¿Por qué los numeros irracionales son infinitos?

Bueno, creo que la pregunta así como está escrita es un poquito ambigua. Quien pregunta probablemente tiene en mente una de las dos dudas siguientes:

• ¿Por qué hay una cantidad infinita de números irracionales?
• ¿Por qué la expresión decimal de los números irracionales es infinita?

A la primera ya dieron respuesta abajo: La segunda tal vez merezca su propia explicación.

Recordemos que un número racional es aquel que puede escribirse como cociente de dos enteros. Un número irracional, pues, no puede escribirse como cociente de dos enteros. Desde la antigüedad se sabe que hay números irracionales; por ejemplo, es muy famosa la demostración elemental de que 2–√2 es irracional.

Una de las muchas cosas que sabemos sobre los números racionales es que el producto de dos números racionales es también un número racional. Esto debe ser claro: si dos números pueden escribirse respectivamente como a/ba/b y c/dc/d, con a,b,c,da,b,c,d enteros, entonces su producto puede escribirse como ac/bdac/bd, donde acac y bdbd son enteros, de modo que el producto también es racional.

Otra cosa que debemos recordar es qué pasa con una expresión decimal al multiplicarla por 1010. Cuando la expresión es entera, al multiplicarla por 1010 se agrega un cero al final; cuando la expresión no es entera, el punto decimal se mueve una cifra a la derecha.

En particular, si un número tiene una expresión decimal finita, digamos, con nn cifras decimales, entonces al multiplicarlo nn veces por 1010 el punto decimal se mueve nn veces a la derecha, con lo cual el resultado es un número entero. Es decir, si un número xx tiene expresión decimal finita, entonces existe una potencia de 1010, digamos 10n10n, tal que 10nx10nx es entero.

Así, uno puede escribir

x=10nx10nx=10nx10n

como cociente de dos enteros. En otras palabras: todo número con expresión decimal finita es racional.

De manera equivalente: todo número irracional tiene una expresión decimal infinita.

(Ya que si la expresión decimal fuera finita, el número sería racional en vez de irracional, como hemos visto).