¿El conjunto de los números irracionales es de media nula?

Me centrare en el intervalo [0,1] para no complicar

1. La respuesta Oficial es NO. Te pongo una demostración clásica (1) de las muchas que existen, de que los Racionales ℚ son de medida cero… y por tanto los Irracionales serían de medida 1 en este intervalo.

2. Pero existe algún resultado paradójico como el que cito en (2) que tomo de “Paniego, J.A. Viaje al infinito matemático. Un revolucionario concepto de infinito matemático y su aplicación al teorema de Gödel”.

(1) Los números racionales son numerables, es decir que podemos “ponerlos en fila” (o dicho más precisión poner en biyección con el conjunto de los naturales).

Por tanto podríamos ir tapando cada racional del intervalo [0,1] con una segmento de longitudes decrecientes: el primer punto con un intervalo de longitud 1/2, el segundo con un intervalo de longitud 1/4, el tercero 1/8 y así sucesivamente. Es decir tapar todos los números ℚ con intervalos 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32… cuya suma de longitudes es 1 (si no se solapan) o menor que 1 (si se solapan).

Pero también podemos cubrirlos con intervalos 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64… cuya suma de longitudes es menor o igual que 1/2.

Y también con 1/8, 1/16, 1/32, 1/64… cuya suma de longitudes es menor o igual que 1/4.

Y con 1/16, 1/32, 1/64, 1/128… cuya suma de longitudes es menor o igual que 1/8.

Llevando este proceso al infinito, tendríamos unos intervalos cuya suma es cero.

Y si los Racionales suman cero… los Irracionales (que es el resto) suman 1.

(2) El conjunto de Cantor

a) El conjunto de Cantor se forma tomando el intervalo [0,1] y en cada paso dividiéndolo en tres partes y elimina la central (como muestra la imagen)

- En el paso 1 tomamos los tres intervalos [0,1/3) [1/3, 1/3) [2/3,1] Y eliminamos el central con lo que nos quedan los intervalos [0,1/3) y [2/3,1] cuya medida es 2/3

- En el paso 2 dividimos cada uno de los dos intervalos en tres partes y eliminamos la central:

El intervalo [0,1/3) lo dividimos en [0,1/9) [1/9,2/9)y [2/9,1] con lo que eliminamos el central con lo que nos quedan [0,1/9) y [2/9,1]

Y lo mismo el intervalo [2/3,1] quedándonos con [2/3,7/9) y [8/9,1]

En total tenemos los intervalos [0,1/9), [2/9,1], [2/3,7/9) y [8/9,1] cuya medida es (2/3)^2 =4/9

- En el siguiente paso tendremos 8 intervalos cuya medida es (2/3)^3 =8/27

Y en general repitiendo el proceso tendremos infinitos intervalos (en realidad puntos) que su medida tiende a cero.

b) No obstante este conjunto de medida cero (y que puede ser tapado por intervalos de medida cero) es biyectable con el conjunto de los reales.

-Fijémonos que cada punto viene determinado por si escogemos en cada paso el intervalo de la izquierda o de la derecha. De modo que cada punto viene dado por una cadena infinita de la forma DDIDIII… (en el ejemplo el punto que empieza escogiendo dos veces el intervalo de la derecha, luego el de la izquierda, luego el de la derecha, luego tres veces el intervalo de la izquierda…).

-Fijémonos que cada punto del intervalo [0,1] se puede representar en notación binaria como una cadena como 0,101100… es decir, descontando el cero anterior a la coma, como una cadena infinita de ceros y unos. (En nuestro ejemplo 101100)

-Es fácil ver que podemos formar una biyección entre ambas cadenas. Por ejemplo, cada vez que aparece una I en el conjunto de cantor, se correspondería con un 0 en el número decimal; y cada vez que aparece una D se corresponde con un 1. De este modo, la cadena que empieza DDIIDIIII… con la que empieza 110010000…

-Si podemos tapar cada punto del conjunto de cantor con intervalos de valor 0 y podemos hacer una biyección con los puntos del intervalo [0,1] podemos tapar los puntos del intervalo [0,1] con unos intervalos ¡Cuya medida es cero! Lo que parece absurdo si el intervalo entero tiene medida 1.

¡Parece que algo todavía no está suficientemente claro en nuestras nociones de infinito!