¿Cuáles son los axiomas de los números irracionales?

Parte 1: Axiomas de RR

Los números irracionales de por sí, no tienen axiomas, pero con los axiomas de los números reales, tienes una forma de crearlos:

• Complemento de los racionales. Cuando tienes los números reales, hay dos axiomas importantes que te permiten construir los números naturales:
• Existe el neutro aditivo (se escribe 00).
• Existe el neutro multiplicativo (se escribe 11).

Con estos dos números, puedes crear una definición:

Dado X⊆RX⊆R, decimos que XX es un conjunto inductivo cuando cumple las siguientes condiciones (XX es una colección de números reales):

• 0∈X0∈X
• Dado xx un número real cualquiera, si x∈Xx∈X entonces x+1∈Xx+1∈X.

El conjunto de los números reales es un conjunto inductivo, pues cumple ambas condiciones arriba; además de eso, juntando la primera condición con la segunda, puedes ver que en cualquier conjunto inductivo debe tener los siguientes números:

0,1,2,3,4,...0,1,2,3,4,...

Luego, defines el conjunto de los números naturales como N:={n∈R:n está en cualquier conjunto inductivo}N:={n∈R:n está en cualquier conjunto inductivo}.

Ya teniendo a los números naturales puedes crear los enteros usando el siguiente axioma de los números reales:

• Dado xx un número real, existe −x−x otro número real que es el opuesto aditivo de xx, tal que x+(−x)=0x+(−x)=0.

Z:={m∈R:m∈N o −m∈N}Z:={m∈R:m∈N o −m∈N}

Después de eso, puedes crear los racionales del siguiente modo:

Primero creas el conjunto de los enteros sin el cero: Z0=Z∖{0}Z0=Z∖{0}, luego, creas el conjunto de los números racionales aprovechándote del siguiente axioma de los reales:

• Dado xx un número real, si x≠0x≠0 entonces existe otro número real x−1x−1 o 1x1x tal que x×1x=1x×1x=1, a este número lo llamamos inverso multiplicativo de xx.

Q:={r∈R:Existen a∈Z,b∈Z0 tales que r=a×1b}Q:={r∈R:Existen a∈Z,b∈Z0 tales que r=a×1b}

Y finalmente, puedes usar los números racionales para definir a los números irracionales tal y como te los definen en el colegio:

I:=R∖QI:=R∖Q, es decir, los números irracionales son todos los números reales que no son racionales…

Esta es una forma de hacerlo…

En cálculo, usualmente empiezas con los axiomas de los números reales, es decir:

• Existe un conjunto RR, dos operaciones ++ y ×× en el conjunto, y una relación ≤≤ de orden sobre el conjunto que cumplen las siguientes condiciones:
• R≠∅R≠∅, es decir, existe al menos un número real.
• Dados x,y,z∈Rx,y,z∈R, se tiene que:
• x+y∈Rx+y∈R, x×y∈Rx×y∈R
• x+y=y+xx+y=y+x, x×y=y×xx×y=y×x
• (x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z), (x×y)×z=x×(y×z)(x×y)×z=x×(y×z)
• Existen 0∈R0∈R, 1∈R1∈R tales que x+0=xx+0=x, x×1=xx×1=x, 0≠10≠1.
• Siempre existe un número real −x−x y, si x≠0x≠0, existe otro número real x−1x−1 tales que x+(−x)=0x+(−x)=0, x×x−1=1x×x−1=1.
• x×(y+z)=x×y+x×zx×(y+z)=x×y+x×z
• x≤xx≤x
• Si x≤yx≤y y y≤zy≤z entonces x≤zx≤z
• Si x≤yx≤y y y≤xy≤x entonces x=yx=y.
• Siempre ocurre que x≤yx≤y o y≤xy≤x para cuales quiera x,y∈Rx,y∈R. (Todos los números reales son "comparables")
• Si x≤yx≤y entonces x+z≤y+zx+z≤y+z.
• Si x≤yx≤y y z>0z>0 entonces x×z≤y×zx×z≤y×z
• Si x≤yx≤y y z<0z<0 entonces x×z≥y×zx×z≥y×z
• Axioma de Completes: Dado ∅≠S⊆R∅≠S⊆R, (SS es una colección de números reales, con al menos un número), si existe un número real xx tal que s≤xs≤x para todo s∈Ss∈S entonces existe un número real tt con las siguientes propiedades: s≤ts≤t para todo s∈Ss∈S y; dado cualquier número real xx que cumpla que "s≤xs≤x para todo s∈Ss∈S" se tiene que t≤xt≤x. Llamamos a tt el supremo de SS, y lo denotamos como t=supSt=supS.

