Legendre's constant - Wikipedia

Constante de Legendre - Wikipedia, la enciclopedia libre

Los primeros 100,000 elementos de la sucesión a_n = ln(n) − n/π(n) (traza roja) parecen converger a un valor en torno a 1.08366 (línea azul).

Sin embargo, a partir de unos 2 millones la cosa da un giro inesperado.

Y se aleja cada vez más de ese valor, acercándose a 1.

Legendre conjeturó en 1808 que esa constante era cercana a 1.08366 pero Chebyshev demostró en 1849 que en caso de existir el límite debería ser 1, así que la conjetura original duraría unos 41 años.