Son bastantes axiomas, lo sé, pero el más importante para los números irracionales es el único al que le puse nombre… Axioma de completes, básicamente lo que dice es que los números reales no tienen huecos… Te pondré un ejemplo de un número irracional con este axioma:

Sabemos que 2:=1+12:=1+1, así que, sea S:={x∈R:x×x<2}S:={x∈R:x×x<2}, SS es la colección de números reales tales que, x2<2x2<2. Tenemos que SS no es vacío, porque existe al menos un número real 11 en SS, pues 1×1<21×1<2.

Además de eso, existe un número real 22 tal que s≤2s≤2 para todo s∈Ss∈S, pues 2×2=4>22×2=4>2. Así que lo que nos dice el axioma de completes es que existe el supremo del conjunto SS, llamémoslo supSsupS.

La zona azul es el conjunto SS, el supremo es por donde pasa la recta punteada a la derecha. Coincide con un número xx que cumple que x2=2x2=2.

Resulta que el supremo de este conjunto SS no es racional, puedes demostrar eso después de demostrar que el supremo de este conjunto debe cumplir que (supS)×(supS)=2(supS)×(supS)=2. En un curso cualquiera de cálculo, así es como empezarías, desde los números reales hacia los otros conjuntos…

¿Pero qué pasaría si en lugar de empezar desde los números reales, empiezas desde los números naturales? ¿Es posible construir los números enteros, racionales, y reales?

La respuesta es que sí, y la receta para cómo hacerlo son los axiomas de Peano:

Parte 2: Los axiomas de NN

• Existe el conjunto de números naturales NN, este conjunto es no vacío (tiene al menos un elemento) y cumple con las siguientes condiciones:
• Función sucesor: Existe una función inyectiva s:N→Ns:N→N, que manda a nn a otro número que llamaremos el sucesor de nn (s(n)s(n)).
• Existencia del 0 (o del 1 si no consideras el 0 un natural): Existe un único número natural 0∈N0∈N tal que 00 no es el sucesor de ningún número natural, es decir, no existe n∈Nn∈N tal que s(n)=0s(n)=0.
• Principio de inducción matemática: Dado X⊆NX⊆N una colección cualquiera de números naturales, si 0∈X0∈X y para todo x∈Xx∈X se cumple que s(x)∈Xs(x)∈X entonces X=NX=N.

Solo con estas herramientas, tienes que definir la suma, la multiplicación, el orden, y demostrar todas las propiedades que los números naturales deberían cumplir, como el principio del buen orden.

Te voy a ahorrar cómo se crean los números enteros y racionales empezando desde aquí, supongamos que ya tenemos los números racionales, ¿ahora cómo rayos construimos los números reales? Aquí hay de dos quesos:

• El camino de Cauchy: Básicamente puedes definir una sucesión de números racionales, algo como 1,1.4,1.41,...1,1.4,1.41,..., luego definir que significa que el límite de una sucesión tienda a 0 del siguiente modo: (∀ε>0)(∃N∈N)(∀n∈N)(n>N→|an|<ε)(∀ε>0)(∃N∈N)(∀n∈N)(n>N→|an|<ε), en este caso, ese εε es un número racional, no real como usualmente se definiría para los límites, y además de eso, anan es el número nn-ésimo de tu sucesión, denotamos este hecho como limn→∞an=0limn→∞an=0. Después de unas definiciones más…
• Decimos que una sucesión {an}n∈N{an}n∈N es de Cauchy si y solamente si, para todo número racional ε>0ε>0 existe un número natural NN tal que, para cuales quiera números naturales nn y mm, si n>Nn>N y m>Nm>N entonces |an−am|<ε|an−am|<ε, en otras palabras, que a medida que avances en tu secuencia los números pueden estar tan cerca como quieras…
• Dadas dos sucesiones de Cauchy {an}n∈N,{bn}n∈N{an}n∈N,{bn}n∈N, decimos que están relacionadas si y solamente si limn→∞an−bn=0limn→∞an−bn=0. Es decir, si a medida que avanzamos en ambas secuencias, pueden estar tan cerca como queramos.
• Dada una sucesión de Cauchy {an}n∈N{an}n∈N, denotamos [{an}][{an}] a la colección de secuencias de Cauchy relacionadas con {an}n∈N{an}n∈N.
• Podemos definir a los números reales como: El conjunto de "las colecciones de secuencias de Cauchy relacionadas". Es decir, aquí cada número real es representado por una colección de secuencias de Cauchy, por ejemplo el 11 lo representa esta colección de secuencias:

{{1+1n}n∈N,{1}n∈N,{nn+1}n∈N,...}{{1+1n}n∈N,{1}n∈N,{nn+1}n∈N,...}

Para no complicarnos tanto, podemos agarrar una secuencia que represente la colección completa, como por ejemplo la secuencia: {1,1,1,1,...}={1}n∈N{1,1,1,1,...}={1}n∈N. Y el número real 11 es la colección [{1}n∈N][{1}n∈N]. Sé que parece bastante complicado, pero ahora podemos agarrar números reales que no son racionales, es decir, que no son la colección de ningún número racional… Como la colección:

[{(1+1n)n}n∈N][{(1+1n)n}n∈N] que representa al número e=2.718281...e=2.718281...

Ese es el primer camino, el segundo camino es:

• El camino de Dedekind, aquí cada número real será representado por una pareja de conjuntos de números racionales… A los que llamaremos cortaduras…
• Dados dos conjuntos A,B⊆QA,B⊆Q de números racionales, decimos que la pareja (A,B)(A,B) es una cortadura de Dedekind si los conjuntos cumplen las siguientes condiciones:
• Existe al menos un número racional en AA y al menos un número racional en BB, además de eso, no existe ningún número racional en AA y en BB al mismo tiempo, por último, todos los números racionales están en alguno de los dos, en AA o en BB. Estas tres condiciones se escriben de forma compacta como: A≠∅,B≠∅,A∪B=Q,A∩B=∅A≠∅,B≠∅,A∪B=Q,A∩B=∅.
• Dados dos números racionales aa en AA y bb en BB, siempre se cumple que a<ba.
• AA no tiene máximo, es decir, no existe un número racional MM en AA tal que, para todo número aa en AA se tenga que a≤Ma≤M.
• Esta clase de conjuntos, siempre suelen verse así:

A son todos los números racionales a la izquierda de un punto, y B son todos los números racionales a la derecha de ese mismo punto, además de eso, B puede tener al punto (B tiene mínimo) o no tenerlo, en caso de no tenerlo, se dice que (A,B)(A,B) es un GAP (un hueco, porque no hay un número racional entre ellos dos).

• En este camino, el conjunto de los números reales es simplemente el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind, en este caso, el número 11 racional, para verlo como número real, tenemos que construir una cortadura de Dedekind que corresponda al 11, por ejemplo: A1:={x∈Q:x<1},B1:={x∈Q:x≥1}A1:={x∈Q:x<1},B1:={x∈Q:x≥1}. En este caso, la cortadura de Dedekind (A1,B1)(A1,B1) sería el número 11 real (puedes pensarlo como que, en la primera imagen, el número donde A y B se cruzan es el número 1). De hecho, cada número racional rr tiene su propia cortadura de Dedekind, se construyen exactamente de la misma forma, Ar:={x∈Q:x<r}Ar:={x∈Q:x, Ar:={x∈Q:x≥r}Ar:={x∈Q:x≥r}, en este sentido, la cortadura de Dedekind (Ar,Br)(Ar,Br) sería el número real rr, como todos los números racionales tienen una copia real, en cierto sentido, todos los números racionales son números reales… Están metidos dentro de los números reales… Y es más, los números irracionales corresponden a los GAP. Considera la siguiente cortadura de Dedekind: A:={x∈Q:x<0 o x2<2}A:={x∈Q:x<0 o x2<2}, B:={x∈Q:x>0 y x2>2}B:={x∈Q:x>0 y x2>2}. Puedes comprobar que la pareja (A,B)(A,B) es una cortadura de Dedekind (es decir, cumplen todas las condiciones de arriba) y además de eso, que son un GAP (no hay número racional entre A y B). Los números racionales están llenos de huecos, este hueco en particular sería el número real 2–√2, un número irracional.

¿Conclusión?

Así que respondiendo a tu pregunta completa:

Siempre, los números irracionales son los números reales que no son racionales, ellos de por sí no tienen axiomas, pero los que si tienen axiomas son los números reales (si estás estudiando cálculo) o los números naturales (si estás estudiando sistemas numéricos), con los cuales construyes a los números reales. Pero ambos son manifestaciones de algo más profundo… Los axiomas de Zermelo-Fraenkel (si estás estudiando teoría de conjuntos). Hasta la próxima :3